А.В. Ефимов - Сборник задач по математичке - Часть 2 (1248980), страница 9
Текст из файла (страница 9)
— илракнченз пти (к)~М ку д 1 — дз т)4Х)у(~а < !. Стедопзтел~ но, даиное урапиеп е имеет еяинстаснпое 'тф(зрение а любом прл»1оугольпикс ы=((к, у) ((к'! х,дт, (у )» а < -.,'),'<': !). 9» ,,"';;'=;:.!) Пример 14. Изйгн особ«и ре:,,янн урзакспня у'==у (-ут, ф?'':'~3 вя.его общее р«щепке у =-в1п (х .-10), 1» ~ с'ю', л2. е 'чк(йсч($$6остзанм сл! ' ' »г урзг»1«к у Мп(х . С)„, н )к+С(щ —. яаллдсм дае фупклглли д= »1, которьк, очеаидно, лали. .:»6»:: .',',::~«!!ай рещеииямк данного ) рапненил н не полтчаютсл кз оба~ео рл ''4!))116гй)(иену ин при каких значениях С, Слелопателько, у= йП вЂ” скобые , '! м);":,!:::;ЭХ(гия.' ф На0тн обдаст»1 с)гдествоиании н единственности релпе- ':для дисрференциальных уравнений:.
бу Э. 199. "р' = — у'; 9.$02. рг = д —.х ЭЛЭЭ. у'=1+ $иу. 9.109. у'=Ка+$~Х вЂ” ЬР. Найти особые решения следующих дифференциальиыд уравнений, зная общие решения (там, где это указано). 9.$$0. у — —. 2 Ряд х ЭЛ11. р'.=-4ху'у — -1; у= — (х'+С)'4 1. ЭЛ12. ху'+ 2ху' — у — — О; (у --С)т — 4Сх. + у 2+С +Ся. д=/(х, Р). или к=-)ф, Р), дР ) д) д) др Р =-' — '+- — '— дх др дк Р дд дл дд Из этик систем исака (20) или (21) Пример )(ь пзхсмится сооткетсткеюю общее рещеике урка а яаком или парамегри соком аиде. рещкть уряппекке д=д +хд †. Р=-д'. Тогда д=р"+к(Р— 1). (2э Дифферекцяруя зто равенство по к, полуяим д~т лр р=-.
2Р— +Р— »+х— д« ' дх ' или др дк 2Р+к Закатаем иослелисе урааиепие а 4юрме дх — =к+ 2Р. др Эю лииейиое урзаиекие, его общее рьэпекие: к=-Сер — 2 «и-»-)). В. Урааиеииа, ие разреиюииые откоситмьао ироизаолко». Пусть диффереициальиое урзаяекие Р (х, д, д') =0 рззрещкмо либо отиосительпо искомой фуйкикя, т. е. имеет акд д=-)(х, д'), (20) либо отиосительио аргуиеита, т. е. ззпксызается а виде к=-/(д, д").
(2)) Тогда ояо кктсгрируется путем ааедеикя параметра Р..=д'. Урезке. иия (20) к (2») переходят а алгебрзк ясаке урзакеиия. дкфферекии. руя которые соотзетстзекио по х кля по д, попутки системы ураа иеизй юекке исходиого аелсккем пзрз- =,4$одстааляя иыражькке (20) а 4армулу (Щ полуяим д=С Р(Р-))-Рю+2 .",:,(уартема соотяощеиий (23) к (24) определяет общее ре .'-:-,':у~аййейия и параметрической форме: «=-Сел — 2(Р+»), д=-Стг(Р— П--Р +2.
(р П р я м е р ! б. Реюсии урзиищще к — д'*-ь —, ° ':-:::;„'иф Полагая Р-: д', яжея х-=Р'+ — '" . :ар)((йффереиггируем зто рззекстао по д. др» 'д др — =-2Р— с+ — -- —.— Р дд Р 'Р'дд' арг д) а —, «~2Р---т =-". дд ( " Рту=" ,;",;; ' Отсюда Р1 — С и Рт — $/ 2 д ° ~'*-:Полстззляя яооэсредпо оба результате а аьзрзжекяе лл '.,")»бщее рещекие д": Ск — Сз 4'":я ре1кеиие з1я д.=-.=. х ',, а р'7 ':!;,.$азторос, кая легко убелиться, язляюся особым, ЭИ ";:!',;:!:,'-'-' Решить диффсреш(кальяне уравнения: )о:„'!;,,Э,1$4.
у=-у'+4у". 9.115. у.— у'! !+р'т, ;",фт',"~!'::,;, -' 9,$16. у=-(у' — !)ед. 9.1$7. р — —.— +2ху' ф г ;"к:;~~:;,;: 9.113. х — у" — у'+2. 9.$19. ь=-у'соду'. 9.120. х.=2у'-- »пи'. 9.!2$. х=-.-++ —,. "В:.":!-'::. Частным слу,аем урззкеииа икдз (20) валяется тзк ' ьа:"::.~":=Ьдйбаиьзмос Зуатрпиатп д=х)(д')+ф(д'), бторое ирк ) (д') == д' иззьщают дразьскьсм клеро. В (артуа Р— -д' ураякекке (2б) пркзояытся к килу д=х((Р)»-к (Р) в случае оосзего урззвсквя Лн')гюокз и к залу ' гг =- Р 1 Ф (Р) В слгязз урзззмкяя Клетки ураакеяас лгграггкса Кисет особое рееяеввя р'-'-:х) 1р ); и (ла) 1де р„— лахюк Вз коркой )гам слггх Г(р) .:р, Улс е К. ер.« '." *-б " р ..е В ==Сх 1 т (С) и Осабмг релкглю (л) р — — ц 94 р-г В1(р1. (27) валяюмсеся ыяозюгггей ссисйсгаа Вгксгральвмх крю ьх (26).
тяакм обрззснь хкхяол сг)хгрхплкгховзть слсаукялсе л р з к т В- ческое лраввлс, Засмяка в ургвкеявв Клеро симмтл у'скмво. лом С, мо сразу лолулзсхг сазлсс рс~лелхс 12б),,лггхнрегеглгггруя сто по С В Вскаазяав С, кз скстсмм двух урзакскйй (об%ма рслвсякя В резуль~ата лг~гы)клсяцкраяаккя), лслуаасгм лсс.бас рс.оскгк: (2т). 1)рк мер 17. намять )ра мекке Лагранжа р.:- хра 1.В'.
ч6 Г1:лм"зя з -.'-р, лзгвсмм  — "" ХГГ Лмфвсрсвзкруя ато равелстлс во к, лсхтуякв лр ВЛВ с)',' " ~ лт Это лйяейлсн у)газяеляс Вмгст обвис рс."г:саке -'= ---- -С (С ' )л ) р ) - Л), (1 — -рге надставлял кслвоое в бори)лу лля д лслуязем обгзсс рмлсвке ксхол- ггагО УРааггел1га В лзйзметлкчесхой ямгзвс, С 1.) р) — гг, (с'+)л) )р) — л) лз (1--р)а Кроме того, уравггслгсс имеет осана ре хгккя р--б к у:-.к.)-1, р.
м лг=-б г —.1 ур "' р"=р Г П р В мер 18. Рспвть уравкскае р —.ху — р' . «4(Дванов уран мвкс Вмссг вкз 12б) лрк «(а')=-.=р', т, е. Является ураавелксм Клеро Сле.суя лрактВВЕСКОВУ лразялУ, лолУеасм сбгкес РЕГО ВКЕ р Сх Сс Исклгочевг лмкс, лайакегв С Вз скстемм Уг|закелкй р = Сх — Са,  —.- к — еса, Решить дифференциальные уравнения: 1лсу'з, 1 9.122. у —.
х — . 9.! 23. у — —: 2ху' -»- — „, 9.!24. у = ху'в+у", 9, ! 25. у — — (ху' -)- у' )и у'). 9,128. у=--ху' — —,. 9.127. у=-ху'-) у'+)ху', У' ' 9.128. у=-.ху' — е". 9.!29, у:-ху'+сову'. 18. Смешаннмв азлачн на хмфференмяальвве уравнения 1*го Варавва. Опрсзделиь типы дифференциальных уравнсггнй и ука- зать в обьцем виде методы нх резцепигн а' — хг 9.130. З)ггха=-е а . 9.131.
)г х' — у'=- у —.вх+ хр' 9.132. 1+ х.+ (1+ ха) (ех — е'зу') = О. 9.133. 2у" (1 — л') — ху -- 2ху'-)-2х'у'=- О, 9.134. у с(х+ (2х — у') с1у =- О. 9.135. ( —" — х+уа) огх+12ху+у — —,1 с(у= О. ~Л ж у с(х+ ( — 2 Уху) г)у == О 9,137, (х*+ у'+ 1) с)у + ху с)х =- О. 9.138. у' =- в)н(у — х). 9!39. х== агссов!в '' У 9.ИО. Уу ==" — „,:„-',;-„—,—. Рсрлить дифференциальные уравнеггигз. 9.141. у'+ху=х!. 9.142. (х — у)з(у — ус(к=О. 9.143.
(хсов2у+ 1) г(х — хавгп2уду=-О. 9.144. у'==у(6гх — уасовх. 9.145. у' Н 9.ИБ. 2уг)х+ 1,у' — Бх) лу= —.О. 9 147, (хуе™+у')Лх==хгехгхг(у. 9.148. (ху'+ х) с)х+(у — х'у) ду =- О. 9.!49. (2хз — хуз) дх+(2уз — х'у) ф =-О. 9.150. ху'+у=ух)пх. 9,151. Зх -'; у — 2+ у' (х — 1) = О.
81 9Л52. у'= — ". 9.!63. у'соях--узгпк=з1п2х. х — и' 9.!54. (2х+(п у)дх+ ( — +згп у) г)у= О. , р 9.166. у--.у — 1 у'. 9.166. у'=- — х+„,„а ° 9,!67. ( и — угйпу ) с(к+хз1п и г(у=.О. 9.169. (2хсг + у') у' == уг". 9.!60".
(1+ у«) с(х»- (~ 1+ у'сову — ху) 1(у. 9,161. ( - — ' — — 1) с(« — —,— —, с(у=-» О. (ха+уз 1 ««+уз 9.162. у'-1.— 4»- — — „--'г. 9.163. у=.у"-1-2ху'-) —. х игла х 9.164и. (х - — 2уз) г(х + Зуз (2х — у') ау: —. О. ((. Геометрические н физические задачи, ириаоаижне к региеиию диффсренкиальгмгх урааиеиий 1-го лорядка. В зала1а«гсомст (лги„а которых трсбусгсл нанти урана«кис нрнаон ло заданному свойству сс касатсльлой„нзрмалн или сложюти криозлн««ейной гра лекнл, нслользуюгся гсоыс«1'1г1ьскос нстолкоааннс лронзиолжзн (угло л1й козффв1иснт касатсзю1ог) и юпм" рьл ~ с «1срсмслг~ыы лрсделом (аложааь криаолалсйлой т( алсиаи с лоданжлой ограннчнааю1най панка«о б, и такжс счааукчкис 061«не у фЗРМУЛЫ ДЛЛ ОЛРСЛЕЛСИИЛ ЛЛНН Озр«ЗКОН кжал зьлой 1, нормали л, лолкьсатсльлои зг н 11оанОРыктк ьл (1«лс.
93): 9 1=1-:~"("--"'1 л=-)р~( ~-"( и д' В,1 Х .и Пример («1. Цайт ураинснис ьрРнс. ВЗ ион, лро«оллюсн через 1 ачало ко: рлн иат, осли н каждой ес точке д( (х, у) 11ОДКаеатСЛЮ1ЗН Зг и й Рав МЕИЫЛС 1ЮД««ОРЫЬ«гн Ею "4« м4 Пусть р.=-4(х) — урааисиие искомой кргеой. Ислользуя ныражслин лодкасатсльион аг и лодкоймалн зл, мы сйазр лолрчасм диффереикиалмюе ураанснне )рр') — -- ь~ — -~, (р')а = й. Интсгрирун ато ураннснис и учитыаан начальное услоанс у(0)=0, получим искомые уранискин д=ч-)«а « (дне лрнмьм). ф» П'р и ме р 2П. Найти уражюинс криаой, лрохолишсй через точку ((„1), если длн любого смрсзка 11, х] ллсснаа1 крин««лмвсйлой тра 62 «1с« ни ограниченной солтис«стасюк«ей дугой атой кгньог н даа раза больл1с лронзнслсннл координат точки М (х р) кривой (х > О, р > О), «6 с««глас«к услолию задачи имеем ( р(О ц(- 2«р(л).
Д1 ффсгсилирул зто рансисгно ло х, лолу чаем ли44итс««лиаз»ил» тран1сиис р — 2(н-(-ху), илн р Инмгрнр)н '..", уралнсанс н учитывал л«мальме услонис у(1) ..1, найдем «ра»! »лис нск«моз ирна«й; н»-- — = р~ « 9.165. Найгв ураввекве кривой, проходлгцей через точку (~'2, О), сслв сумма дллп гт ю~зтельл в подквсятедьвой рвн1га пропзведепвиз кОсфдвца1 гочки касавин. 9.166. Найти урввпегсие кривой, проходковой через точку (), 2), если ее подквсвтельваи вдв«ж больюе вбсцйссы точки касавин. 9.!67,. Найти зрзвпсвво кривой, пргжсздлц(ей через точку (112, — 1), еслв длила отрезка полуоси вбсьлсс, Отсскзсмого ес квсзгелглгоп, рзвлз квзлрзгб абсциссы 1Очю1 касавин. 9.166.
Нлггтн урввпсвпг1 кривых, у когорых ДЛМ«з «врезка нормали постонппв и ряглга а. 9.!69. Найти урвввервн кривых, у которых подпор ..зль имеет постоюпгую длвву а. 9.170. Найти уравнение крив««Й, прохОДнгцей «1с'рсз гс««гку (О, 2), если плосцвдь нрвволицсйпов трсын«пвв, О1 рз1пгчеппс«й дугой втой кривой, в два раза боль ве ДЛППЬ1 СОО1ВЕТПГВ«гсвйей ДУгн. 9.!7!. Найти уравиепвс кривой, проходгццсй через очгу (1, )12), если длл лгобого отрезка ((, х) плов(з«(ь кр«1волпвсйной трапеции, ограгл1чспгсой ссзотвстсгг«ую1цсй д)гой втой кривой, рзв1га отвоцгевпю абсциссы х коллен« Й точки и ордвив'ге.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
