А.В. Ефимов - Сборник задач по математичке - Часть 2 (1248980), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Х вЂ”  —.- о х(О)=-- у (0) —.О, х'(О)-.— у(О)-.—,2. ю 13. 135. х" — у' =-ее, л'+ у — у=0; х(О) — --1, у(0)=-- -1, х" (О)---у'(0)=-0. !3.136. х + у'=-2а)п(, !)" + г" =- 2 соа е, е» вЂ” х — О, «(0) г (0)=у (О) — -О, х (О):=. у(О).-:-.— 1, е'(О) = 1. Проиптсг)н:ровать при нуленых начальлгых условиях.:,',." систезсгя 111гф$ерегпгнальных уравнении: 13.137. х — у'==-~а(1), )! прн 0 .1<и, у'0 х=-1 (1), ' (О ири ) л, ' прн Оз"! <и 2„ Ы)= ..— 1 пр п)2~1;:и, О при (~п. („гйе )(1)-.-.. — 1 нри не, ",1 < 2л, у" — х= ((1)„ 0 при 1 а2л.
й. Решение линейных интегральных и интегро-хнфферснкнлль- иых уравнений. 1)спш,*»дуя тсорсзи сасртывюяш, иоягио легат, гишгц 4 нзгбражеяиа регисняй интегральных у)шанский Вольтерга 1»о к »Ьго рвса (а и яростекшкх слутаях яо кайдсинол»у изгЮр окенкю яайгя и само решение) я тха слу.зе, кгяиа гс;ро», в гооавсгсг ах щсм урао. козни служит 44 окшш аида К (1-- т), гле К (г) — грю ьисз Зтг»т метод ярямеоим н к гогтегроянфферегнгиздьны»г уравнениям с так»он П р и ч е р й. Найти рсок»ше уравнения Волг глгрра 1 гс рада 1 соз ,'г — т) х(т) г)т —.1соз!. с я4 Пусть х(г),='Х (р); так как .оз 1 —;'- —,, 1 сот 1 — —" —,—, р „рз-- 1 (р) -', 1)т' соя(1 —.
т) х(т) Ег — ' — -— . ер(10 да+ 1 (ао теореме саераыва шя)„то яряхсьтим к оясраториому уравнению РЛ' (р) р' — 1 г'+1 (г -1 1)" 2р х (л) — — '-- —— Р(я~+1) рз , '1 р" Таким образо»ь х(0» йсоз) — 1. 1р хга П р я мер 6. Найти решение уравнеиня х"-т-к=а1я 1+ ' ( гни(г — т)х(т)от тря ядяалынях условиях х(О)=О, х'(О) 1., О .ф П лагах х(Ока Л (р), имеем ол)каем ояс)»а гг 1)иое )' рааьсонс, 1 Хо») (рх., 1)Х(р) 1=- —,,,+,—, рз-1-1 1(р"-(-1) — 1) Х 0») =-рз-1-2.
1 Отсюда ггзходи», Х ,'л).—. —,, и х*;0==.! Ф» гт Рснигть слслугосане интегральные Рз иптегро-лис)к)жренниальпше уравнс)пгя: г 13 139. ) сп(1-- т) х(т)с(т=.с)1 ! — сон !. 13.140. 3 ~ з))(1--т) х(т) г(т.=.. х(1) — -е '. 13.141. ~ е' '»Оп ((--т) х(т)г!т=х"--х'+е'(1 — сон(); х (О) = х' (0) = 1. 1 13.!42. ) з)г(( — т) х(т)с(т= х" — х'+ — 1Ф !", с х(О)=-1, х' (О) — -О, Прогнгтегрнровать уравнении Абеля: ' х ('г) Ет 13.! 43. 7(х, Р) - Рс 1)о тзк кзн то ЙзчО,лтс 1 РС (13-с ~'Ы, Р (см.
Рей;гкае г'римере. 4 ггз 4 2). — у Й1Й л, ( т ь1~т. 7 е ' ты1,(2 Ух(г) Рт (Рт+От' -' в =-у сок у, к 'г (х' у) — ~ чг (1) 'е (2 Ут (у:1)) д( -', . — У во у мл х— н(з1л у4 уоо. У)созх —. 1 гг(1) 1 (2 „' .(, ))Л( — ь(л У сое х — — у соа (х гыу) Я. Интегркроаангге аггнейных «раанаанй в часгных Йроггзяойных. 7(ргзмсыеггяе олерайкоккых мьготоа то~к' нйтггрггроазляч линейных уралясйку Б часл1ьгх ЙРОязаоайгчх (ыссьФтрльг ла гтрймгро. дзз П р я мер О. 1(зрти рч тяы урзяяеяля —,— ' ';,.з ыйй х созу, ух ду уяоалетаоржглнее усзоагг и г(О, гд =-Б1Й у, г(х, О)-=0 (х с (О, +сот. у~(гз, + )) Н4 11срехоякм к:;: (.г ы;(.к ыу 1 р: акакию огиогкселы;О арг) мента у, ' )нктзсзй х(х, у) = 7(х, Р).
сггаозз ;-;„-ФГ'2(х Р) — г(х й — -Р7(х Р), *- де д (Р7.(х. Р)) - Р7-. (х, Р) (оо теореме о зк4чггереллкровалия о. ерзторлых гооткол,екнр ло лара- метру). Возучаеьг олераторяое урззкекке, Ратх 7 . Р Р7.,(х, Р) — Е(х, Р): —.= —; ~ так гык соьу —,.'-.— "-- Ра";.1 (, ' ' ' '" Р' 1/' ыятьтрлрук лойучаляос хлф4хрсйслзгьлос 1рззлскле л.
Бргтьмлту х, 1гаходям Рг':-1 г О') е -)= —,;„— зьйх — — — —.гсоь,. г Р Рт (Ре ) 1)1 ' (РЧ 1.1)2 В сязу качазьлого услоанл 7,,(х, О) —.: О к теоремы о сзязя кзчазьлого зяачеяяя о(л1гкльза я кикчкого гйычслкк изойрзткслзи мы яозжаы аметь Вгй рдгх, Р)::2 (т, О) = О, откуза льхорнм Влг РС ', -~(Р1 -'- .=.: О, зрячем есзк 73 (Р) = —.4 (у), то у (О)--.О (з силу той же теоремы). Зымглем телерь 7 (х, Р) в слеаттолгеы зксс. (Ре ) ) 1 (Г— Р ' Р"-,.1)' 2 (Р"+1)У о:срзое сззгзеыоа Йсыу гено ЙО теораме сяертынзяня Орнгнлаяоа) 1: к кзк (е(ог) = 1, то, Йснагзк н=- О„ нахоякм1 гд= ( гр' (1) с(1 — —,ь1лу — -,— ' у сок у-.=. 2 ' 2 1 .— г; (у:,-- —:, згй у —.
—, у оса у -,:: з(Й у 2 Я ;,: яачальйыьг услолггям); клятому 4(у',===,,' сноу+о-усозу: г('(у)=' 1 ;- 2 соя у — — узна и, л окоячьтезько кзх,.там 2 г 'з, У)-.- ( 2соз 1 —. 1ЫО1; 1„',2 1 х(у-- ':) гу— 1 - — —,- З 1и у Сна Х вЂ” —, Ч С 1З гХ .1 Е), 3М у ()ройктегрнфотгагтй слслтю131ЙЯ ЯЙЙМггыс уралкскля ЧЯСТКЫХ Й(1ОВЗВО1111ЫХ.
дах дх 13.145. — „— — ', +г-- со: х, г(О, у) — -у, г„'(О, у',=О. дзг дг 13.146, —; —,„— — — агг-.=. ('(х), г(О. У) —. --у, г„'(О, у)=О. 13,!47не. )грялпеггггя дллккой лй1гкг1 В случае отсут:такя лото))ь (ллксйкое сонрот11ялскле Ь'. 1 утсчКВ () ряаЙЬ1 КУЛЮ) КЫЕ1ОТ ВЯ)1: дг(х, 1) он 1'х. О дх ах де Й (х, 1) — -11ялряхнсгк1с, г (х, 7) —.
Ток В точгях лйкмл ЫО ЕК. ВРЕМЕК (, (.- — ЙЯДУ'Л 1Вгнтет К С вЂ” -СМ ОСТЬ, отгюснккьга Й с:1ЙЙЙ1,е лллксо НЯЙТЙ рек1е1111Й ) рагтке~1(~ (3), тдокчетас4)яю1цке кячялы1ьгы услоВяям 3 Й Гранячяоыу чслОВио и (О, () — -- г) (() =. Е ь) В со(. $3.14В. В уйаа11екгзтзх длинной ликии . ак(х, 1) бг(х.
Л вЂ” — ..—. — (.= — Ю 1х г) ба Дг (5' — — С"' ' ' — сзи гх, (), ах дг в случае ликии Оса г1скаисекггй, велкчипв тс, с., С к (й Р 6' саяаакы состтг1слке1гггЯМгз -1- — =-я. )(айти ре11ранкя )ран, некий (5), уасталетпорягогг(ле ыа ралькьь; углстакям (4) 11' ГРакяякоыу ) сЛОЯГБО и,'О, 1):=- г) (1) = Е (т) (1) —. г) (г ---т)), т, й 4. Вычисление несобственных низ агралов. ()лкк нз ссособон';. иычяслаккя кссорктасяг~ых иактрь;,ов икал ~ )г(г) ггг ог кокса кз кря- *, к ис.
скан т аргут омриеокг~сгг кг ~ксасклк«г саязк кгзкак1к гс. зла-" ке«я оркгккьг а и скз яаыьгоз зкзксккк гаображсяккл агля а (1) =::, =кФ(р) и гтассоосг во 1с ккгка ярсзял (ая г( (й-.=. )(;: кт), то, г-к а 1ии Ч:(1):=:~. (ч ж)---- 11т рФ(р) (гм. зала~у 13.1б).
Р(з зтон тсораиы я состзгкисккгг ) (1) ггг== — Е(Р) () (1) =.--Р(Р)) р яра услоакя стогтггмгзстя ыисграла ~ Г" 11)г11 слаяугт сосчкоасяги Ь ~ )г(1) сг =Е;О). (6) о р атя 1 , 1) р и и с р 7 Вы; слгггя иктсграл — — са 1 яф Тзя каа я1я1=С вЂ”,— —, то яо.ыоргмс нк тгрироьакге изображарт -г. 1 ' ияя иысая ага 1 . (' гй) д 3 Отт( 2 позтоиу яо г)орярлс (1) изкодкы )таге функсггкг )(1, и) и Ч(1) -- ') т( (и))'(Г, и)г(гг ияаяытся ориг| ,, ты я ) 11, к),-:-.: р гр, к).
Тсгтк. яряисигяг корану об как;.рги и тр(1) — ' г)г«р) — (. а (и) 1 (у, и) с~и, т ясли кктсг(гаа, олр ылюои кс* Ч',р), иаксяс вы ласкать, то .- .тттсязякя кит тралл (, а(и)((1. и)ии дос ьтоик кейла ркги- гглв з(г ()г), т, с. к ги) г г, и);.'и.==.. ~ с (и) 1' (р. гг) «и. к" Г гоз (и,аг Вы ~ ко кк г к ы я.
1 1'„я р — — = г иг. Фтгк'ла р — — ю (ккс слак ы"оо:б агз.кслскк я кесосатаакгазт зяте тралов г рк яо" 7 сор сиз 1(арсик з." я. Если (г (() =. Ез (р), (з(г))и Ез(ГЕ1 н г,'икчаы Е,(р) и Гз (р) акааигсичгги яргг Рс р =-Р, гг~о гг (л) Р. (и) аи — ~ Ег (г) )т (г) гбс (а) (тои злгк г,з стя~изггс:ли остг,ото из зглия кипу;ро»»и сиг1игсо гасли. ГСЛК аля аякса Кт фаны:КК Рз (1) ГЫК Рз'(,Р) )СЛОЯЯС Лкалк -яч~ггыгк ягксолясцст гнись орк ((ар, ы О, т г сксляигстк олгоггг иа кктагратоа ыожат ка мксгь аоста. 'х *-хг + ( ))х с ""'.
Похг, м, П ~'- — ' — ''---'- )(.~ х- " гх ~~>() 1х. 1х к г-ах' ., а, ()>О. 5(х) — ~ бг ггс-хг х) ) (С) об о е- -"'" аен гсггг . Пеннер соб В~ гконнть ~ " ' 'бс, нж(). Иагссхг е-гх: ангрг =:. — —. - —, н 9=' —, Пот гаг )ь ((ха ' л =-а ока)н)ггг Х., г":. —, гхггехг Ргг-) ---- — '.— — —, ),( ) .г)(с) ( огх,х Помо.гу с„бор; х н — .орч )х (* рг)()й, г' гтг г:,) (.
о)е.(гх '"~ (о о)х(()а (г) ( ) =!, гак как > б, енкггм обраасм„ ихя~г 5, г р — — — -- — гггогб —, а б„ф к о ВЬГггГГСХГПтб Г*кеббетПГПГНг~ мулу (5) 13.149. (г -- — -'; — -' — )'-й, ах ~г ' О. 13,150, ') Р'с '1п(г(г, сс'. (б р. — 1. БЬГглгСЛЛтк 1ГЕСГбсбСХССГГГ ЬЕ Нтстранпб ПСПбЛЬатя формулу (7): 13.151. ~ - —. '-.— ';-'. 13.152. )) с" гг'би ВггГНЬГСЛПтах ПЕ «4СтгГСНГХИЕ Г Нтс. РаЛЫ, ПСПбЛЬбУН тЕбреиу ) )арсенал (г1кгрьг) ла (8)р 13. 153. 13.154, О 13 1е5:г б.
Сунагнронанхге ранов. б(сметы о,: ервнтгонгтотоксянссигня нос)"г' ь ггс оньз,вани нрн сумгнгроввяня гггсховгих н ф)нк. гояахьных Г) рн мер )О, П)сть )йг=б(р) обхасть аналг. к:ког к Еон)г р".. б) . скакать, чго с)м с 8 ря. ~~ (~ фкл(к) мсжег быть тека со ЙОрм)ле ха Пс Усхоаг'хг г, г" ( хг . (г) °, 1 ~~Р (: б:.,— Сап '~,'; г)ел;г) ~В~ «=г Исггггльаугг грбрьгул) (9), пннбиг суи рн с слугглпм чноььгк ря'огг. Ф 13.156" '. ~ — — ----..
13,157' ".. ~ ягс(д —,. гл —; г Пре мер П П г г,,'~»; — г' (р ( баас; ак хсткчаостк г'(р) Нера б). П)сгь к, сс, г: гр(г х — кроя а,. яиая фуг кгкх бес г Е гггггй нссхе,гаггтсхьггаехгг г))ггкгггс ах -х) т е. Ф(П х) =- ~ гтх:хг и. с Доказать н стана 3(х) схохгггггсгося ка (а Ь) ф:скоко алан.го тяпа х' Р(х) г(.„(х) мажет бить найлег а о: формена х=а ч(6 Р(метье ср (( 1 «)1 (1)~((.-- ~ ) (О ~ ~ (х) е-'1 с((— О ч= л м м .* Э сч(«) ~ В-чгг(0Л( —. ~яь', сл(х»РТ ) 3(х) -Ис Колья у я формулу (10), с 11омок(ыо иодгходящой вроиэнодяк(е11 фукк»(ии иросуммировать следу»о»дке ряды." 13,И6'.
~: ( — ))л' (3.16$"'. Л=.1 13.(62В". ~ -"-----, «Р(0, им 13.(63ч,,)'„, ( —. 1)ч ' — ' — —, «4-'(О, л). ч;;1 6. Пркмекеяие осеракиочаого исчнсленяя ирн расчете злектрк- . ческнх целей. 1Ь»стол1л Ог1егагжжжгг ксчяслсккя жар;ж кпчжьэуклся лрк расчетах нроксссон„прогеяаьзжкх а элсктркческих км1нх. жисть 1'(Г) к п (1), сосггстс ВВ111О, тсь ь нанряжсккс з ме1О1. 1 ркме-:: неное 111мрзтмрнсго ьытолз асноалнс кь ск»азглл1нгмхгн ззьокоа " Кнрчгофл„чя олсраторнмм тока 1 гр) =-1(1» к кл:ряжсння 0 (р» .: и (Г).
11В сскоиаккк эзж:нз Омь лля гмиоекмх члемелгоа млектрнчсосой цссл1 мог»ч Оьнь эаоисан.1 слглуххцкс мчмкоц1еаия: гк10 - и; (О лля со11ротнэлеккч и 1»г (г) лс р)' 1»г йля кксукюглностч »Г. лс (1):= — Л( 1(т) 1(т (- кс(О,' для смкостк С. (»Срсхотя я кэтч'рзжеяяям, отсььлз голрччсм Уя (р» = гс 1 (р).
('г (и) — — р( ( (р) — 4л (О), (Гс (Л) = —, 7 (р)+--- к; (О)- НГ р Р»с11ольз»я элкок Омз з ы,срзторкой фзрмо„лля лргл1эамльного участка гьзлн можем лалнсать 0(г)» 6(Л) 7(Л). (1 1) 666 , 1 7 (р)-)кчераторное Омзроряжтеяке уклланяого участка иели Для клткок к. соаротквлекаем к, яилукткккгстьто (, яля змкогтгьг'С нт.~ сямх чгжилькых услоааях гнмратО(яое голрота1'лскке кмсс'1„ Г 1. 7г1(р) — Р(, 21(р)=-(р, 71 (р» — -,—.,—. 1»ря кенулжлмх йа1зльь1, х )слоэкяч к кьм р кткгимся я келя источкикам з.л.с. Лобззлякггся лололкителькыо источяикй. Витггчи11ы ,.с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
