Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 8
Текст из файла (страница 8)
(59) Заключение. Для движений, оставляющих систему жесткой, силы, действующие на 3 со стороны Х, полностью определяются торсором [4Г1 или, иными словами, главным вектором Т и полем моментов язо, удовлетворяющих тождеству (58). Торсор [аГ1 является функ- цией только шести скалярных аргументов. Если, например, внешние воздействия определяются полем объ- емных сил Т" (М), то для возможных скоростей, оставляющих систему жесткой, можно записать (50) в виде 3 -),,Т(М) (йл+вЛАМ) бпПл ~ У(М) сЬ+в ~ АМ ЛУ(М) йп Элементы приведения торсора [к] в точке А, определяемого объ- емными силами уг(М), действующими на 3, равны 4Р $ ~(М) гЬ, тл[У'Д= $ АМЛ[(М) бо. (60) Введем обозначение Щз, связанное с торсором [аг1, смысл ко- торого очевиден.
д) Общий случай. Если в случае движений, оставляющих систему жесткой, внешние силы хорошо учитываются приведенным выше определением, то описание их действия, даваемое торсором, оче- видно недостаточно для их характеристики в общем случае сплошной среды. Необходимо, таким образом, рассмотреть более широкое пространство виртуальных движений, как, например, 3! рассмотренное в и. а). В и.
в) было показано, что схематнзацня с помощью плотности снл относительно меры, определяющей функ- цнюФ У, вполне соответствовала определению, приведенному в п.б). Резонно будет поставить обратный вопрос: можно лн представить таким же образом, т. е. только через плотность, любую линейную непрерывную функцию гаа»- 3»? Прежде всего заметим, что важно уючнять, какому пространству фв принадлежат элементы б» (поля возможных скоростей). Не рассматривая здесь самого общего случая, можно ограничиться предположением, что У является пространством непрерывных полей с равномерной сходнмостью, как укааано в п.
а). Ответ будет отрицательным, если придерживаться ограниченного определения, данного в 1.3.1, когда в рассмотрение вводятся только силовые поля, соответствующие гравятационным, объемным, поверхностным и лннейнмм яди конечным локализованным силам (или суперпозиции всех »тих полей). Ответ будет, напротив, положительным, если взяти за основу общее опреде. ление, приводимое в 1.ЗЛ. В самом деле, можно показать, что существует положительная мера ы н векторное поле г", для которых отображение Ф -' Я» может быть записано в форме У-$ у(м) гг(й4)б, которая совпадает с формой, приводимой в п.
в). Поле у является плотностью сил, соответствующей положительной мере в. Ниже, ндя по пугн упрощения, введенного прн определении массы части (й) системы 3, будем придерживаться ограниченного определения, сформулированного в 1.3.1. В общем случае такое предположение достаточно для довольно подробного описания физических явлений. Отброшенные прн атом случаи могут рассматри-' ваться как аномальные. Однако с математической точки зрения было бы интересным включить этн случаи в общую теорию, которая имела бы задачей систематизировать последствия введения уси-'. лий через развиваемую нмн возможную мощность.
!.4. ОСНОВНЫЕ ПРИНПИНЫ ДИНАМИКИ Двум основным принципам динамики соответствуют традиционно два различных описания снл. Первый, называемый фундаментальным законом динамики, концентрирует в себе трн закона Ньютона; второй — принцип возможных мощностей — систематизирует н развивает, идеи, высказанные Даламбером. 1.4.1.
Основной закон динамики. а) Кинетический июрсор. Динамический торсор. Представляется полезным напомнить дополнительно„~ некоторые кинетические понятия. Кннетнческнй торсор, нлн торсор количества движения области Ю, ' представляющий собой часть системы 5, определяется в репере А, . в котором изучается движение системы, через свою массовую плотность 0(М).. (0(М) — скорость точки М в фнкснрованный момент времени 1).
Динамический торсор (нлн торсор количества ускорения) [.е] определяется своей массовой плотностью у(М). По определению, злементы приведения в некоторой точке А задаются сяедуанцими уравнениями А= $ у(М)бм; [А] игл [ 4] * ~„АМ Л у (М) др. Известно, что если б обозначает в момент г' центр масс области Ю, то [применяя (47)] 3Р аФ (Ю) 0(б), 4 = вй (Ю) у (6), (62) и если А — некоторая точка, связанная с системой координат, то лвл [ 4] = 37 ивл [зс]. (63) Если производную торсора по времени определить как торсор, у которого элементы приведения к точке, связанной с системой отсчета, являются производными по времени от элементов приведения данного торсора, то результаты (62) и (63) приводят к формуле 3) М=[ 4].
(64) б) Формулировка основного жигона. Напомним классическое определение, Существуют по меньшей мере одна система координат, назымемая галилеевой нли абсолютной, и система отсчета времени (хронология), называемая абсолютной, такие, что в любой момент и для любой области Ю системы 5 динамический торсор области равен торсору внешних снл, действующих на Ю: [ 4] - вг М = [1У']. в) Выводы.
Напомним выводы, вытекающие из этого закона. Теорема 1. (Основной закон статики,) Если система 5 находится в равновесии относительно галилеевой системы отсчета, то торсор внешних сил, действующих на 5, равен нулю. Теорема 2. (Теорема взаимного действия нли действия и противодействия.) Если 5, и 5 — дзе различные части системы 5, то в любой момент времени торсор снл вааимодействия этих частей равен нулю. Другими словами, если [К, ] — торсор сил, с которыми элементы части 5, воздействуют на 5ю а [Уд] — торсор сил воздействия элементов части 5 на 5„то [Кы]+ [р л] = о.
(66) Таким образом, если 5„5м 5„..., 5„— разбиение системы 5 нли, иначе, если 5 — обьединение и этих подмножеств, то можно 2 мыгз записать (67) 4 = ~ 7(М)-й(М) бр. (68) Данная теорема является следствием уравнений (69) и (66). Известно, наконец, что основной закон можно записать в любой произвольной системе отсчета Я при условии, что движение этой системы относительно некоторой галилеевой системы Я, известно. Такая запись возможна, если ввести фиктивные внешние силы (называемые инерционными) при переносном движении и силы Кориолиса, определяемые соответственно массовыми плотностями — у,(М) и -2а, д 0(М). (Здесь: у,— ускорение переносного движения, в,— угловая скорость вращения системы Я относительно Я,). Приведенный результат является одним из следствий из формулы (45). Замечание.
Из полученного результата следует, что применяя основное уравнение в различных системах отсчета к двум непересекающимся частям 5, и 5, системы 5(5=5,+5,) [см. ниже уравнения (70)1, видим, что торсоры взаимодействий между 5, и 5„ т. е. [э=1,1 — [Е;Д, — не претерпевают нииаких изменений. Но именно эти торсоры определяют внутренние силы системы 5. Здесь впервые встречаются следующее важное свойство (ниже возвратимся к нему вновь): определение внутренних сил не зависит от того, в какой системе отсчета наблюдается движение. С внешними силами дело обстоит не так.
Если система отсчета не является галилеевой, то приходится учитывать инерциальные силы относительного движения и силы Кориолиса. !.4.2. Принцип возможных мощностей. Элементарный пример упругой нити, на, которую действуют две внешние силы, равные по модулю, но противоположные по направлению, стремящиеся растянуть нить, достаточно ясно показывает, что основанная на возможных мощностях формулировка не может ограничиться рассмотрением лишь внешних сил. Напомним с этой целью классическое утверждение.
При абсолютном отсчете времени в галилеевой системе координат возможная мощность количества ускорения системы 5 равна мощности всех сил, приложенных к системе, как внутренних так и 34 условившись, что [У;Я=О, если ! ) [что, впрочем, совместимо с (66)1. Итак, каково бы ни было разбиение системы 5, торсор сил (внутренних по отношению к системе) взаимодействия элементов системы друг на друга равен нулю. Теорема 3.
Возможная мощность внешних воздействий при движении, оставляющем систему жесткой, равна возможной мощности количества ускорения. Возможная мощность количества ускорения в общем случае дается формулой внешних, и для любых возможных движений рассматриваемой системы. Такое определение страдает некоторым недостатком. До сих пор 'не дана общая характеристика внутренних сил системы и тем более общее определение возможной мощности этих сил.
Здесь, однако, видно, что в силу теоремы 3 определение возможной мощности должно (для того чтобы искомая формулировка приводила в конечном счете к тому же результату, что и основной закон) подчиняться следующей аксиоме. Аксиома возможных мощностей. Во всяком движении, оставляющем систему жесткой, возможная мощность внутренних сил равна нулю. Из этой аксиомы сразу следует теорема. Теорема 4. Из принципа возможных мощностей следует основной закон динамики. Для доказательства достаточно применить принцип возможных мощностей к движению системы 3, при котором она остается жесткой, учитывая при этом: а) аксиому; б) соотношение (59); в) утверждение о том, что если (Ь).(Х)=0 при любом (Ь», то [Х) О.
Для того чтобы между двумя основными законами динамики было соответствие, необходимо установить справедливость обратного утверждения. Но отсутствие определения внутренних воздействий позволяет это сделать только в рамках динамики твердых тел'. Следующая лемма служит основой такого определения. Лемма. Сохраняя обозначения теоремы 2, можно утверждать, что возможная мощность внутренних усилий системы Я при движениях, оставляющих систему 5, расчлененную на части 8„3„..., 3„ жесткой, дается равенством л л у'-Д,Х ® т~л. (69) где ® — торсор возможных скоростей на 3 . В самом деле, возможная мощность внутренних сил в каждой части 3 согласно аксиоме равна нулю и, следовательно, представЛяет собой возможную мощность сил взаимодействия между различными частями 5~ в системе 3. Заметим, что в силу условия (67), возможная мощность У не зависит от системы, в которой наблюдается движение, так как пеРеход от одной системы к другой состоит в том, что к каждому торсору Д) следует прибавить один и тот же торсор (Ь,) скоростей относительного движения.
Вообще говоря, мощность любой системы сил, торсор которых равен нулю, не зависит от системы наблюдателя. Из этого следует, что физическая природа мощности внутренних сил имеет особый инвариантный по отношению к выбору системы координат смысл. Теорема б. В рамках механики твердых тел можно утверждать, Р 6 ь ~фу ру ъ 2~ % что из основного закона динамики следует справедливость принципа возможных мощностей при любом возможном движении, оставляющем тела недеформируемыми. Приведем доказательство для случая системы из двух твердых тел 5, и Яе. Если [У'х] и [ег я] — торсоры сил, внешних по отношению к системе 5=3,+о„приложенных соответственно к Я„и Я„ то гипотеза может быть записана (в очевидных обозначениях) в виде [~,] =~~+~~„-].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
