А.В. Ефимов - Сборник задач по математичке - Часть 2 (1248980), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Найти массу и сред«гила»лотность кругового конуса с радиусом основанн«г )т н высотой О. если плотность в каждой точке пропорпвопальаа квадрату расстояния от точки до плоскости, проходящей через вершвну конуса параллельно плоскосгв освовавви, и и пегаре основания равна ум 8.138. Найти массу н среднюю плотность тела, ограниченного поверхвостямп х' — у'==аг, х' гу"=;=а*, г=О (г '-. О), если плотнос~ь в каждой точке пропорциональна апйлпкате г, з панболщвсе звачсввс плотности у, 6.139, Найти массу и среднюю плотность сферического , слоя между поверхвостямв х'-,, 'у*; г*=»а' и хе +уз+ г"---:4а', если п,атность в каждой точке пропггрввгвгальна квадрату расстоянии от точки до начала координат, а ванбольпюе значение плогиосзв уы 8.140.
Найти массу и среднвю плотвосрь сегмента параболовда вращения с радиусом основания Й и высотой И, если плотность в каждан точке пропорциональна корню квадратному вз расстоянвя от точки до плоскости основания сегмента н в верните сегмента равна у,. 8,141. Найти массу и среднюв плач«юсть ясара радиуса Ь(, если плотность в каждой точке пропорннональва расстоянию от точки до одного из диаметров шара и на окрулп«ости большого круга, лежащего в,плоскости.
перпендикулярной к атому диаметру, раппа у,. В, $42. Найти координаты центра масс одиородйого Й геля, орапиченного поверхиостямн г:.=-Я(ух — -х'), Я=-О, у = а, у = О (а > О, Й > О). 8.143. Найти координгп ы цен ! ра масс однородного Гела, е ОГрзничсги!ОГО иове(»ккостями у-=-х х, х =-.
— (Ь вЂ” у), 7'=0 а' ' ь (а>0, Ь>О„Й>О). 8.144. Найти координаты цен»ря мясе однорс»диого »у тела, О!'узник!.'пиОГО попс'рхБОстяъ!и я — ' . -,, (хв ! у ), х =.: Н. Рх 8.145. Найти ко»;рд!латы цлпря »сзсс однородного Тела, огра !пчепнгпо повсрхносткмк г — Е х'+у', г.=-Н (( (Н>(Е )»з>О) 8.148. Найти коордипгпы центра масс полу!цара х'+ ( у» .„.". ях -.. Р», я ~ ~О, еглн плОГпость в каждой тОчке НРОПОРЦНОПЯЛЬНЯ Ра!ССТОкННЮ От ~ОЧКИ ДО НЗЧЗЛЯ КО- ординат. 8.$47. Няйзн момент нцерцл! охпосипльпо Оси ()х однородного тела плотности у, ограниченно»о повсркнс»- е ., я сз ими У --- —, х', г --- О, г =- — »Ь — У) (а: О, Ь > О, Й > О).
8. $48. Ня(гти момент нпсрцнн Однороден»го сегмента парзболоида вращения илом!ости у с радиусом оспова- !лк »с и кыс»ной Н о!поснгельно его осн врзлсипк, 8.$49. Найти момлг! ппер!пл лара радиуса )» Отно- сительно сто диаметра, если !!лотпссть в каждой точке пропорциональна рясстоянпк» от точки до центра и!ара, а ня !вверх!юсти шзра равна $, 8.158Я". Нзй ! и ньютонов потенциал !»' одцс родного тела плоп!ости у, о.
рзн!Гневного яллипсо!Гном вращения яа (. фе, в' — 1 -- — !, в его центре (Ь > а). ах Ьа 6,151"'", Найти силу притяжения, оказываемого одно- родным конусом плслноств у, высоты Н н рау(иуса осно. ванин Р на матернальну!о точку, расположенную в его верщнне и содержзп(ую единицу массы. 8.152. Найти момент инерции Относи!ельно оси Оа „ однородного тела плотности у, ограниченного поверхно- Ь стями г =- —, (уа--хе), г=-О, у —.. ~а. 8.$53.
Найти момент инерции однородного кругового конуса плотности у с радиусом с»сновании )! и высотой Н относительно его оси. (, Е »ха ха«Е)© :» р ! „. !» „!» ях» (йя ~ — - ! Нм ! аго!а —. ! ) Л» —.. а- » .» ': '.а ~ ', х' чТ', ! а я Г»(х я / ! (а! и )зычг!слить несобственные интегрзльп ВЛ54. ага) —,,;, где -' — облясхь, определяемая неравенствами х>1, ху !. 2 цая еел. л, в, венкова, в.
и. деквлоавча !В 8. Несобственные кратные интегралы 1. Йитм рал по бескоиечиоа области. ес.«к ф»,квак»» ) (х, у) и прермвяа в б»а*кокетюй обаасгк 6, То, ж Са!»васа(ЕЯИ.О, ) ) )(», »Л а»ха!».= ца» ') ')»г(х, и» аха!!», (»! пкякх~мр зле га — ко!ечкая огаасп,. аеликск лс»каы;м ! обаас»! 6, !»Ги»!е!« ." '«Ея!,' Е» — - 6 озкачаеь ч;г обзасп П васка»р»ек к а! о»»звоаыахк образок !.=,~!~:;:, "гак, со»»б»» в и!.
в»мх,! и ос!власа в кек любая тачка»Г»»!аст»» 6 «к;;::",Г»Е (искер»»а»»»ах»ате»»а»»га,х»»г»»!»е). если су»»»»яткзег ко .,';-':,~-'т»печк»»Г! г»еих ',!), м зав»!»яи!кг» ог вмгх»ос аць у .„.'взг.-;;.';;»""»Я»лвс»я 6 к г»»»союз расгккясакя !'. 6, т» ее. собсгааг».аа:»! ю и» агах ) ! ) (х„у) ахах яам ввекя Сходка«»»хгх„в айатквж.к гау»вг. -Г»»»ха»»я»»»»»х»а« А!»ало!к«к»: »)я!Ег.!еяяетс»! тг! акой к»кг»» г лт»:"..по бескок»я»ой»благ»к Если )(», »й' .Ц п»»ая схоо ко»11»е»хгк ;~':6».':,.":- стае!ского икхеграха кеобхгх»кк»» я гас!а»аяа ';"":;::,~) побм оре»сл ((! сзк»с»тв»»»!»»»! хозя бк лля»»»а»:!1 ксчсйямвахп»его расмкреяяя с!Охеггк О (! (» я к ей !.
Ваяя»сз!Оь»»есобсгве!»!хгй! кктн !»,к! у г( ахд(, ) х«,'„уе * с Гле 6 обла»1ь»«»(к"с" Яскхя»агав»к1с1вв»»»» х" «(8 подобввсгв г! (ык. 9() залах»»! ягравсасхвакк !- Гдв о +а». е-- -(.о», Т»»г;»г! Д вЂ” ':- 8 155 О(х. д)ч где С вЂ” область, определ)ейан'нес ах ау равенством хз-)-у"-«'1 (внешность круга). ахауйх 8Л56, Дыр (,+, „... где Т вЂ” область, определяемая неравенством 'х'+у'+ ге =:1 (внс1ппость свара). «и +и 8.157. ) чйх ) с(у ~ е '"'хч" с)г. о о о Исследовать скс«д имое ь несобственных интегралов: 8.158. ~~ з)п(х';-у') с(хс(у, где С вЂ” область, определиео ман неравенствами »~0, у~О, «)х Лд 8.159, ) ~ — — - —, где С вЂ” область, определнемаи (1.~ х»+у«з) не))«чвепс~вг«м ы' ', у»~1 (внеп«ность круга).
2. Интеграл от разрыяиой функции. П)ст функция 1(х, у) пепрерын«ы н тра«ви ни«од замкнутой области О жлоду, за нсклшче«ци ем точки Ре(«», уе) (или липин Е). Если сушестпует конечный «.редел )пп ') ) ) ««ы, ««) аы «)у, е о«« ' "с«е ы«с бе — область, получаемая из С п«тем ш«аления произаолыюй окрестное«и т«: ки р, с днзш трои, м«ньш«и е (ст«таетстпсппо прокзаолыкй пирес пес«и линии ь с чшнрюшй«, меньшей е), тс то« предел пззынжсся итобстзеикыя «к«««градом от фукяки«ы ) (ы, у) по области с«н обозпачается ч«роз ) ~ ) («, у) йхау, т. е, ( ~ ) (х, и) аы «(у .. Ып« ~ ~ ) (ы, у) «(х «!у. о а ее Инте«.рзл (2) а з«ом случае пазыеается сходя«Ч««ы«сч. Если жс Нш )г~ )(х, у) «(хй~ пе с)ществует или ракен и«, то ~~ )(х, у)ахйд е -«о о назыаается расыодяиЧилсч. Лиааосичко опрелеляетси тройной интеграл от разрывной функции.
П р и м е р 2, )(солод««пать оходнмость иесобстаеи кто нктсгрзла О ахар о«> О, где б — круг хы-( уз к, 1. ~( '( уз)и «6 )(ачало, коордииа«яалнется точкой разрыва фуккцни П(хз-)-да)и удалим нз 0 е.окрестность начала координат (подьжтетральпая функ ция положктельиа). Тот; а область бь есть кольцо мен«лу окружисстя 34 пый '-;.":- мн радиусоп а н Е Перейдем к полярным координатам (à — полну ,: '. добрзз области О): «гх«(у цсасдр ж'„'.,:::;:(: Ярн аж( имеем: зн -- ( ° е о2(1 с«) (е" ' » +о 1 а ~ > , Р,:;::'с ',Цри а.=-1 кмеем. зл « ,),) с е «ой а с е чо 'г о е е (.:"«-:.",:;«",-',„:: Итак, ирн а <! тпсграл сходится к ранец нс(1 — а) 8» Вычислить несобственные интегралы 8,160.
Д=, где С вЂ” квадрат О =.. х ц-', 1, О ' у Дх с(д 8.161. )~ ., ' '", где С--круг х' «д' е(. 1 — х" — д" 8Л69, Д)п с(хс(у, п(е С вЂ” круг хз-«у' .. 1 рсха+у" Исследовать сходнмость нссобственцыд иптегралогп 8.163*. ц — У„, где С вЂ” ~ ре)«сольник О ~. х ~ ф О~~у~~». О г' Е Ф, Вычисление интегралов, аааисяпгик от парамет ! $ Фобстаенные ннтег(жлы, зааися«цие ог параметра. Есл» аня)1(к«у) определена и цепрерыпна н прямоугольикке а 'АЖд«лйВ«то интеграл с (д) = ) ) (х«у) ах а !:.,".':;'~ .' й)заынаетск иктезрахом, ваенсяиа«м от параметра, н явлиеысн нен ! -",,'Фы«ауорч;» промежутке (я, В1 функцией «функ~х«~Ь, П р н не р й. Нлйгй Р' (у), ессй р( ) ~ «з*т-хг а1в а и зр(ау р(у)'--" ) )( ° у)г(х (У) О 1В1 также называется пнтегрввом, завнсвщнм от параметра, н является непрерывкой фуйквней арПмента у в промежутке ).4, В), еслн ) (», у) непрерывна в прямоугольннке а ах аз, 4~укхВ, ~р(у) н фЫ непрерывны прв у8(В, В) н нх зйачепня солержатсн в промежутке (а, й).
П р н мер 1. Вывнслйть предел 1 во йх „о ) Т+Р, у' и + ь2 ° йй Рассмотрггм следуктщвй нгпеграл, завнсящйй от параметра у: '+з с1х -ь"4 у" — 11ьв2 Хлк как 1ределы ннтегрнроеавня, а тзкже подыптегрельпан функпня нег1ре12ыгп~га гор«льзбых зпавсггнпк свояк асжумс1мов, то Г Ы— неорсрывная фувьпйя По зму х 1 гх р ах 1пн ( — — -,— =- 2*'п1 р Ы::зс (О)-= ( 2 «в+уз '.Π— 3 ('У( а'' ' -11 ' ьз !3 д =ага!кх1 = —. ф Гслн ) (», у) н ),(х, у) пспрерыи1м я прямоугольанке в~в~ у, 24 ~у~В, тс Зея йпптраьа (1) Сврансдайаа фаржуГа дВГРС(жрвкййроеанах лод аваков англеграла (фар му л в Л сй Е в й й а): Р' (У) -.-- — - ) ) (х, У) йх.--- ( )г (х, У) Ух.
с( Г (з) а в Волн в (й) прк тех жс условнях на ) н )р пределы йгпегрнроваййя гр(у2 Н ф(у) Лвф~рег ьнр)емы прн уР(А, В), то верна формула: Мол р'(у)= — — ~ ) (х, у) ох —. Ву ' в'гх2 Ф ы2 =-) (ф Ы, у) фг Ы вЂ” ) (ф (у), у) гг' Ы + 2( )„(х, у) г(х. (4) Ф(в2 вф так как позыйтегрелг йзя ь~~уггк11йй с * яжкеп т гь'г -.:,.":..., .' 1 з-н *;,, 2 '( рг~ а то ь. й вйгс'1 ' '1 с о:ас '."»,' »;,,','' ' о 1'-:" П р й м ' р Рй '*'ж "з""* 'г' Х Н$3аагтка, 'о' с' ь тогда йскоыы:1 г, ггт2„:л,.2 вакс ж. »ьк Рз 2 г ду 1п х Подыктегпальйав фупь~2кй ~ 1"' аг'-- г к' '1 '«ые~ л;,' ь.
у е1 О а а О а "е,".,'"".тз''82: Выйггсли2ь следуго1ипс пределы 1 8Л68. )1пт ~ хьсозхдг(х. 8.!88. (1и1 ) ~/х'-,'-()ьг(х. век' о ;-'4", л 8.а67. )(и( — ()'(х+ 8) — ( (х)) Вх, если г (х) непрерывна ';",".,',„';:::;:;:н~ отрезке (а, (2) (а ( 0 ~ х, 8) и ('(0)=0, " ' Нродифферепцироаать функции:" ' У ил 1 . 8.!68 Г(В)=-) — ' — -~Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
