Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 9
Текст из файла (страница 9)
[~.]-[~.]+[~„] Возможное движение, при котором не происходит деформации твердых тел 5, и В„определяется на 8, торсором (Ь,) и иа 3;— торсором (Ь,). В этом случае (Ьт) [«Тт]+(Ъя» [ я]=((В,) ~ +(Ъ,) [4Гя])+(А) [У;,]+А) [Р,е]). Левая часть равенства представляет собой возможную мощность количества ускорения, первое выражение в скобках — возможную мощность внешних сил, действующих на 3, второе выражение в скобках согласно (69) равно возможной мощности внутренних сил системы 3.
Для того чтобы полученный вывод был применим и к динамике сплошных сред, следует надлежащим образом определить внутрен'ние силы системы и их возможную мощность при любых возможных движениях. !.б. ЗАКОНЫ ПОВЕДЕНИЯ СВЯЗЕИ, НАЛОЖЕННЫХ НА ДЕФОРМИРУЕМУЮ СИСТЕМУ АБСОЛЮТНО ТВЕРДЫХ ТЕЛ Коротко напомним основные положения механики абсолютно твердого тела. Рассмотрим случай свободного абсолютно твердого тела. Положение такого тела зависит от шести параметров. Так как внешние силы, действующие на тело, считаются известными, то на оснонании основного закона можно написать шесть дифференциальных уравнений, которые, если принять во внимание начальные условия, позволяют в общем случае однозначно описать движение.
В случае когда на твердое тело наложены связи или если мы имеем дело с двумя контактирующими телами, дело будет обстоять не так. Чтобы получить более конкретное представление об этом, рассмотрим последний случай. Основной закон позволяет написать уравнения вида (70). Величины [гт] н [1Гя] можно считать заданными; величина же [Ктя], характеризующая внутренние силы суммарной системы 3' 3,+5„ неизвестна '. Если геометрическая связь Зт и 5, определяется г уравнениями (О < г ( 6), то положение суммарной системы зависит от (12-г) параметров. Система (70) дает всего лишь 12 уравнений, тогда как число неизвестных (18-г)ее ° В силу рввенствв (66) змеем 1ф'ех)= — ф'хя). ее Можно сквввть также,.
что имеется !8 ненввествых (по 6 нв каждое ебсолютно твердое тело н 6, относящихся к торсору) н (12+я) урввненнй (по 6 нв каждое вбсолютно твердое тело плюс г урввненна свявн). $6 больше чем 12. Видно, что основной закон не позволяет сам по себе полностью решить поставленную задачу и приходится обращаться к дополнительным гипотезам, схематически описывающим физические явления, свойственные механическим связям между рассматриваемыми абсолютно твердыми телами. Эти гипотезы, кроме того, должны дать недостающее число дополнительных уравнений. В нашем случае это уравнения, в которые входят силы трения. Не будем давать строгой формулировки этих законов, подчеркнем лишь, что они выявляют соотношения между силами связи 3, и Я„с одной стороны, и относительным движением 5, и Я,— с другой.
Это последнее движение описывается торсором скоростей ($,) †(Ь,). Если, например, 5, и 5, имеют общую точку 1, то элементы приведения торсора (скольжение, поворот, качение) в точке 1 определяют характер деформирования суммарной системы 5 = 5, +3,, элементы 1(г„] и ((гм) определяют внутренние силы в системе. Таким образом, трение в системе из абсолютно твердых тел дает дополнительные соотношения, связывающие внугренние силы, определяемые торсором (У"„), с деформациями системы, которые описываются торсором скоростей (61) — (6,). Эти соотношения называют еще законами поведения связей, йаложенных на деформируемую систему 3, состоящую из двух контактирующих абсолютно твердых тел.
ЕЗ. ЗАКЛЮЧЕИИЕ И ОБЗОР ПОСЛЕДУЮЩИХ ГЛАВ В ааключение обзора основных положений общей механики можно изложить схему, которой будем придерживаться, изучая механику сплошных сред. При изучении сплошной деформируемой среды предстоит: определить природу внутренних сил или сил сцепления внутри рассматриваемой среды; определить величину (или величины), с помощью которой пояВляется возможность охарактеризоватыдеформацию» данной среды; определить виртуальную (возможную) силу сцепления в, произвольно выбранном возможном движении н доказать эквивалентность основного закона и принципа возможных мощностей; сформулировать законы поведения, которые соответствующим образом характеризовали бы для каждого типа сплошной среды физические зависимости между внутренними силами н деформациями.
В действительности же оказывается, что механическая деформация материальных тел почти всегда сопровождается тепловыми явлениями, т. е. между ними имеется прямая связь. Таким образом, законы механики сплошных сред должны учитывать и термодинамические факторы. Наше дальнейшее изложение начнем с изучения основных законов сохранения, которые применимы ко всем сплошным средам, законов сохранения массы, количества движения (являющегося не чем иным, как другой формой основного закона, приведенного в 14.!) и энергии — таково будет содержание глав 11, П1, ЪЧ.
37 Главы Ч и Ч1 посвятим определению деформаций и законов поведения чисто механических сред. В главе Ч1! дадим определение элементарных понятий термодинамики и в главе Ч1П будут рассмотрены их применения в случаях, когда термодинамические эффекты нельзя отбросить. И наконец, в главах 1Х и Х рассмотрим на примере нескольких простых задач свойства определенных таким образом моделей сплошных сред. ГЛАВА П ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В ФИЗИКЕ СПЛОШНЫХ СРЕД. СОХРАНЕНИЕ МАССЫ СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ Великие законы классической физики можно рассматривать как один общий закон — закон сохранения.
Поставим себе задачей проанализировать этот закон. Закон сохранения выражает собой некоторый баланс и относится к любой связной области Ю, находящейся внутри изучаемой в движении системы 3. Предполагаем, что 3 и Ю вЂ” трехмерны. Математически такой закон может быть записан как (рис. 1) — .д, до + ~ а, до = ~ А~ до. Оператор —, обозначает полную (субстанциональную) производную, д которая введена в 1.!.7; д, а, А-три величины, соответствующие данному закону. В выражении (1) это векторные величины, задаваемые своими компонентами в ортонормированной системе координат. Они могут быть скалярами, тензорами второго ранга и т.
п.— результат от этого не изменится. Прежде всего д — объемная плотность изучаемой величины 0 (масса, импульс, энергия и т. п.), являющаяся функцией эйлеровых переменных; А — приращение объемной плотности в единицу времени, вызванное притоком извне, также являющееся функцией х и 1, т. е. А (х, 1). В общем случае А задается при постановке задачи, в которой нс- П пользуется соответствующий закон сохранения. И наконец, а — скорость плотности потока через границу области Ю; а является, с одной стороны, функцией эйлеровых координат, а с другой — функцией единичного вектора л, направленного по внешней нормали к поверхности дЮ.
Таким образом, можно записать: а(х, 1, л). Выражение (1) может быть прочитано так: Рвс. 1 поступаемое в область Ю при ее движении ко- личество (правая часть (1)] расходуется, с одной стороны, на пополнение потерь, уходящих через поверхность (поверхностный интег'рал), и, с другой стороны, идет на пополнение величины 0 (первый член левой части). Что же касается размерности, то совершенно очевидно, что Йш (А) ° б(ш((ц. '), б(ш(а) =б(т (ЦЬ эТ-й), б(ш (А) б(ш (ПС-'Т-'). Цель настоящей главы — получить общие следствия законов еохранения (11.3). Но сначала выведем несколько необходимых формул для полных производных (!1.Ц и сформулируем одно простое, но весьма полезное определение (11.2).
Первое конкретное приложение будет относиться к закону сохранения массы (11А). Исследования сохранения количества движения и энергии будут даны в двух последующих главах. НЛ. ПОЛНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ Понятие полной производной было дано в 1.1.7. В лагранжевых переменных вычисление полных производных — это нахождение частных производных по времени, Совсем не так обстоит дело в случае переменных Эйлера. !1.1.1. Функция точки. Начнем с изучения скалярной функции ~(х„х„хм 1) =1(х, 1). Полная производная от 1, которую мы обозначим —, — это производная от функции одного переменного д/ И ' 1:7(1)=1(х,(1), х,(1), х,(1), г) дает значение 1 для сл'учая, когда система координат перемещается вместе с точкой М, т. е.
когда х, (1), х, (1) и х, (1) определяют параметрическое представление траектории точки М как функции времени г. Правило дифференцирования сложной функции с учетом формулы (1;16) дает — „= — „+иг„= — „+о а й. Щ д( д( (2) Здесь принимаем — * )' „обозначая через запятую и индекс частд( дх; ную производную по пространственной координате хо Если индекс повторяется, нужно произвести суммирование по обычному правилу. Не следует ни в коем случае смешивать полную производную с частной производной —,(х, г); в эйлеровых координатах частная д/ производная берется в предположении, что точка х фиксирована относительно системы отсчета, в которой рассматривается движение.
Этот вывод немедленно может быть распространен и на векторные величины. Пусть, например, У(х, 1) — векторная функция; комдк поненты полной производной — являются полными производными Ф от компонентов функции: —,' - — + У~Уь~. дк; ду~ (з) В частности, компоненты у, ускорения у частицы, которая в мо. мент времени 1 была в х, даются выражением у,= — „--йу)-+ и,и,, би, аи (4) В векторной форме у- — „+и ч(), аи или-(что легко проверить) ' у '-и.+ — йгадЮ+(го10)Л0. аи 1 (6) (6) ,)я а( 2) ту часть Ж)', которая является Элементарный объем П в иепосредравен и 11(Р) до(Р— 1) (отбрасывая члены, содержащие (1' — 1)', которые при переходе к пределу в уравнении (8) стремятся к нулю, и обозначая через да элемент поверхности дйй в ок- Обозначим через П (рис. внешней по отношению к Ю.
ственной близости к точке Р и ()(1'-1) * достаточно применить тождество (87) ив П!.5.2. Прнмим сопоставлением членов правых частей обоих равенств можно также покааать, что уравнение (б) нвлиетси всего лишь другой формой елкова (4). Рнс. й П.1.2. Интегралы по объему. Основная формула вытекает из следующей теоремы. Теорема 1. Пусть К(1) — функция, определяемая интегралом К=) С(х„х„х„1)до, взятым по движущемуся ограниченному связному объему Ю, Пусть С вЂ” некоторая непрерывная дифференцируемая функция со скаляр- ными значениями. Полная (субстанциональная) производная дается выражением — ') Сдо ) ( —,+д!у(С0)~до ') — аг до+~, Си стдо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
