Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Опираясь на основную лемму (так как 'величина под знаком интеграла непрерывна), приходим к следующему равенству: а (Р, и, () = а (Р, (). (48) Это равенство отражает краевое условие, которое естественным образом ассоциируется с законом сохранения. Оно справедливо для любой точки Р поверхности д5 (и — единичный вектор нормали в данной точке, направленной наружу). Это краевое условие для тенаора потока на границе д5: аы(Р, () ау*=а,(Р, (). (48) В некоторых случаях приходится учнтывзть особыефизические явления, природа которых проявляется исключительно нз поверхности дб системы 5.
Эти явления накладываются из явления, описанные выше, н должны быть учтены в краевом условии (46), н поскольку зто условие вытекает из зэконз сохранения, то оно должно быть изменено соответшиуюшим обрезом. К числу таких явлений относится, нзпрнмер, поверхностное натяжение, которое прнходвтся иногда учнгывзть в некоторых зздзчзх механики жидкостей. Оставляя в стороне зти спеннзльные случаи, можно сказать, что уравнение (46) является необходимым крзевым условием, которое, однако, кзк видно при изучении вязких жидкостей, ие всегда является достзточным. П.3.7. Заключительное вамечание. В заключение этого раздела напомним, что в целях наглядности наши рассуждения были основаны только на одном уравнении сохранения, в которое входят векторные величины.
Однако зти результаты применимы и к другим возможным случаям, если, конечно, заменить обозначения и названия. Например, если величины А, а и А — 'скаляры, то а — вектор потока, а соотношение (35) должно быть заменено следующим: а(х, 1, а)=а;(х, 1) иг Точно так же величина а будет в атом случае скаляром и уравнение (46) примет вид аг(Р,!)пг=а(Р, 1). (48) Сделанные выводы справедливы и для случая, когда А, а и А— тензорные величины ранга и, Тогда а есть тензор (и+1) ранга. Метод исследования я характер выводов остаются справедлнвымн н в случае, когда система 5 является поверхностной вля линейной, однако выкладкв тогда меняются. Рассмотрим, напрнмер, среду, распределеняую по некоторой поверхности. Пусть ® — часть поверхностн, а бж.— дуга.
Чтобы применить соотношеняе, аналогичное закону сохравення (1), несбходямо прежде всего уметь записать теорему Гаусса — Остроградского н рассчнтать субстанцяональную производную от интеграла по многообразвю, которое теперь уже будет не евклндовым, а рямановым. В этом случае придется яспользовать методы дяфференцнальной геометрня, которую не хотелось бы вводвть в этот курс, желая сохранить его элементарный характер я не предполагая, что читатель знаком с дифференциальной геометрией. ПА. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МАССЫ Закончим настоящую главу рассмотрением весьма простого, но очень важного для приложений закона — закона сохранения массы. Основная формулировка, приведенная в !.2.2, приводит к равенству —,', ~,рбо=0, (49) где ЯР†некотор произвольная область системы 5, которую мы считаем трехмерной; р(х, 1) †объемн плотность массы.
Величина 4 представлена скаляром р; а, а, А равны нулю. Полная интегральная форма данного закона может быть выражена !согласно (40) и (41)1 уравнением б (' бс ~з ~ав,)ав — ( раз= — ( рУ ибо= — ( робо; левая часть определяет производную массы по времени, когда граница !Е! имеет собственное движение, а поле 1г определяет скорость среды относительно втой границы. В атом случае совершенно естественно истолковать робо как расход массы через поверхность. Вывод справедлив для случая, когда объем неподвижен относительно системы координат прн условии, конечно, замены У иа аг. !!.4.1. Уравнение неразрывности.
Уравнениевчастныхпроизводиых, соответствующее уравнению (49), в точке непрерывности будет иметь вид (согласно (31)1 ф+(ри,)„=0. (50) Оно может также быть записано в другом виде: й+г)(т(рЦ О $+р8(уи- О. (51) и+=и =О, (53) так как плотность р положительна; поток через поверхность Е отсутствует, скорости сред относительно поверхности с обеих сторон поверхности разрыва направлены по касательной. В атом случае говорят, что Е является контактной поверхностью или поверхностью скольжения. Ско- ")ч в рость У терпит разрыв при пересечении Е, но этот разрыв относится только к касатель- у ной составляющей (рис. 9).
Обратим вннманне на следукицее свойство: пусть / (», О =0 представляет собой уравнение поверхности Х з фиксированный момент й †операц анф- 6 и+ 'Б ференцврования в собственном ланжевен поверкности Х. ьу%== Обратимся к уравнению(18), полагая йгаб/ Р/ (йгаб/), где М вЂ” единичный вектор нормали к поверхности ь (направленный в сторону, гда / ) О). так как 5-=о, то имеем 6/ 51= ' — = о ( йгаб / (, О/ щ (йз) Заметим, что скорость объемного расширения, которую мы ввели в 11.1.2, можно записать в виде бгти- — — —. 1 др р бг Замечание. В 1.2.9 уже говорили, что можно легко получить субстанциональную производную от интеграла по распределению масс, если произвести нитегрврование под знаком интеграла, поскольку масса сохраняется.
1чапрнмер, б ~ рфб -~ рбт Ь. Равенство легко проверяется, если левую часть преобразовать по формуле (9) с учетом условия (51). П.4.2. Контактные поверхности и ударные волны. Уравнение на поверхности разрыва, соответствующее закону сохранения массы, может быть (согласно (38)) записано следующим образом; (рп) = О, (52) т. е. поверхностный поток массы рп лз остается непрерывным при переходе через поверхность разрыва Е. Здесь следует различать два случая. а) Контактная поверхность.
Если на поверхности Е пт = О, то отсюда следует, что Следовательно, нз того, что уравненяе /(х, 0= = О является уравнением поверхности контакта х, чь вытекает, что обе субстанциональные производные от / равны нулю на обеях сторонах поверхности В. Таковы, например, поверхности, разделяющие дне не смешивающиеся между собой жидкости, текущие относительно друг друга, или свободная поверхность воды, находящаяся в контакте с атмосферой. Все они Рис. (о. Ударная вол- представляютсобой контактные поверхности.
б) Ударные волны. Если т не равно ну- лю, то, выбрав соответствующим образом направление /ч/, можно предположить, что и+ и и положительны. Среда, таким образом, проникает через поверхность разрыва Х, и в этом случае'говорят, что Х является ударной волной (рис. 10). В качестве примера рассмотрим газ, иахспшцийся а трубе в состоянии покоя. Один конец трубы закрыт поршнем. Есин в некоторый момент начать двигать поршень внутрь трубы, то в последукицие моменты в трубе все еще будут находнться области, где гзз не пришел в движение. Такая область отделена от движущегося газа ударной волной.
Любой взрыв в общем случае порождает в среде ударную волну. Полет сверхзвукового реактивного самолета также создает в онружающей атмосфере ударную волну. П.4.3. Граничные условия. Предположим для определенности, что система 5 находится в контакте со стенками сосуда бь. Физические соображения согласуются с основным выводом П.3.6: поток массы через поверхность в любой точке з.
должен быть равен нулю или, иначе, нормальная составляющая скорости среды относительно стенок сосуда должна быть равна нулю. Пусть, например, /(х, () Π— уравнение стенки сосуда для любого момента времени (, тогда для,9 мй должны написать (согласно (бч)1 — =О. в/ бг (65) ПА.4. Несжимаемые среды. Определение. Среда называется несжимаемой в том случае, если в любой точке и в любой момент времени скорость объемноео расширения равна нулю, каковы бы ни были условия и каковы бы ни были силы, приложенные к среде.
Иначе говоря, в соответствии с уравнением (10) объем любой части среды, рассматриваемой в своем движении, остается постоянным, так как 'й(т и=о. (56) Согласно (51) полная производная от р равна нулю и, следова- тельно, объемная плотность в любой материальной точке остается постоянной. Может случиться, что р не будет постоянно во всей среде', ' Любую жидкость можно рассматривать иак несжимаемую; среду, состоящую из двух песмешявающихся жидкостей, будем, таким образом, считать несжимаемой. Но в некоторый фиксироианный момент значение объемной плотности будет меняться'в зависимости от того, принадлежит давиая точка той или иной жидкости. но если в некоторый данный момент р- имеет одно и то же значение р, во всей среде, тогда р=р, в любой точке и в любой момент времейи.
При этом все время предполагается (если не оговорено противное), что все сказанное выше. верно только для несжимаемых сред. Тогда уравнения р(х„х„х„() =р„б)ч 0=0 удовлетворяют одновременно определению несжимаемости и уравнению непрерывности для данной среды. Замечание. Если среда не являетоя несжимаемой, то ее естественно назвать сжимаемой. Может оказаться, что в некоторых особых случаях при специальных условиях сжимаемая среда будет участвовать в движении, для которого условие (56) выполняется в любой точке и в любой момент времени. Такое движение называют иногда изохорическим. 1!.4.6. Функции тока для плоскопараллельных и осесимметрнчиых стационарных движений. Определение, данное в п.
1.1.2, распространяется и на динамику: движение является стационарным (установившимся), если все величины (кинематическне, кинетические и динамические), характеризующие состояние среды в переменных Эйлера хо х„х„(, не зависят от времени. Тогда все частные производные этйх величин по времени (если в качестве независимых величин выбрать эйлеровы переменные) будут тождественно равны нулю. В частности, уравнение неразрывности для стационарного движения запишется в виде б)ч (ри) =(). (67) Иначе говоря, векторное поле рб консервативно. В этом случае уравнение (57) дает возможность уменьшить число определяемых функций.
Покажем это з важном частном случае' плоскопараллельных и осесимметричных движений. Движение называют плоским н параллельным некоторой плоскости Р, если в любой момент времени все векторы скорости параллельны данной неподвижной плоскости Р, а зсе механические характеристики остаются инвариантными относительно переносов, нормальных плоскости Р. Обозначим через х и у декартовы координаты на плоскости Р, положим х,=х, х;=у (переменная х, не играет никакой роли). Точно так же положим 0;=и, У,=и, (У,=О) и обозначим через й единичный вектор нормали к Р, направленный по оси х ° Движение называется осесимметричным относительно фиксированной оси Ох, если все векторы скорости лежат в плоскостях, проходящих через зту ось, и все механические величины остаются инвариантными при вращении вокруг оси Ох.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
