А.В. Ефимов - Сборник задач по математичке - Часть 2 (1248980), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Гипербол у=-а(х. 9.11. Цепных линий у=асйх. 9.!2. Гипербол с« — у« — — йах ЭЛ 3. Сос ~ явить дифференциальное уравнение семей'втва кривых, у которых о1резок любой нормали, заклю':ценпый между осями координат, делится пополам в точке 4йс«асання. "-. 944. Составн.гь дигрференциальиое уравнение семенства Кривых, у которых отрезок любой касательной, заклю"ченный между осими координат, делится точкой касмп(я :М(х, у) в отпоп~еппи (ЛМ 1:1г14В1=2«1, где Л -- точка '1(ересечсния наса|ельной с осью Оу,  — с осью Ох. 9.!5.
Сост пыль дифференциальное уравнение семей- :ства кривых. у кочорых плон(адь, заключенная между :осими координат, этой кривой и переменной ордипатой, т)ропорциональиа четвертом степени этой ординаты. в. ррафвческвй метов построения янтстральвмк кривых (метов ',"~(,,',,:.::,;.~ иаоалнн). Дкйферекпкзльное ууаввевве у'---.1(х, у) вплосксстясфкк- сировавцой декартовой врвмоу«олькой спстемой коорлвпэт бху оп- 6:.;; ° рслелвет похе «олппалагвй развя д савом (аа«!(х, у) л аэзоххпвой урвввсввя (поля направлений) эгм«ывается вся«за кривая,,опрсделвемая.
уравксквем И йгз 1(х, у)=й прп, жги роза«жом й, ля првблкжеквого (графи,ес- (Чл кого! реп«ек на уравнения у'.=1 (х, й) врут«реям вэ йлоскостн взоклвпы г( гг '«.;.';:":.,йан васкояьюи зкачсвкй й, Пум« Фз(зэ уь) — векоторая качал«паз - ' у - ' "' 2 ч з т«овца й(зокл~«па й~ пйохолвпол« .ч1ейсз зту точку, ссгп вегст в( ет яйй«мп«во й, равному й«:«1(х«, ей Пвс. '.2 Провален отрезок М«М, с 2гловым 'Лпн)фнг«пайтон йа ло вересечевп « ..«В:точке М, с глвжьмчсй «зо«.а«аой ь, ( ем савом мы ззмеввм лугу Нйтегйзльпой ковкой о«йьзком ес кас«тел«ьой).
Дэзес, вэ тачка (, ф'йз(х„у,) прове,нм воеыв отрезок йцй(, с угловым коэффицкевтом " "'йа.— -9(х,, у,) Ло персее п«п«э в точке М, со свезу«о«пей нзоклвной бз В рез,льыле тююго оостйоевяя мы полу гвм ловавую, явзжожуюсв 'вуиблнжейяым взобрзыеяяем ввтегральвой кр«вой, пр «хознцей через канальную то;ку Мэ. Чем гугпс азата сеть взою вн„тем более точно Ножке поль'жть кптсгргии пую криву«о Изменяя положепве качель«ой толк«М«, аналог««цю новою .'ы ч-'".'аа)стРокть пйвбликевво в гРУгке вюегйзльвь.е ивовые. Пр амер 4. А(етрдом нзоклна построить инте ральпую кривую ураакепия у'=2«„проходящую через начвю координат. мй Изоклняы данного ураанення — пзраллетгьные прямые гх=й Полагая Й=О, Ч-(, ~2, ~3„..., получаем Язоклины к=-0, х=й!Гг, х.=2), х=йЗГ2 и т.
д. Построим их (ркс 92). Отарзаляясь яз начала координат алена к апраао, строим ломаную .М «М зМ ГМЬМ,М«Мз ., зяеиья которой Имеют угловые козффипиенты соотае»кчт»е»ГЯО ..., — 2, — (, О, 1, 2, ... Эта ломаная и есть приближенное изображение интегральной кряаой. Рекомендуем ч»~татаа»о построить графяк стютветстзующего частного решения д=хт н сраапять его с построенной ломаюй.
(р Методом изоклии построить приблГГякеиио семейство ннтегрзльинх кривых следуГощнх диффереГГнизльных уравнении: 9.16. у' = х+ у. 9. !7. у' — -! + у. 9. 18. у' =- -- у/х. 9.19. у' = у — х'. 9.29. у'=- — ". 9.21. у'=": . х+у ' «фЗу ' 3. Ураянеиая е разделяющнащся перемеянымн. Пусть а урая- ИСИЯИ у'=-)(к, д) фуккяия у(х. д) может быть разложена яа мьожщели. каждый из которых заанскт только от одной переменной: )(х, у) .=-Г«(х) Гз(у), нлн и урапяеняк М (х, у) Йх-'~-Л' (х, д) Г)у=-.б, хозффяпнситы г ри Лх я Лу предстаяля ются я аиде М (х, у) ==.-МГ (Х) Мз(у), Л (х.
у)=дз(«) Мз(у). ()утаи деления сост»ГСТ»тн»ГЯно на )з(д) н па У, Г«) Мт(у) юя ураансющ ГГрвагьтатся Соатаетстяскна К аиДУ ГГ (х) ух= -" — -Г»д,, Г(« — -ГГУ. ! М, («) Г Л'а (у) 7«(д)' ' Л'Г Уй Мз (д) Пктсгрнруя левые части зтя«урзаяеянй по х, а прзаые ао у, при- «олям и каждом из ан«к обп»ему Интегралу нскодаого дГ»ф»(юреГГЯЯ- альЯОГО УГ)ап»ГСГГЯЯ.
П раме р б. Ргнпнть ураю»син а'д 2« Лх Зу'+( ' «$ Разделяем асремсняые." (Зуз+ !) Йд-- гк Ух. Иятегряр».ем: ~ (Зуз+ !) Г(у= ~ 2кйк+С, нли у'+ у — хз — С (общий яиа грал ураянеияя). 9ь Если а урааненни с разделяющимися паремепиыми у'=!Ь(х) )~(а! фуикяня )а(д) имеет дейстантельный корень уа, т. е. если !е(уа)-О, то фупкцня у(к)==уз является рещеякем уразнеиия (я чем легко Фй "" УЗЛд)»ться непосредспк иной подстаьОВКОй). Прн делекии обыщ .час туй, итого у(»аяящщя нз )«(у) »(п(ГЯ (Газ«слепни переменных) реям»~яе , 9(х)=да ьюжет бьГГь патеРЯЯО Анкюгнчка, ари иитегркроазньи ураянекня М, (х) Ме(д)к(«-( +ччх(х) Фз(и) ад — 0 могут быть потеряны Г»ятегральяые кряпые х:Ь) =хе я д («) дь Где ъ --.Гейгтяятельяын кореаь уран»ГСГГГ»а ЛГ)з(х)-=0, щ--дейстапюльный корень урааяст яя ме(у) О.
Пазтому, получяя указанным яыще методом разделенна перемен. ,.НЬГХ Общий я»Гте РГ Л Г рза»Я ИЯЯ, ЯЯДО п~ ОПЕРЯГЬ, Я*ода« Ля а СГО СОстан (Гфи ЯОГëà «ЯьГЯ. Гислааь»х ЬГЮЯСЯЯЯ« пара»»е»Г а с)».'ЯОЯЯЯГ" ~9»ь;,";,; чьте частные»е ЮГЯЯ. если входят, тг, и Гтерк рещсю»й Яет. если яе нхОдят, ГО и«»зсд»СГ Включить а соггза яятст(,алз 'м"'.*",'Г,:;;..., П ример б. Й»ч; ЯГГ, )раапе» ие ГЯà —. Йтй«. Ь,ЕР.
З 1 41 Разделяем ОСГ« мкп и, Г (~(л. ду — . =. Г Й к ГГх, ИГГТЯГРГ»РУ»м (п(у', -.- — )О(»ьа «( РС, .» 3 нли Ы ) у соз х(=-Со „Г(л»Г у.кбстаа ГкпеяпкроааиюГ получеппщю Гзиыктаа представим параметр СГ е лсщрчй«п чыкок форме. Яол» жаа СГ.= )и ', С» ). С Гя 0 (Яри ЯЯГЯ С, г),»ЯГГ»«Г.»т ьге ЮГачеаия от — сс до ( сан 3оглз (и ! д с»м «Г: — Рп )»':, ( .. н, патсяанруя, оглу з»м обп»яй ЬЯГЮ Гзл е ая.,» д го« к-.
Сь, Гпкудз д -' — С» з»с «. (3) Заметим те»~*рь„п я»«адщю ья)ГГРСГ»еГГГ»язз»»яГое урзащяяс»ГЯ»хт, вчсандно, ыпе реп»ея»:е у-.—.о„кот»Гр»ЯГ Яе а«одкт а защюь (3). так йак Сз аь 0 Вьсдсм Иоана паде»к"тр С, пржщмаюГЯНЙ, ЯО(лкчиг»ЛСе также и яул»аае зная яп!. УОГДЯ Реп сян»Г я =0 пойдет а са»таа ййцсго )ГсЯЯГЯЯЯ у =-Сзес«1В С псмоаало полстаяоак»Г а(х).=-а«+(д(х)',' ГГ к ураяяеия»м с ..' ':разделяаяпимися псремсьиымк приаодщ»я я ЛИГ)к)срежиальяые урааяея»Гя аида и* — ) (акй Йучр»(), Й к О. РеГГГГчт ь дяГ)к)ереГГцизльГГые урзвиеняго 9.22. у' — -х'у 9.23.
у«у'.( х'.—.= !. 9.24. уу'+х=»0. 9,25. «у'=2гу 9.26. (х+ !) у'.) '«у=-.О 9.27. у'1 1- х' — ! -;: у'. 9.26. у'=е"". й 9.99. (1+уз)хс(х )- (1+х')ду=О. 9.31. хд сх+)'1 ~--.Здд=О. 9.32. Ве™ с(х — (1 -;-- е'х) с)д = О. з) 33 *~ т (5 дат л (1 1,») ест д,(д О 934. (1+д)(г-б) "бд) — ()б дт) (д=О, 9Л5.
(1 б хс) с(дыг д)/Т-р хес(х — хддх — -О, 9. 36. с(д — 3 1' д 1н х с)х = О. 9.37. д' —. поз(х .1 д). 9.36, д' —.- — — . 2»-у 9,39. д'=-(4х ', д+1)'. 9.40. )у'=-5)51(д--..~ -1). 9.41. д'. 2д=--3х-)-5. 9.49, д': —.. )"'(4»--д+ 1)5. НЗ5ти частпще решеиип уравпениГО удозлетаоряющие уиазанпытт иаяпльнглм услоайим.' 9.43. (1 -р дх) дх — хд дд =-6; д (1) =- О. 9.44, (хд' -1- х) с(д "; (х" д -- д) Их —: О; д (1) =-. 1, 9А5.
д' 15» х.= д; д (т '2) =- 1. 4. Однородные ураакення. дкф~рсренсисаьльное уралиснне ) то лоряакз иазыалетск ольодс»)щ м, сслн его мсмлс привести к визу /ут (/=1(-- ) Х 5ЫК Ь НКДУ Д) (х, у) ох.-д (х, у) с)у.=б, (б) гке Ь((х, у) и Л (х у) — осблуосаые с)окхцлп одного порядка, т. с. Сущмп~уст танис Зт-й, (то М(!Х, 63 =(Лз((». у) И й(бе (у)=-.(зб (Х, у) ттлкдестлелио омюск ~ельно х, у н ( М б. щъюлыю годстаноаки у,'х.=-и(х) сакогодлые ураакения (4) н (б) прмобратуются а ураакення с размеляккинмнсл переменными. Г) рл мер 7. Рещнть урааисине у и у'=---1 соз— х х У „, пм я9 Положим --=и, нл~ у- и», Тогда у*=-, и+х —.
Ято посла лодх ' ' " с)х' станоакн а не»одное ураанекке дает ураанекпе с разделяющимися ЛЕРЕМЕЛВЫМЯ Фи х — =". соз и. бх Разделяем переменные: н интегрируем: $2 ) — + — ) =Ох. 55 ) )с 2 4,) Полуизем обсаее рек%Вне Л и — 2 а1 с)и ~",х — — ' 2пл„л 2 Возвращаясь к функции и, находки ( =.х ( 2а1сту Ох — - — -*,-2лт ) „ ~*,",' ' При делении ил соа м былк пстерщгы рескин ив .б ..
л °,*л —.х! — '"-,-ВЛ~, З 9. ,'Ф~!~'.", Добавляя их к солуненяому семейству р" ещсиий, на»озим общий ';:~:з. интеграл в анде у —, ." Згс)~.'О».р — тсл(Ь вЂ” )) !, и — » ~ — т л. ю и, д Ю .ь зе' Диффереиинальиые ураеаекля пютл СР5)СУ '~~ (б) в слуязе — Ф вЂ” грнполя с — ятсз к олоородным у разнеаням с помощью ат Ьз о замены лерсменлых х=л+ьь у=о+и. тле гл н л находятся кз скстсмы у(занещ,б асщ+ Ь~л -уст — — (б ~~»з мс д — д, д —.-б, то уравнение (6) преобразуется к 7!..т -,'., Поскольку здесь х=- и, у-.- к, .Виду (4) отнощ.тельно фуккинн о(л) а и-(- Ьто т /, о ( и,.',-Ь, с'- — '.= — ' — Д и.
следоаательло, пах+ ЬЗУ. Еслк з урзаиеакн (б) — = — — и. =)ь(асх+Ь,у), то око гркмет аи1 — ) ==-ф(а,»4 Ь,у). с(х )с(от»+рту) Рот/ — + Ь у(х) зто урааксиие преобразуетсь к уралу»2 '',. Подстзноакой и х)=лтх-- 'л;,;:„'."':,'.,"-'Ианк(о с разделяюлсимкся переыслшамя ! ' „)зеи)ить дисрференниалыттле урааиенкя: ЭАЬ. д' = (х — д) 4х+ д). (х'-)- ху) у' — х)л ха — у'+ хд+ у'. (х —.д) г)х -",-хг(у=:-О. да их «ха йу =ху ь«у.
х (у'+ йю») — у. хг(у усыч)т«-~ г«х —.О. ху' — у-»-х ((( р . ху — -у — !' х' — у'. (х'4- ус«оу--2хуг(х.=»0. Зх'узг(у —. (4» --дч) ах, (2х---у ', 1) г~х+(2д — х — 1) г(д--О. (у ', 2)с(х — (2х ', .у — 4)ф=-0. (х;. д «!) йх» (2з+ 2у — 1) г(у--- О. (х 0 и — - 1)' Йу =-» 2 (у + 2)а дх.
р- 2» р(й г«' — 1я — —, »1 «" и-«-х у ух и-рх х,*' 5 х , '3 х.' 3 ' 9.49 9.56 9.5! 9,52 9.55 9.55 9,56 9.57 9.59. 9.66 9,6! 9.62 б. Лквсйиыа ураинсиия. Лкбч(жрсяикальнос «разиыща 1-го но«ищка казыаастгя лийгаиым, толк (аю сотсрнзл и к р я осркой ю»осик, т. с кмсст ькд и' — Р ( «и 1- О (х«. (7) Прн»а(х) —.
О ураакскис (7«иркнкчаст зид у' —.Р(») у и казыаасгся лонгиным од»юрс«имая Оно яалясыя урааисикгм с раз дсалющнмкся исрсмщюымн, к его обско рь~исю с ожет ажч 1 и ь»~ а» р = Сс» (~ гла С вЂ” орокзяольная оостояаная, а ) Р (х) их — одна кз нсриообразных ф«'ккикг~ Р (х). Иитсгркроаакгю лииеииоли исо«коробки.о урааиския (7«можно проассти одины кз слслую цкя мсчодоа. Найти часпрыс рс~исвпя «размети~10 уйывлетворяюгйке данным на»ы»ль«1ь;и услонням: 9,64, ху' —.- у «и -'7, д (1) = 1, 9.65, (!' хд — х) ф.- уг(х=-» 0; у(!)=-. 1.
966. (у - )'х" +у)'«х.- хг(у==0; у(1)==0. Сна фу олу гнм сраман$ ~х--.оак С(х) а Тогда лизой м урзз части наина Пгкют «), нол уикющ Парам сщсинс яожан уран. ~канна залкам исходу ы тч з) Катод вариации постоянной. Будем иск .,"фИС,ураинекия (7) а Иидс ~ рг»«ах р —.— С (х) е .,8»;",',:-когорый лолучастся нз (8), сслн заманить исстоянную 1~!'„:: дню С(х). По:ктааляя иыражсике (9) а урааксккс (7), и ~,".-,",:,'-,'иаизиастной 4:«нкггнк С (х) ураннаиис с рачдслюосчкмися о - «и «х«и» С' (х) -= (;> (.т) а Вго общая рсисснйс С( «.=-~ Е(х)а ~ ' '"' "ух+С, г — Г г роза р~~!';;,' 'хда С-лрокзаолькая асстояяиая, а зт «7(х«е ;.'", иирвообразкьж. 1«одстааляя лолучскнос иыражснис для '!,„'- Руду (й), находки общая «ччг~сякс урааксния (7) у:-»а~ ~С-(-~004с ~ ' г«х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
