А.В. Ефимов - Сборник задач по математичке - Часть 2 (1248980), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Й области неп)арык«кк«и потенциала поля ««1«««сги«ь«й китс«раз от иск гора 11 я, нзять«й мсяогу «1ятма точками яолп, ие яаяисиг от пчтя и«легри(«отяиин и расеи рячнс«гн зя««че««ий ««1:с«ицкая«1 ноя. а конце и илчялс и'«н ««и'егрнр««яз«1««я !' (и, дг) ..- ~ (й«ай и, дг) ( ди- и (В) — -и 1А1 (кснользонаиа егко пр,иер«кьыи ф«рмч «я ыглд 1«, «(г) =-«(1«).
2. ((Я) кула1О1Я 1«ктор« 1к«1Я «к. л«зг1му .1 каттсм«к зГ) рч, целиком, гзкасцсм) и опяы и иеа(м(и я«исти поля ояяк« п)лы. 3..:с, и поле а по«11«.кзл1«ч ТО поте«ии1зл поля и (Р) а ир« и' нольоок точке Р,чожсг й «ь я« чнс, си «о 1( рмулс (Л). и (Р) - '( (а, дг) ( Р, (л) прячем й' и(А1, что лымо 1«му«*ется «к«.«тлкоии к а (4) амссчо яеремсысой т-«ки Р фя««сиы«яы««к и то «,н А Для яы,ислами кн««гр«ля(41«ожко аыйрлть,я««й. и пучь . пр«ги(е' ЯссГО к кя'сс аг лк го п„ти ыйрзтг... Ммо«О с« лггкьяео« пярзллеяькьаы о« яч к««««рлг«««зт, «м«ечня«««о«цтк«точки А н Р.
Вя точку «г улобпо прннкмыь из«ело коор ии«яг (сс. и оно лск«ит а облаетн п,: эре(««за««оа«н пос«я«1 У( р и не р 2. ((Кити поте«ицнмч поая а.- 2х«1( (-(хз — 2г«г).г — утйк ИЗ ч(1 Уйейяысн, что пс«ле потенциально« до. дг'и до до, с««е дол —. =-.: — =.— 2у, ду дг ог Ох дх ду путь кнтегрпрояаяня примем . ««чзиую ОЯВР, г:1е О(О, О, О), А(Х, О, О), В(Х, У', О), Р(Х, )', 2)1 ((,«Колки.
л т (Л', у, 7) = ~ (а, дг)+С= ~ (а , '( (а дг) ), (а, дг')+О; оллл (а, Пг):=-2ху дх -1- (чя — 2уг) оу — ут ««(г. як кзк ня (ОА) кмссм у — -г=-О, ду;=1(а =О, О -: хя~ Х, то (а, ЛГ) =О. ля;ло1н«н из (АВ) .", «есм х .д дл О а=О лг=-О О - ~)' оозтому л 1 (а дг) — '( Хтду ж у, («я (ВР) имеем х Х, у...-У, 1(х=.ау=О, Ож,.гя Е, «нз««нт, л 7. ~ (а, от'1 — ~ 1 Ь=- ) зЕ. зкпч ««Оразом, и(Х, )«, «)=.«Хт)' — узд В Везер Лаясь к псрсмсп. !К« х, о, г, ЯОл)ыя1ч и(Р) хзу — «тг ' С 1м В з м с «з««я е, Иял же «кый и о«ыск пи«я потенциала потя ячс1 яется о(«к («ыи.1ни таяня зк каз 1' и к р с м т(мяк«'н ляляч т«чаек «еског ап,лила, к «гс яосста нчс и ' як 1«и а х, трек к л 1«1'мсииыч по и ' и чиым я к)тте(минн . я тя ' п«'и к«гп Г««нро. «ии лнф«(мреициа.«1«кзх ))гаг«иски( а .Кь«х кффс«еиц«а ак. Нанти иотенииалы стгсдую1иггх и Оских н трехмориьгх 1К«ЛС Й: 1О.(ЗЗ.
а =(>Х у--у ) г -1 (Х вЂ” ВХуг)у 1О.(З4. а=-' я(пйхсОь2ь; ( со ',хя.122 / ул«.'Озтхьгпзу ыпзхсоьту ' 10.135.4г — (уг — ху)8-)-(хг — - — уг'. у (хм )-ггхг)1((: 2 ,; г х" «) (х ут,),у Есяа( в яло, кгн пптепхяхлаю( и поле лата танки, в 3(о((ар((х пон. теряет СВ 33!33(тка ксй(3(рмакол и лак Влзмкьехпсс и О( 3 '" т' "3 к(, '3 '3 дирвуаяяяя Во ззмкиа жму кы туру, (кружа(оюему юк(ю жаку, моб .: Отл( ю (т ((я, 0 з ( юу..* ерк;.3: »;».*3 ру, Обхоляю(м*; л(33(ую ОсОБую (О(к ( Ол(и !(ая В!х!л( житель хм' яхп,*(ал" лския, яс заюаюп (ю ((3ха(ах(33 к кт1се и (юзмаз(т я:пл.ююскю ло 333(оял(юй отяо(:яюл( 3 (3 заза(Ой Осхаой тс (кк.
АВ(ыюкхкмая саойс(ымв соле:юы трсхмср(ме п(33(я с (хха(..333 а(вкямя, в юль кот рмх псле (сряю скоры ес (кгрср:ю «лк р! 10.130. Хзбс.л((ы Б ь л( тгл(33(оль(3(,с(л 3( ля ив Олр(ед(е(лс(ал СГ'. Сс(3((ака '(очку 33 !Се (Б(клпчсск'(кз посто ЯБН;Ю 10.140*. Д( кь та(ь с !Орму лп рова(слое Оь,л(с (лвойс (ьо 3(113;(ЛРК( лглпя л( 3(а!БСБ(" Оа(( кОЛТ( . ( ОКР,ХКВК( ! сзек Т ( с(43 ( 1(.
(3 '3 (к...( (ь 3( 3 ( ( 3 1(с((.Х(ьс (3. 3 . 3 33 10,141н. Бсаслольл(3((явл(3(с( (!х рну:ой (34! Бдя сл(Р(ер(е. ле(3((я (ас:т((лсиялс( РОли. ((юзт( (3 ( 3( О тох(„333(3 (3('"3( 3(3(3(зл РЛОСКО(О 1(О'(и, ((ЫЕ(СЯТ(Е3'О ОСОаыр ТОЧКИ, С((Ч,(ЗТ Х(БОБ (Ч(ЯЧЛОБ ((дал(кл((С(3. 2. Союиоивааьяое пые. Р(кт( рю с ю лс а а (г! Нз минется солело((дпю юм сс .к лю(рг((г(3(я х(о(о 'Золя рз пх ьулхл Ьа нх 'О Для треха(ер(к Б( поля и( ((ло(3 . ю а,п( 3(с( "и(';: ь и лаал( до* .. ,, л„, 3 Х,.о дх ' ('о дх Йд Б тзк(.м ю(ле в (кль (Соре(па Г О оа — О(про(ралскехо равен нулю 3301( К Веко р(3 ! '!л(3 'К((1;Хх Х( (ХО(33(Т(К' па (Х 3 Х( Оа.
3, !0Х (с(С((НС 3(в ко(ОРмх Ве((тоь голл пс 3 оРые. Хи и .(ию(Ргеикия юли. (с Я ее оп(ехсля(ь в пасв (о ю Ч и и ю ик л. р((.лм И! х: '!. Юкнпа ст Яуляр Б ю: и ы(нлс с«ток крез, п,ихкт(1(о ((авар.(33(с(3. Хюж(( Бить ((тличси с. '.3.!Х„(( (!', (3' 3(хааа(, о„па и 'па:. о н( яамккюъю .
о((.сап ст(й, ок(3. жак(Ю(3( Л(33(3(У(О (РТ(3(У Осоомх и (ЕХ. мО(О с!юхмср(3( и жкт(р(3 (о 3"..33 и О су 3 (х л(3 еяхпси '(х(сюл31елю((. яф Имеем 1'дах дпр( .,;"333(х до ', . ("('Ос дс.'! 10.137е, а — 3;е — -,'!; —:=,— ! 1-~. ' —,.— --,— — —;-ф-1- хх Й 2рз! Ух х 2х1 .Р р х, 2ху! + ~ — + — -+ — -/ (Н.
~хх уа яв Та 10.138в*. Доказать, чзо во вс(оду лрпрсрювною Ботевстизльлоьс рек1ООБОы пол( век((орт(ыс с(л(лс(( Бс моту т Оыть знв(кнутыап, Ъ'антмввя равенство смс(яаинмх п(ркиюводямх 2-Ба (юрядса, пояучаем 0 В 4 и,"Самку(ке'О (.аа(хгра4(л, (ю Колко(кепке л жлзюк( с пю акл(3(ь(33 «еераторх 3(еьла. 10.! 42. Дсаьазятьл что Б с(32(сч(онйьдьт(ом (годе сиоток век- ТОРЯ ЧС!(ЕЗ ЗЯЮКЛУТХ (О 3((3(3(,.К((СЮ (Ь, БЕ ССХБРРТКС(ПТ(КТ ВБУТ((Ж ОС06ЫК ТО(СЕК, р(Т(3((ТС БУР(О. ! '.0((вер((тса сс(лет(с(ила.г(ьс(ость ср(одунзв!Як ((ос(е((: 10.143. а:.
(хх!(р ! д') !+ !3."-- .((3-')./ 103!4$ а --. (01! ~ х":;.у' . !ха.р (сд Яут. !0.!40. а ХУ:;3 (Хз.( (,Х)Х'Х 1О,!4?". Доказась, чт(3 в (((т((Б(льзял(,цсха (,(.дс лоток ректорх т(скч(3 аи Ре;3 ро;к !3(ирпю с(.иа 3(3(а лк;сз(ал 3(екторл(333 ру"' 1::тед «: ' т ю с( т м же личр«нтл0 (ъь!'Яилст (3(х 33!Хи!Н(а зпячси(ю, З.
ЛаПЛЗСОЯО (ИЛИ ЕЯРМ»КИНЕСКОЕ! ВОЛЕ. БЕК(( РК .Е П;ЛЕ Камл;..'а.. О и д", н.-.(З (Ь( . О ЛЗКЛСС( ВВ 3(ОС(Я ' В, Х("'С*: =Ос!Х' 'ПХ(ХЛОО (33333(л((((СЯ Пар Х НЛИ 1Ч(ЕХ е3 ° 31!1(( 3 В( асл ько, км(юм (,,Х Я П(3 Х ЛЕР(*ЮХ ° '3 Х, Бк ( (к (31« 33(к(3(о(3(е(ю в Яра (аракса(я.
окна жаю(3((х( кск(ао р(3" точс жую мжсу. ,охп а л св (' - х('Хс(хс(313(кл(т (р(133((р((и: лз.(ал** са:с к *33 (юле сил Я(ОТХ ЛЛЯ Л Л('Л Л ' С(. 3 хул.(рт 3 хй Йл зао — вю((ОБ силь прнтякикяя. Дея 1акахз(хс, Оя яапс(ах(юк к (сюи 33( ' !(и 3 ях( яия (хсколья( есг Оля((я ая( (Й вскт(33 Олей (с !Ь! л Веатора точкй Р(е), 333333РВГьтевйГМЙ Й йайаау. КООРВКаат,аео 'Молуть .раасн Й,'гэ, т. е. обрат33О ЯРС333ОРЙ33С333аяе33 КВадрату рдсесоййййя От аейтра првтвжлькя, 33окажеьй, Зто айва-.. — Здйт — -=.(3.
Имеем: Гй" '' ) ДХ (Хйд „. 33э 3 ) эй (33й ,й ) тй 2хй стх Гэй-).йй-(.хй)э' Ассэлогя жо 333Э х 3-эй — 23 3 ой А Рйуй й потому — х-+ — — 4 ° --..- -- —, 5У" ) хь 2хт) ) (хй -' эй ркй3 (- дах, сэва СТГТВ й, дх д)ГЭ дэ гй т (эй 3. 333:Ээйй) .. О. Итак, !3ОВС сйя тяГОте!3йя яз33ХВСОГ333. !0.148. 3(33кййззтсй что глоскос згкторкое волг„потсп'цизлом которого служвт фупкййпв 3:--)Гтг(ГГ =-)гйр; "33'-т, лзплвсовсч !0.$49В. Длв гзрмоййичссккк и орйлзст33 6 33Ьу33333(3й и и св доказать след)гокс333 формулы Г р к па: ~и —,„с)0-:= ~ Ц~ (ргз3)м, 5ГВГ(сй) 3(с (первая формула Грккз), 1: '' м ' дь д33'3 5) ( и --'- - — Во-.-'-.
) ВО==О дя дв (вторая формула Г(м333Й), ес д(жы р, з) (~ —.— *'- С(а=. 2 ( ~ ) (Вгзс) и, 03ГВЧС) и:) ВГС. ОЛ (третья фсрмула Грвиз), ЯЗЛЯКтСВ ЛК ГЗ(3М33333333ССКГГТ333 С.ЧСТГУЙЭ33333Е фУКГСИГК33: 10.150. 33--- ( Г УЭ 3 3.Э 10.15!. Й = г —. «:== )Гх!.3 у'--х. $0.$52, =Л -). ))3, (-С. 10.155. 3 .—.=Лх"; 2Вху+ (:уэ. 10Л54. Й =.Лх' ) ЗВхйу ) ЗСхуй+Буй.
40.155, и =т Ах+ Ву+ $,'г-ф П. ' $0,166. а =- аййх'+ аййр'-'-(- а,,гй-).23а, ХУ+2ажхз-)-2амрз. 5 5. Применение криволинейных координат в векторном анализе й. Крн33О33йнг(3333эе кооракйатм. Осйоэнме со3мйоййейкв. В врост(жкссяс свмв3й скстем. КОС(айнэт, ссэй кям:333З то3эе Р яо3тавдсйа В с"Отыьтсо3кй. ГГГОЙЙВ чвссл 3)й, Ой, Ой, '3233'33М )ЙЗВВЙ'Гвй»м т(Зойкам '3ВГСВ ОТЯСЧГЗВЛ ГВЭГ йЧЗЙСВ ТОЧК33 333"'СТРЭ33СЛЗЭ. )ЭС. Э ГМ. Эй. Ой йв' ЭЬЗЯЗ3 '33 Я 3 03 ДГ 3!' ВВ!ОМК СВГЗК 'РГ 33 ЧГ 3 Оямкй 3 ЭЗТ'"'3333ГЙГ!3ЬЭГЭ) 3О 3К33 Р = Р (Э, 3й, С33). (Г3333ГСЭГТГ Т333,3рсо33тсат3,333 Я333 яэ:;ГЗОЗСВ слсчумв,вс СЙСТЬЖЭ Ь Й Р .33ВЯ3.* !33,'(еч333333ВВ 33! ГЯМСГОВ333чй 3йст мй К«К33ж эт.
З,ссь 333=-х-- язс 3ксся;333Э33 Р,. Ой - р — овхмжтэ к цй=:=Г "мв3лвю3тэ К Г(вэйййпю 3СС333:33 ске33чэ к333р33333чт. яжсь ээ ч, вркввмэется сясст3жйсе г со Гочэй Р;3 Гмй э. к, — г (Й.:. Г <..( Й33. Вй'.=3).--)ГОВ, с33333333В333,33мГГ: 3мйкй Йд рмжйс 31С3,тор33 ОР вэ 3ожсжсть Охч с к- ВОВ 3!ГСВГ Ямм вэ33р3'*, .3 Я3 м Гч й Ох Й.', и ° 2л), В 323-..-х --В3 иэйк 3ТВ ТОЙ К й !)р33 э3 м 3ж: яясрй 3ссякс жмрэйв, тм ж я.м:м В3кэрйоя3ЭГ я ВРВМО33ОЗЭВММВ К333 )3,:3333ЭЗМЭМ33 33вй ГЯМ3.3ВЙ 3)М3 МГ 3. х. 333ВК, в:- Гьь 3(. э -х ,зрю хэ .3-уэ, ГИ 3(---;. —. а) Ойм; к ксэвя сйст3МВ ко рхю Вт.
джсь с33:-:.г--3333333 э Гэхйэс. МЙГЧРВ тГЯКК Р (О = Г С ) м3, сй -- К вЂ” уг3.". Мсжтт 3,:к жйте.й:ВЬМ 3 Ввваклсоксм оск (3э 3 ра33333 .-ьэк»рэм ОР тойкй Р(о ',:о з 33) '), 33,.=-.4-. ТЧ33л мс к у .кемь и 3..33333 м ьээ( жаея смй".в Ох к яросюома рэдйтс-гййтс3РВ ОР ГМ 3ЧЭГС33ОСТЬ 32хэ(вех 3;: 2л). 13МСВТ Меев, 03 33 М 3 Л И ' х- СМОЙ оьть йэ-.-гя .ОМ „..- °; ВО 3 СРМ333, ... 1" В) З' , ,'хч СОВ З.
=--==.: — = — =, (Ви----. )ГХХЭ, .й й ' Х Лйяйя, ВГмгь Й "3ОГГ:Й йчмм3яст«я гсо33 ЯГ - с:33 коорхйязта 3 ээь3В33ейся к лч3333ЯЗЧГ..ОГТ э, 333кйж.', 3 сэ33333Я333ь33)3 Йясажт 33ьт Вск3 "в ~;33 эйкйй, ЯВЯ.ЯЯЯ3'ввь'Й В стОГЙЗЙ3, ВОК'Встм3КЯ 3)3, СЗЙЗЯ33смвм 'э!Я3333. 33м!Йм ГВЗВ33!ВГ еэ В тс"3ке ):э3, зй, Гэ) ° Л3!33ВСГЯЗЙО . 3 Рож" Э эяожч йк- я тт.йю ЙЙ й Гэж 3;;мэс 3.ртм еч, еэ.. ЕГВ33 ееквй;м й', е, 3' ! 3'йэ33Я3 3')лОГ'!ЯВ:! йм В Вюгэ'к точке 3 ж3стря33стчэ„т33 СО3т.'екТСЗЯ:и,эя сйкммэ Й33Й.СВ33333ажж к3жр Зоват '*~ нногдэ ээ кж.р 3гчмту зй сферй3ккьоа сйстемм гр33333М33ЭГт)г ж между рад333с Вскторьк ОР в ЯВ скосймо Охр (см. 1 2 га. 53Ь Преть Р (ит, Уг, Ум — суоазвовьнаа точна и(кктуавсгва, .Ра (Уг *Г -1- Ь~уг.
Ег. уа) "точка, леагмцав ва от-ливки точки Р, н 1РР„) — илана дуга РРг. Тогда чнсло ) РР,1 1., Гав Лот кагыагсггв ьвгдфииигьглоч Лигис коссакваты дт в точке Р. Лвалогкчйо овг~сге.такт. в кг ь) Рв1и.гиты 21аис 1. в 1., кгв"раквят О, к уг, Если точка Р (х, у, х) имеет крнвоанвеавые кгьтравваттг гй —.. .--'рт (х. у. г) дт: — Ог (х, у. г) Ог ° уг(х. у, г), тоавффе)га икцлы радкус: вектороа Ынгч кооравиатвых хвикй в двфферегвгвваы вк дуг иггч овс ределйготся с вом01иью равенг гв дх...дуг дг Г( Тх ",' ' '~ йу",'. Г дг ~.,' (»" 1. - ьь 'Аг ',— к к)х)вивгггы Ли ~е Миолиигао тсо'чк Р (уы и, и,), лла кот 1'их огвг 1 3 кооргйнат вггтовьва, визыавстсв гио(гдивомьса лотгихкосиьго дм)нк 1ьисвылы илоиааиса коо)ывивгюгх воверьтихтса оврсде..в~:",; в во фо)~иглам г авф(орсиквал та~ми в НайтИ анд КООрдтитатинч Линий Н К ~г.раииаттигк ОО- асРКГтнотвй и ПготРОН~Ь КК а ВРОК Рх Лгдтсй тОЧЬЕ ДЛЯ слей)'каина г аучаегс !0.158, длв дск йм гной арамо)~ольтгой свете~к координат.
10 159. г(ли гныигндрвиеской с1к смы кооркиваг. 1О.!60. Лля сгрерино кой сн темь когт(с(кват. Вычислить коэ)гркциг'втгг (гине." 10.161. В декартовой г|рямо).'мькоиснстемс ксордкнат. 10,162. В кнлвнирическгтй сгтстеьге коор гтнтвт, 10.!63. В сфмрнческой системе к крггннат. !)вити ЛВГ,'фЕРЕЛгиаЛГг ДУГ 1ГОС(нги1тат1сггв ЛНГ1ий„ктиРФСРЕН1(наЛЫ Оасгцааей ~Ы~Г~ОтднгаДГЬтх Ос~аСРаиогтсй Н 111К)Ь ГРЕРЕГЦгцаЛ г*ОЪСМа' 10.164.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
