А.В. Ефимов - Сборник задач по математичке - Часть 2 (1248980), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Л рн мер 3. Вызволять ~ ') у«куак«(у, едлн область 6 ограннчеяа кркэьмн у' -.ак, уз . ак. ку- р, зуу-у (В < а < Ь„О < р < ОЬ ««9 Перейдем к новым веремснным и в о но Фов«злам уз — —. ик, ку= г. ТоГда к-:-й «Низ«з, у и"«з '„ — з з.з з «'к 2 "«:з -««з до а оу ( «-из ««з Ф. ( з/з -Мз — й й — — -"=-; й о ««и 3 ' ой«З .— — и" о --и 'о -з«з,*«з 2 -«ж -з з а 3 /(««, од= -з«з д«з ( з«з -з з и ' о * — й ' Р 3 ' 3 1/(и„с) ( — — „орн и э о. ай лая коюрых и Сырыулз (5) Пример ной интеграл 'а ривнейнн ливий прнкнмжот вив и..а, и: —.-Ь, о--.р, Сблзсть 6 власкостн Оха прсспрезуется е прнисутольник плосьосси О"ас (рис, 84), Брнскоян форыьлу (б), получаем В ,),( 3 а-д,и 'о '1 11зж1олее уп~ псбн1ЕЛЮпаин но КРияоливелных коараннзт нвлнются полярные коорю1наты ( со з ср — с ян1 Ы ) — с ,а1Г,, ГСОЗ Р('" ззпимлпаетсн з инде ((х, у)ахсу=() ((гсозс„гз1пфгаайр. (В) г 4.
Йерейхн к волновым ноорднвзтэы, вычислить двой- а где область 6 огрзнняенз окружностью хв+уа — 2ах. м4 Положим х ==с сов н, у =-г яьп са и применим 1итриулу (6). твк кзк х' (.ув=-са, то о г 2срзвненне окружности х'+ уа =2ах преобрззуетьн к вкду г =-2а сов 1р, Позтом1 облы-.зю (' язлнессн обтзсть„о1.рииияеинвв свину всь111 г.-аб, свеРхУ косвнтсонлой г=.2а сов 12, нРинем 1Р~ ~ — '-х .зт м1 2 Ф 2 гав та саав '( б„" ~ "а.—. ~ '..~ ~ ' ') ач=- ) 4,а В сазе ар с1Ч вЂ” Раа '( сова Ч, Нр:: ра" .
— . — --'- —..", лиса 4 2*2 2 (1ерс1рси к Роля(1иым ксн!(1диивгвм и рвсстввитт В(те долы иитегрирйвниин 1:О Вовыы ие('емеииьсы в стеду1ОВО1х иитегрвлвх' аа, '. 8.4!. ( 1(х ( (()с хв .: 11а) с(11 а а Га'-.хт 1'а 8.42. ( 1(х ~ ) (х, у) фу, 8.43. ( 1(1; ( ~(х„у) с(х, Г „ 844, ) 1 ((х' ,'- у) с(х 1(у, где Юнасов б от раииче тв ливв- ныи х'4 у'=-)сс Вх„(х'+уе)а=-О(хе-.у'), уаыО (у.,-':О, -ыВ"Р . Перейтсп к иолнгл1ыы коо(1диинтны, ВВВ1вслить слодувы В;ие пн'1егралга а 1 а'-к* а 1 а~-~ 8.48. ~ с(х ~ е"'х~81у. 8.48, ( Оу ( )ссав — х" — у'с(х.
а б 1 ат-а' 8.47. ') ( всему+уз — Ос(хс(у, где об~астм 6--кольио Ы~~ду ДВ)МЯ ОК(тутКИОС~ Я11И Ха 1 у'аа 9 и Хя.(. у~=-25, 8.48, ) ~ $' аа — хе — -у" с(х18уь где облнеть (1 — часть круга радиуса а с кеитроы В точке О(О, О), лежни;вя В Верной с1ЕТВЕРТИ. 8.49. ') ~ (Ха+у') дХС(у, Гдс ООЛВСТЬ б ОГрв11ИЧЕИВ КриВыми хе+ух=-асх, ха )-уз=--2ах, у — О (у жл О) В.ВВ. ~ ~ дх ф, где об хв ау хв ( уз оая илов)аль 1асти втой поиерхлости. хежзшсй в исриом оигзитс: а ег —.4Д ~/ г)хс)р-.4) )Г 2ах )-ас ах и а )'ахд -~~~ м,аг --=1 г 2ах)а Ь к М и - ,-— бзах .
ах) ~ —, (З ~" Заа — а ) ац ге2ах — ра о к' 2ах ' аа — ах= и — 1 1 ) (, а) зх ау. ()0 П риме р 2. ))аг1и оаьем тези, ограиииеииаго поеерхиостими р- Р ххк 2ухх. х г 4,г О. а3 даииос гс;и иих,ски иихиихроихом, оераии ю~имм сверху паосиостьао к,) ха: 4, сииау пассиосзьи г . 0 и е Ооиои примами пиаиих- .з и.-измы па рис. Иь О. )пасем: г . 4 — х, гг х х Р =- ) ~ (4 — х)ахду.— ~ !х ~ (4 — х) г)у-а ~ (4 — х) (2 Ус х — Рсх) Цха о о а 2ха х 2ха *х )х 128 — (4 — х) ре х аех -- ( 4 — -„— — — — ' ) ~ = — —, вм 3 З /)о )5 3.59.
Нзй1и площадь фигуры, ограниченной кривыми д'--4ах 4аа и х+у=2а (айи О). Опием р Паааькрь оериии~еииого сесрху ьеирермиоой поверхиостььо х — ) )х, уп азизу пааскассьеа ха О и с ге кои игяюеи пилиил рииесиои аоиерм се~ив, за~раз~омой иа пяскхссги Оха область О, иыриыастси иьле3 пахом 8.68. Найти площадь фигуры„оераниченнои кривыми .::: ху=4 и х-) у = 5.' 8.61. Нанти плг,щядь фиг) ры, оеряниченной кривымп хе )-4а' " д = —,"", „х .— 2д„х = 0 (а '.. О) 8.62и.
На(пи площадь фигуры, ограниченной кривыми х',ьд':=-2ах, х' уе 2Ьх, у--'-х, у--0 (О < а< Ь) иах::!',"' -' 8.63. Нзитп клопиадь фигуры, огрзпичеппои крипыми г=-а() --созд) и г ааа (вие кз(щиопзы) 3.64*. Нанти плоцгздь фигуры. О~рзцичсгпк~й кривыми 'ф:;":;,:, (хх - ух)" а=2а.(хх — уа) и ххп ьа.. 2ах.
865и. Нзьимп плогцядь фигурьь щряппчсгпон петлей р вой (х )- у)' --«.'д, .'. з~', 1) .:, :р; « * '., р;. (а. О). 8.66и. Ыяй~и жчоп)идь ~)иг)рьк огра~ ичсппои крща й ~ Ха ух ')х 8.67*. Найти плпщздь фигурок огрщщчснпой кр. вымн д= =.ах, дх -.=. Ьх, щух -- х', ауа —..ха (О .:: а с.' Ь, О . гп:м и). 8.68е, Найти плегщядь фигуры, огряьп1чегщой кривыми д'==.дх, у" а-г)х, д.-аах, у — Ьх (О ~ р "", д„О ~ а .. Ь). ж,"','!!:;. 3.69. Найти площадь щг'и пл ккостп к+ да-г ==а, ПЫОЕЗЗЕМО)) ИЯЛИПд)ЮЫ да а Ое И ПЛОСКОС1ЬВ, Х=-:а 8.76. Най~ к площадь части поверхности цилиндра ха+ г'=-те, гя~резиеыои цплщ~.;ром у' — а(.— х) ' 8,74.
Няйзи площадь час:и поиерхпое ги коп)та х' + -(- г'=мд':, вырезаемой щвппдром уа;.-: 2рх (д ': 0) 872. Нзйгп полпУв повейхиосзь ~ела, оггвзцичеппого цилвпдрзмп ха =-ау, ге-=ад"'и' гаюсксстьв 3,-2а (а ';; О) 875. Нзй.'и ппоцздь части пг~верхйос1и конуса ха+ ге -= д"., вырезаемой плоское гимн х==- )), х + у == 2а, у= О. 8.74. Най и. О ьъд час езгерхиос . цилиндра хм+ус-.2ах. вь1резяемой пилппдрогк га=а2а(2а — х) 8.75. Няйги площадь части сферы ха , 'ух ) г'=-2а', заключенной внут)зи кехиусз хь -; уа = гк 8.76.
Нарг1 гглоп)ядь ясин г|оперхностп пзраболоида . га-х'--д', заключенной между пяраболокдамн г=-Зхз+ -)-у' —.2 и г — — Зх'+уе — 4 377, Найти площадь час гн сферы хе+у'+ г'=а*, вырезаемой цилиндром с образующими, параллельными Оси Ог, иаправлпвщей которгяо служит трехлепестковаи роза г=аз1пЗц) 3.73.
Найти площадь части винтовой поверхности а=аагсх3 — ", вырезаемой цилиндром хх, д'=а'. 8.79. Найти площадь части сферы ха+у'+ г1=1, рас- полозксвной между плОскОстями а "= 3 у н г = д (г ~~ О« Р" 3 д) О). 8.89. Найти площадь части поверхнос~и конуса х'-(- -(- у*=- г', вырезаемой цилиндром с образуккцпмв, парал- лельнымв оси Ог, направляющей которого служит кар- двовда г =а(1+гоп<у). 8 81. Найти площадь части с$еры хе + у'+ г'= а', вырезаемой вз нес цилиндром (х*+у')'=-а'(х' — уе).
Найти Ооъемы тел, ограниченных поверхностпытп х' г" х' у' 8.32. -в+ йа --1, --,+ — „,=-1 (а> 0). 8.33*. г' — х'--а', га — у'=-а', г=-а)х 2 (а > О). .6.34. у=-х', г — д, г+9=2. 3.36. х' — у'= 2аг, к'+ у' =-: а', г =-0 (внутри цилиндра ° а > 0) 8.38. ха-( у' — 2г'=---а', 2(ха+да) — г'=-а' (а> О). х.«р« 8.67. г=-се ~'" В'х. -,—,+глт--1(а> О, Ь'> О, с ВО).
3.83 ха ( да га тт.( уз 2га а« (а '> О) ха у" аа ха уа х" 8.89. —,+ —,+--,-=-1, —,+ —,=- —, (внутри конуса; а О, Ь>0, с>0), 8.90В. г:=- хд, ху =- 1 „ху — - 2, д' =- х, д' = Зх. 8.91*. г==х"+у', хдк«1, ху==2, у=-х, д=2х, г=О (х ь О, д.п О). меха В к « ее к ке п р н по,же н в В. еслв плес«ввка заввмает облать О плосьостп Оху н вмеет перемеввут поаерхвоткувз плотность т — у(хь у), то мыса М паастввкн н ее апатические момелтм М в Мк отиосктезьас осей Ох В Оу выражаттсн лаойнымн квте- граламв М аа ) ) у (х, у) лх йу, ((2) М„ — ~ ~ уу (х, у) «( Ф. М = ~ ~ у (х, у) х Лу.
Киоракпасы цавтро масс х в у пластввкв опрелелтотсн слелу1ощвм образо«в у) "~ ну 1) ут (х,у)пхну х .== у = — а=- , ° ((3) ) ) у (х, у) Лх пу Момавлем пвеуцпп пласткпкн отно- (у свтельво осей Ох к Оу соотаеастаекко раВВВ1 'х « тх = ) ) уху(х, у) пхну, с ((4) (в=-)~х".З(, у)Л Лу.
а момею вперпвв пластввкк отвжвтехь- л, ,гв«,:,.'„:: л. Во паыала коорлппат (по трама ь«оа~епт :"с~2,'. ( р *. й ааев -та С )о =-- ~) (х~ уц т (х, у) В.х~(~.— — („+( Рв«. 37 ((й) Если пластквка олпорозва в плотпоссьее ке указана, услоавмсп счвта~ь й (х, у) Г(ример а р(ай'в«кооркнпам«вевтра масс олворолвой пла. фа',: '. Втквкв, огра$ в пикой квпаымв пу .'Вт„х - и 2п(п . ОЬ «ф Лвввв перссекаткв а то ъак М, ( — 2о, 4В), М. (и, п) (ркс. 32). 3«=~~а.ву=: ~ Л ~ Лу- ~ ('2 —.— -"'-) .=: а т и у и' - за х«~а - та хт х*; (а Р ==' 2их — — — — ~ ~ «= — и; 1. 2 Ы~1т, 2 а та — х а М„==:~ ) у«(хуу = ~ «Гх у«(у=--- 1 ~(2а — х)' — —; ) Лх а« Ь ( у (2~ х)а хт й(а 33 В ы — и; 2 (, 3 йаа )(-Ва 5 ха т М„.=Д л = ~ л ~ йу.= ~ (2 — — — 2(н и Полстаалвв пайлеккые зев ~евин п форхчапх ((3), вмеем МВ л 2 ' 3 5 8.92.
Найти массу круглой пластннки радиуса Й, сслв плотность ее пропорциональна квадрату расстояний таити от центра н равна б на краю пластинки. 8.93. Найти статвческие моменты Отвоснтельпо Осей Ох 'и Од одвороднои фигуры', ограниченной кардноидой г=.. а(1-', сов«р), 0~~~2. и, и полярной осью. 8.9«). Найти координаты центра масс однородной фи- гуры, ограниченной кривыми у' = ах, у=-х. 8,96.
Найти массу пластинки, имеющей форму прямо- угольного треугольника с катетами О — а и ОА =(и если плотность ее в любой точке равна расстояний) точки ог катета ОА. 8.96. Найти статические моменты относительно осей Ох и Оу однородной фигуры, ограниченной синусоидой у=»йпх и прямой РА, проходйщеи через начало коор- дььнат и вершину Я(л)2, !) синусоиды (х зО). 8.97, Найти координаьы центра масс Однородной фи- гуры, ограниченной кривыми ху=- а'", у'::- 8ах, х=-2а (а> О).
8.98. Наь)тьь моменты иперпни одиородноьо треуголь- ника, ограниченного прямыми х-1 у=- 1, х-е 2у — 2, у=-О, относительно осей Ох н Оу. 8.99. Наиьи координаты цептра масс однородной фи- гурьь, ограьпьчеьщой петлей кривой Г==-азьп2~, лежащей В первой четвер»и. 8.100. Наь)тьь моменты инерции однородной фигуры, ограниченной кардпоядой Г = а (1-1 соз»)), относительно осек Ох, Ру н оьиосптельпо полюса. 8.101. Йайти момеьпы нперпин О)(породной фигуры, ха уа ограниченной эллипсом — 1; — =;: 1, относительно осей Ох, пз ба Оу и Оп по».итсльпо па'1дла коордк»ПГГ 6.102*. Наьрььь ыомеььььь инерции однородной фигуры, оьраннчсиной кривымп у'-.— ах, у=-а, х== 0: а) Относитглыьо начала координат, б) отис»сиьель но прямой х=- — а.
8.!03, Няьгьн момспгьь пьы.'рцььи трсуголыьика, огранк- чсьп!О10 п(»мььыми х.» 1»'-— -. и, х = — и, у:= и, 01иосп Сельпо Осек Ох„Оу и отпосптелщю начала координат, если плотность пропорцигйьальна Ордннаьс ь о»ькн. 8,!04. Наь!Гьн м<»мсит инерции однородной фигуры, Ог)уапнченпОЙ лсыпяскатоп Г» — л сов»»', Относительно ООлюса. 8.!06. Найти момеьпы щьерции однородного кругового сектора радиуса а с углом се при вери)иле (совпадщощей с началом координат) относительно Осей Рл' и Оу, если сектор расположен в первой четверти и одной иэ своих сторон лежит на осп Ох. 8.106й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
