А.В. Ефимов - Сборник задач по математичке - Часть 2 (1248980), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Сяякхь ьь дожслке д лжьь жькь тоьюь я ььььяхьйь и мен В(ьс ькяя 1 Пачьдьяые 1слооая зл;аыт гьжьжекие трчьк В к. я ькмй ьммслт: х(ь ) — хм ьу',ь„)-=ра. Ъ рая! ыо я ляиьксг! я олье, Вяжет также к ьрььелтььриьь гьвь1жеььия, будучи ураялеь кими атой кривой Прим! р ьз. Плати фалолжо ьраеиторяк аатокомяой дикальяческой системы х Лли укзззиньх с!Ятем на(пц Фззонйе т, ььроходкз.не через зздзрнме точки ь)(е 9.423. х . 1 — хл — у', у=-2~:„М (1, 2). 9.424. х=1 — хе--у",,;.=2!у, ьь)ь(2, 1 9,42н, х=-ул, ь(=хф 2ьд 1)( 9.426.
х=-У вЂ” х, У.=. ь — 2х; ььлья(1, 1'„ К Пь.,ни, й. Ляьььйяыь" оаяородаые сисе!мы. П р аь:ыь, я якег а од! , и!я сььь' еме и-го и' яак ь Вальт аььд л, - аьь (1) хьч О!я!6 хь+...-ь ат,(т) х,„ х =.Тьь! ьь) хь ' Оьь (г) хьйь- ° *+!!ля ььс) л,я лролоььяж' о жреа тььчкь' Мь('.!, Зь чй Пьььгоьффереььььяруеьь ььтьккьь тряаьь иььс л 1 и ьждгье им кыра(ьь')а яьлььс л —.г и х=:-.ьь а гжрыж урьяььеьькс.
Полуььм и ь ЛЛЯ ЬЬЬь — (1)Ь вЂ” О„т. Е. О ЬКО *, рся ЬМЬ Е В'О, Ь"О ЛОРКЗЬЯ О ОДЯОй ис!ьдм'с ь ' ф ькз'ий Рал елльь обе части госяе иего урааяскил иа лл и ьжрелия;ем 1:ейльж и С:ьоое ' ьь и сга.ььи В ьио, се у, гяе .. к те .Яоьучкм х йьлье ', 1(ь,:к, сл е",. ф .'ьл. ьй У: ТЕС'! Е те О ьс РЕ, ЫЬ *. Лджч С!Кто Ы "ЬЬЬЬьЧРЕОЕЬЧЬЬЬКЬЬЬ ЫЛ У1ж мььи И к ьь кл ькя ясго режсияя и;с я ь "', — .. Яьчя ., ' ЬО фа.о!ЬЬИЛ Т) ЯЕК ОРКЯМЯ ОКТСЬЬ'' ЯВЛЯЮ!СЯ Ь! ' ' Л=-"С ь ое че .ч аьа уж точку 'д„(2, 3) гр;г. ьз .:. ' х 9а нлн, н матричной форме 7'оэг (!) атх (О ° а~ 1!), хг (!) ( а, (! и (О а„„(!) х, (!) ач,(!) а.л(О ... П„ч(!) хн (!) 9.423.
х — . у! 9„420 х=-:.—.'- В ба«сноси «л)ч«е снстем с г«стояннымн оэффиниеатами, котла матрона А(!) н грамм саста (03 нс э:ьн«нг от (, яля отьскагия «рун амента ьнон «ч1ст«мы 1«ос о~() Хл(!), Л:=1, 2..., п, могут быть нсгкльэоаапы мс олы лнп«ны н алгсб) «ь Из характе(нити кси«го ураанення Ие1 (А7-ЛВ)- О (14) аахоантся рвала Щме коРпн Лт, Лт..... Л, н л ч есччого коры Л (с учетом его кратно«1н) снрслелнет«я мотщтгть соке ьму час-нее р«чнение Хщ (!). Обн!«се рсюенне систеьпч ~ м«еэ внд * В обл;хтн нспрсрычнккти кон+фи«О1«итон а!. (!), 1, 1=-1, ..., л, система (12) улоалстворяст услоаиям теоремы сущестаоаеноя к единстаеним,тк;мщения эа, ачк Комн Фрь«)аисьтхальноа чищеной (миаъан снсжмы (12) назьвастся «оаок)нно«ть «1сонааолычых л лк!«Оно псэаанснмых (сп:сион Ха(!) == Вски Ха(бб л .
1, 2„..., гп--4 н,аыснтальаая снст«э а рсваянй ч састсмы ()2), то обо «е рщ ~ьлас нмсст в.щ Л'(!)- чь СаХа(О, глс ь'-. ~ См Се, °, С„,— п(ха заел« ные со«тонни«е. 1(кттг(н.)х1аснэк снег«мы (12) обыч пр«м; нтся «енэ и н«кэц. чейни'(см ноям р 3) Рс101г!ь систсмь~ лэн~«(оных уык)фс)!ен111!нг !П.бсх ) рас!тений 9.427. — = -'-.(-хг, «-' Нх хь к . аб х х!! " «В 9.430. х — -- --х, !).—.. у+ — — — х. 2 112 хде )г«М †собственн нектар матрнщя А, соотнетствутощий со(ктаснб ному значению Л (т. е. Ах«к>=йуэхб утэо Ф- О). Пример !О. Найт~с га«тн«е рещение олиороднои системы х;=4хэ б ',, тгх — — -3хг "', 2х, ха = 2х„+ Зх, + 4 ха, унонлетаоря!агнес у ел саня м х, (О) =- б, х, (О) .— — б, ха (О) - 24.
Мй Характернсгнческое уравнение (14) лля этой системы имеет анл )4 — Х 1 0 де1 (А — Л))) =-. ) 3 2 — -Х О вЂ” О. 2 3 4 — Л~ Его корин Л«=-1, )«а=-4, Ла--б, С«с)«таст кые нектары, например. таконы: 7 3«70. унл,) 9 ) уяэн ..; о ') учх.! .. Поэтому ,' 0 ' / 1 '., Ото!ола об«нее рещскне системы а соответствии с (.б нмсст нпх Х(1)=-С, — 9 г!+С'а( О ) аб)-Сх 1 )г'. Вля каток«лепин частного реонння константы Сх. Сэ, Сх опрелеляем ка слеяуьэщей «истомы' ЛС, С,, Х(О) — 1 — О~-=.С,~ — 9 Ч-С„О ~ 24 77 1 '5' '71:! С 4 боа откуха С,=-1, Са--.2, Са.-б Окоо~ательно лля искомого частного рсвспйя получаем хббб 7 3; О~ 73 Х(О =1 ха (!) 1=-1 — 9 )г! 4- О ~саг .
3 е ' 1)рн этом аоамогкяы слсл)тощие случаи. а) ).— действительный корень кратбсм~н 1 3 огла Лчы (!) -,- У'х>сх! =- !В рн б) )« — комплексный корень кратности 1. Тогда корнем характеристического уравнения (14) является такие сю.рижан вс с Л число ), Вместо кокнлексяых часткых реп;вщн ХХ'(!) н Л 2 (!) сл(х ~ь~ лущ ваять лей«снится,ные ча«чиые ресосния Л', (!)=.1(е Х (!) н Х~а ' (!) =. 1щ Х ' (!). 11 риме р 11. Найти общее реюеаяе системы к, (!)=-к«+ха, ка И -.-.. — 2хг + Зка.
46! к(а Харнктерггстнаеск(ю уранненне имеет комплексно сопрянгенные корин Хт т,— — 2 х г. Для нахождения солственгюго вектора, соотыгстауюпкго корпо )с=-2+1, получаем систему ( — 1 — ~)рь + уд=о, ы ~м — 2д'; +(1 — 1) ре —.О. ° Й~, 1 го П ' .". д)гь =1, »-» д, даь:=:1+г, ~х) ы ул:=-~ 1 ) Хм(г)= — ~ 1 ) ()тоба пара дсйстантельных ~нотных рсь.его~и нмеет сяеауюгснй анд: лг (1) == Йе ~ ~, ' ) к ю г ) = ~ „"' '"", ) =- соя 1 соа! — ею 1/ —.,)и г,г! яп( * ' " 1,1+1/ / 1,етг(гга 1+ яро 1)/ а1п 1 ) тг ( сок 1+ ам 1 ( Окончательно (см. Формулу (15)) пог; наем огогее реюенне Х(Г)=Ст 1)еас-ИСт( ' е'Г.=-.
сок 1;-а1п1/ ' тсоь14 Мп Г) Ст соь!-:. Св ь:1п Г (Сг 4 С ) соа г-( (Са — С1) а1п г х1 а) 5 — корень крат|нюта г.: 2. С к.таетстауюнгсс агате корню реюеннс системы (13) катятся и анде кантора ()е) -ал + о", 1.1 ., ( о',огг — ~l ,1Л кот4хрююсгггь кглорого мг, ~--1, ...„п; 1 ..1, ...„г, опрстелмогся нз мы хы Л1 . ура пеняй, ': . * »елен ппьр:: . "а м)Фкннентоа грн олннакоаых степенях Г а (ез)льтаге гоке|кнопка ьектора (16) а всходнтпо снстему (13).
Б р н м е р 12 1(н1'*тн общее рсомнкс сне мсот х, (Г) =-2х,— хх, хе (Г,' . 4х, )-аахм кф Характер1ютн ~ескос урна кекс 4 Š— )~ . имеет корень Х вЂ”.-4 краснеющая г=-2. Йоэтому кагем регнекне скстемы рим(1)=~" (')') =--''~ рб-"~ "1. (хе11)/ (,от-) бег~' 11одстааляек это аырюкеине а неко.,ную систему н сскряо~аем пе еес. нг) 54~о1) (41()1)1 г2ог ох ",, '2()3 45311 Уа) (и,/ ~,5т.
(4ь; 1.(ххт) ' ',4()~-( 6()т,' 1)рнравы~н: к ксоФФккненты прн о. ккакоамх с" ~ пенях 1, пол) юем: ()г4 дог'1 от фе - 4а, — 2мт==-е, 25т+бе -25т-45, 11олагая от.-- Ст и ()1---Ст„носом Уь-- -.2Сх н о.:. --2С', — Ст уакнм полатом, сеансе реоюпне снстсыы кисет ннн С,, Сд л(г):.--х*х'(1).= ' „' . ' ' Уь Реиигть слелуюи(пе системы линейных лифте(теиииаль. имк ураелели9 с послы гриыми иомКнтииеи1аыл Там, гле лаг1ы накальные )слоник, 1грггмс Обо(его денюилн„нанти соотнстстиуюлес мас" ное ) еп1епж: 9,431.
х=-д, д=- -2. „Зу. 9.432. х=; х: Зд, д=.'- -" х ',-5д, х(('1 — 3, дд ) —.:1. УАЗЗ, х=.Зх-- 2у, д=-4х; 7л, х(".)::- 1, д(л)==(И 9.434. х =. 2х — 5д, д:=- 5х -- бу. 9.435. х==х — 4гд, у — -х — -Зд 9А36. х-- х: 22, и::-- - 2х,' д, х(б) .. (). д(0)= ), 9.437. х — д, у=-г, г=-х, х(б) == д1(", =- г (б)== 1. 9.438. х=-гг- г, 1; —.—.г: х, г=::х-( д, х (О) .=- д(б) =-- 2 г (!) =- --(. УАЗУ. х-..—.х.- 2,.-г, у=-- — х 1-у ' г, г=-.х — г. 9.440. х — бг; 2л--Зг, о=--.4х бд -Аг, г=- бх-( 4д- 4г.
уь Линейные неоднородные системы. Кс рмсньье1 лннейнак неодноро.нак скатана не4ь(ьмккни:альнь|х трнькепнн 1ьксг анх х < --. ол (11 х, , **о~я (г) х. д... -' и„, РЛ х„.; 7; 1 1, (17) х„-ан,(Г)х, ок,(Г)«т+...+пан(1)хн ( ).('1, 193 : тде но крайаей мере одна ка функций (а(1) не равна тождестаенно нужо, В матричной форме система (17) имеет аид Х (1) == А (1) Х (1) + Р (1), (18) ГДЕ Р (1) ()! (1).
Га (1) ": 1« (1))Т. Иитстркрпаалис СнетЕМЬ! (17) можно пуюаодигь мешдом исключения (см. пример 3), однако иногда прехпочтатслььее нлйтн предварительно решение Ль 21) соогаетствующен (Рй) однородной састемы 1('(1) == А (1) Х (1) (12) и какое либо часпюе ргшенне Х(1) системы (13). Тшда об!!!ее решенке снстелгь (Рб) имеет анд Х П)--Хь (1) ).Х (1). (2г)) Если навести« фтидь !лгал!.ная система Хь(г), й---1 2, ..., л, решений !гдгюрсьг!гои сгытемы (13), т» обшсс решение л 11) мож« найти м!толом аарнацни пронзать!2 нык о!стоя!ш!ж. Имен!к, пгшагьг! Л (1) —., ~7~ С„П) Хь 11), (2 2.-! определять= ф)книг~и Ся(1) !шлстаноькой !21) в с«сыму (!8), учим аая црн уюм рьаснсгяа Хь(1) — А(ПХг.(1) (Л й ..
!, 2...„ч, прихштии к с! стсмс траяне шй ! сноси!ельне Сх(1): С Са (1) Л ь (1) - 7 ! 1) ь Из атой снсшмы иьхоггиг«Сь (1) —.гра(1) л. !пп трир)я. п»лу шсм фьпкцнн Са(1) с т *и»стью ло проичьолш!ых г 1гтоякных. Пгчхта ляя нх а (21), получа и «ск»мое облггс ре!ге«гнс нелл юрогн»й ~ «.пемь! (1к) Прв! мер !3 бная фтуптгаг«!итал!«!ув систему решенгш Х! (1)--,' 221, Л» (1) — = Г *22 '-'~12 ' . ' =~ 5,,'г ошюрошшй гнстгмы Х,— бХ! 1 Хг, хе:- бх, ° 2х.„ найти обшес решение неолкоршгп»й еж темы х! -'- Ох! +ха+1 ха--бх,-( 2х,б 1. «й Вослольт! емся мат»псы вариаш!н пронааольных пг:стоялных.
)(лг! функций С, (г) и С, (1) сгх-г«вим сншему аида (22) С (1)~(,е' (-С (1)~ 1) =.~1). Сх(1)= е 21, Сг(1) —.----- — -с-1 г( 2 и п(юк!!тетри(юааа, полу льм С!'(1) =- — ! — 1+- ) е-21+С„С, (11=-. 12-2 ( Ст. 15 2' (42 497 " ' 6 Таким образом, обшее (жшвпш пыгьмы лагишшся а ьндс Х(1)=-7! — ~ — 1 ( — е='+С! ),' ) глт+~ — 12 "+Ст ', 1, !с!.= (42 42/ » ="С! ( 1 1е'-( Сь; б ) 'с+1, ь 2 ° Э» 7 "421 ЕСЛН Кгьфф«цислтЫ агт(1) Сиетеым (17) и Стьжгжм, !, С.
Г!,2(1)=-а, Г г, 1-= 1... „и, а фун!гггг!!! П (1) имеют ьнд прг иаьслс«нй (Р (П сг ь ()1+ 22 (1; ь Ь ~1) ~'г, (23) где Р(1) и () (1) — гн опжлены, то частное ргчлсн!!ь Х (1) ькж! о найти методом нс»орилелеч!гых ко рг)нцнелтоа, шшкаа Л(1) в аиьш аиалоывиом (23), с у «.гсм ыш„!2«.иня нли нсгоапьденля шиш! г: 22 1() с корлямл хьряхжрнгтн сох ~г» урьгнгляя. Следует нмсл, и а«луч мго если й--наибольшая гчс! снь мк»«оглеиоа Р(1) н ()(1) ь (23) и Л:=гт-) гр — !!грен, х(гьтлпстн г хьр;,к тсристнчгюногг )!'рьы'Он!я. 20 члстишг (х.'гчс«ис Х(1! юлстгя л аи.ш ,а! л х(1) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
