А.В. Ефимов - Сборник задач по математичке - Часть 2 (1248980), страница 6
Текст из файла (страница 6)
8.!66.Г(у)кн ~ р)и()+хд) Г аиьхд х х О. У 8170- Г(у)=-~ с и"'6х. 8.17!. Г(у)=-~(х у)з1пхус(х, 8,172. Найти Г'„'я,, если Г (х, у) = ~ (х — у1) ) Я с)1', где ! (1) — диь)т(ререииируемая функция, 8.173, р!усть | (х) — дважды дпфференцируемая и Г(х)— дпффереицирусмая фуик1ы1и. Доказать, что функция яеае и(х, с)== — й(1( — ))+((х+а)))+р„- ~ Г(у)г)у — г уд1явлсг1вгзряет )'рзаиеирло колебания струпы деи е сеи да '11 1 е. 8.!74*.
На1111и производные от полных аллиптпческих иитсгралоа Е (й) = ) )яг)-- й' з1и» ~р гас, (О < Й < 1) йр Г(й).=-. ~ дг) — й' трг.' ~р и вьразить их через функции Е(й) и Г(Й). р)римспяя ии1сгрироваиие под жаком интеграла, вы- числи1ь иитегральп 8. ! 75. ~ ~ ! —.
) — (Ал — !) Ах, х х, 1их 1 У 8.!76. ~ сов( (п — ) — (х — 1) дх. х у)ох О 8,177, Доказать формулы: а) ) Г(х) хс)х=-Е(й) — (! — й ) Г(й), ~ Е(,)х ) . ((! ! )гт Е(1) (! ьт) Г(ь)) 1ИОГО А Ь 1 Ь (Л ЕмАа+уа Ь'+у*( Ь'1-у' Ь В зй ;-"':,' рде Е,(6) и Г(1)е) — полные эллиптические интеграл (сйе. задачу 8. !74). й. Несабствеанме интегралы, зависящие от параметра. Несобст-я веииый интеграл, ааексящий от параметра у, т. е Г(у)= ~ ((х, д) Их, (б) гхе функинк ) (х, у) иеирерыаиа в области ас х < +оя, у1<;у -"уе, . называется рааиомерао сходящимся в иромежутье (у,, у6, если ллн любтго в > 0 суиьествует такое В==В(е), что ири всяком ась В(е) ! Иг, Л *~ ь оуи л1обом УЕ(ды дт) г(сли иитеграл (б) схолнтся рааиомсрко в кромсжутке !уе, уе), то ов иреаставляет собяй неарерывяу1о фуикиию д о атом иромегк) ткс.
Анщтоги ищ оирсхелясяся )Щаиимсуилк схоккььость иесебстве1 :;'') в1нщграла от исограоиее.явой фуикики, зааисящего от иараыетра. Прн исслеловаиии равномерной с'ояимости иияегрель'а, аееися- Р и„кх от яараыстра, часто ищюльауется слеау1ощее )теержхыве. К р итери й В ей е р щ т расс е. Для равномерной сходимщлни ищяелгщли (б) дослюи1оьио. яяйобы тяги)гсщеосили жилил фдихиил Г (х), );.;:,',.
яы оиаисящаи ощ иараметди у,:иии: а) () (х, д)) л- Г(я), если а~ а <+ яо, 4"„' ! б,* ~ У(х)да<, тя!,";:. Фуикщ1я Г (х! иезыеае1ся иаягогаил1од лля 1'(х, д). П р и м е р 4. Довазагь равиомеряуго сяолимость слехующего 66р);.) + де — ка (ьяс+д')е ' ' — — я!х, -ее < у < -)- ж. 1 а !'~' „1 (ххфяе)а ' хь-) да- 1 Пусть е > Π— ярокааольиое число, пя левая В (е)= —, иаяолкм (ллн любюго Ь > В). что и. доказывает; согласпо опрег»елеиию, равномерную схолвмость )'казанного интеграла по параметру у на всей оси. (р», Приме р б. Установить равномерную сходи»яств иьтегралн е "Р сов к дх, О < уь < у < + со.
о «4 Покажем, рте фупкито д(х): е Р» ожио ваять в кайегтве мвткоранты. Действителыю, если у > уе, то (е Хьсовх,'=-.е '" .е»Р'. Р»дх . -» 1 -хь Р» О уе О ~лслователы»о, ва основаиик критерии Бсйсрипрассь указанный ин- теграл (.аввомсрио схолится, рв Для н»сойспю»1»п»х ии~сгрвлсв с бесковсвпым прелслои» аависи- ип»х от параметра, прн выт:лиети» слелуюпгнх условий: а) ф)икцпх ) (х, у) ие ~рсрывиг» вместе со своей п)юнэвоявой ТР(х, У) а области па х <+со, Ут«У«-..Ув. в) ~ 1(х, у) дх г»олими при любом у~(ут, ув), а) ~ )Р(к, у) дк сколам я равномерно в гроиежутке (ув ух), в сиравеллива Формуле диффереийитимоиил по лорал»тру (фа р му л а ' Л'е й б н и ц в): »( — ~ 1(к у)дх» — — ~ )ь(х у) '- ду о в впалогив»юя соомююеиию (3).
При выг;стиеиии соотвстствыотих 1словий формула Х1ейбинла с<твоея в» р»юй н лля юысгрвла от раарыьвой ф) нкиин, хавнсяпгсго от параметра. П р ~ м с р О. Вы топить интеграл „-а» е-1и сохголдх (а... а„>О, б..-бе>О, т~т), х О «8 Пугяь — ох — Вх сох тхдх.=д (и, ()). к О Заметим, по;ттс» рал ) е-ох сох тх дх равномерно сходится прн фх,+'МР :,, Ех~)ве я<равен —,:. -,(прваеуьте1).- Иенолпый-":нитсгуал.
сходится '- при любмх агмав и р.мрв, н нолыитахральная функцня непрерывиь .Вместе со ~вова чвствой проихволной ио а, равной — е-"х соятх. (гледоавтель»»»П условия а), б), в) выюлпсвы, и моткио воспользо'" ваться- соотиоп1ейисм (Г). Тогда дд (а, б) и — — е-."" сох и»к дк == —— да а'+т' ' Л(а, Р)=- — — Рл(ах+та)д С(()). 2 :. Для иахоткления Г(б) полагаем в послехисм равенстве а--.р.
Имеем 1 '' О= — —,1п (бе+ т"); С (б). ()тсюла С(б): — 1п(рх ( т") 2 у(а, р)= — (рл(()в+те) — (п(ах+глв))= 1п-- — '-- -. 8ь 2 ' ' 2 ах+те 8,178. На языке ев Ь сфориулпровать утвержденне; интеграл Г(у) = ~ 1(х, у) г)х сходится неравномерно на отрезке (уы у,). Исследовать на рзвноыериукз сходимость в указании(д ';:ивроыен(утках слсду1ощие интегральн 8.179.
') в-с" соз хс(х (О < а .- а < + оо) 6.160. ~ — „— — — (1 <а <+ по). к +1 о »а 'й;;;::::;:,'":: 8.181. ~ —,ООт (О<се -.!), г дх х" дх 6.164. '1 —.,-- — —.— — — — ((а) < — ~. ~~ уг (х — 1) (.х — 2)" й( ь' 1 9 !. Уравнения 1-го порядка 8.168. р(п — „—" (О < а С 2). Р.
1 дх 8,!66. à —.= — "-ых (0(а(!). 1 уг)х а) 8.!87. Доказать, что фусикция удовлетворяет уравнению Лапласа д и д'и — + — =О. дкз дуе Применяя дифференцирование по ггараметру, вычислит ь следующие пнтегра лип 8.!68. ~ с(х (а > О, (т > О). 8.189.
~ ь(пвгхг(х (а > О, )т > О, лг~:О). с В.!9!. ') — —.— — г(х (а '> — )) В.!92е. *) е т'*совдхс(х (1 > О). ч 1 ~' агс(й ох В.!93. — —..:.=-.= дх ( — оо ( а < -1 оо). .1 8194. ~ —,—.===:;,=-г(х ()а) . )). Г 1г(1--мехе) хе уг1 — хь 8.!95. ~ — '' ', )дх ()а). !). у 1 — х Глава 9 ', ДИФФЕРЕНа(ИАЛЬН!з!Е УРАВНЕНИЯ 1. Основные вона~ни. Фуакииовазьиое ураьнеиие Р(х, у, у )=-О (1) у' = ) (х, у), (2) тнязывеющее между собой нетзаисим)ю оеремеивую, искомую функ, ..(, яию у(х) и ее ороизаодь)чо у* (х). называется двффереициихькыи ироенекием 1-ео аорядки. Реимнием (чаеюкыи реимиилм) )рааигивн (1) идн (2) нз интер ваке (и, Ь) называется .кобая ф)вккиа у=ф(к), которая, б)лучи водстаиаена в 'зто уравнение вместе со своей ироизао,щой ~р*(х).
"обравгаетеговтождес)воотносвтечыюх Е (о, Н. Ураагюниеф(х„у)=О, ооредекгзо1иее зто рещение как иеянную фуикивю, назыааетса ии. жевуихом (чисюньи июне*ли юзО иифферевциачьвого уравнения Ба варскгктн с фиксироеавиой декартовой ирямоугокьиой системой ковран(наг трави~и~с чв (к, у) =- О оярелетяет кекоторую разую, . - "ыкогоРак называетск июиекдохьнод куиеод диф(мРевииальиого 1 Раз. айдик. г) . '. ' ' -. Фуокния у=ф(х, С) иазыьается оби(гьч Гхинюием ураю1еюнг (1) нан (2)„есаи орн любом дооустимом значении караме':рз с оиа является частным реюенвем згого ураавсния и, кроме того, аюбое его ч:ютггое рещение может быть оретстазяско е еиае у=ф(к, Сь) орн некотором значении Се озрамегрз С.
з'раевские Ф(к, у, С) О, оо)мдахюон(се обвгее рещение как игяаиу.о фуякиюо, называется оби(им а)гигмериаоаг лвф)ерсвкивяьного уриааении згв х П р и и е р 1. Проверить оодстаиоекой, что функция — е'.ть рагиевие днф!еревцвахыюго урзансяня ху'+ у —.- соз х згнх, свах ьюх , гаВ Имеем у= —, у'= — — —, Умгюжив у в у' сюотеетсч- х ' х х' некио иа 1 и к и саожиа осаучююые выражения, ооаучим 'ху'+ух— м еозх $» е)ри мер 2.
Оокззать, гю фуккния у=-Скз, СЕК, яеаяетсн ' рещйвиеы диффереиниааьиого уравйевия ху' — Зу — -О. 1)айги частное !)евюкие„удояаегзоряющсе усхоаюо у(1):=-1. (Набеги нитегрзаьиую ирйвую, нроходящую через точку д( (1, 1).) чфгйайдя у -'"=М кз и яодстеака выражения гг и у е юк)тирании ввыое уравнение.
нри любом знзчеюю С оотучим тожгкстао ВСхз — ЗСхз=-го. Это означает, что фуикния у=Схе является реще. Мнем двфференггнатьаого уравнения. Похожиа к=1, у=1, иайдеа знагевие,параметра с.=), н, таким образом, везучим искомое част- вое веь««саве у.- хц Иначе говоря, вятегр«льнов канвой, прохоцяюей через точк( М„((, !), является кубическая парабола у —.хт.
(йь Пусть задано 'уравнение сп (х, у, б) «-О„ опрслеля«занес вз плоское ь ве««порее семсйсп«о кривых, завися«цв« Г о- м.эченкй гярзмет(э С Если сос«авва« сяс'ему вух уравнений и ов то, исключая вз этой сястсмы п«раъа.гр С, пол(чк«с воосэце говоря. лифферм«цкзлыюе ( й, «венке «Манка о се««ейстаз кривых. П ркмер 3. И«к«в лвффейенцяэйыц«у(заявке семейства о кй у малютой хе + Е« — «уп~ ° (й И«кол«схс;«м; З( «ю «вчй ха+в«.= 2пх. 2х Рзйи' — 2«.
Исклюгжм параметр о Из второго ураавеквя ««з««.ткм а=«хч цу' и, возет .вляя это вый«меояс в перв««. уйпжевве, п«мучаем х'.З уэ . -..2х(х ' уу'), т. с ьл — х«=ухед, эг«в есгь кскомое ли4«)прсйцквпьвое уй«аяскпс Показать, что при любом действительном значении па- раметра С задзниыс выражения определяют рещения со- ответствующих ди)х)::ереицизльных уравяенни: 9.1. д — х(С--)п) х(), (х "у)дх-', хг(у:=-О. 9.2. у=-х:, ~ -е' .х С, хд'--у=-:хе"„ 9.3. 2х-( у — 1 =--Се'-"'-", (2х: д-', 1) с(х--(4х+ 2у — 3) ду=0. Гз заданном семействе выделить уравнение кривой, удовлетворяющей припедецному начальному условнчо, 9.4.
у((п(ха --1(+С)- 1, у(0)=-1. 9.5. д(1 — Сс) =-1, у(1) =-0,5. 9.6. у.=2+Ссозх, д(0)=.— !. 9.7. Написать ) равнение, которому удовлетворяют все точки экстремума интегральных кривых дифференциального уравнения д'=((х, д). Как отличить точки максимума от точек минимума! 9.8. Написать уравнение, которому удовлетворяют все точки перегиба интегральных кривых дифференциального уравнения у' — )(х, у) и, в частности, диФферепциальнЫх уравнений: а) у'= — д х'; б) у'=-е' — х. Составить дифференциальные .уравнения семейств (йфйвых: 99. Парабол у =хз+2их. 9Л9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
