Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 10
Текст из файла (страница 10)
(7) Ограничимся доказательством, основанным на некоторых качест- венных соображениях. Строгое доказательство будет дано в допол- нении к данной главе (П.5.2). Как видно, приращение функции К вызвано, с одной стороны, изменением подынтегрального выраже- ния, а с другой †изменени объема, по которому происходит ин- тегрирование. По определению (рис. 2), —,= 1пп —,Д С(х, Р)до — ') С(х, 1)до). (8) Член справа, который относится к части 1 (рис. 2), общей для об- ластей йр и йр', равен рестности точни Р~. Точно так же элементарный объем Ш— часть области Ю, внешняя относительно Ю', равен — и Одо(1' — 1). Окончательно получаем ад г сс — — бо+ ( Си СсЬ. ш ,)в д1 ,)дв Мы пришли и последнему нз выражений (7), которое включает член, вызванный изменением С, н член, вызванный изменением Ю. Первый интеграл из (7) может быть получен применением теоремы.
Гаусса — Остроградского. Это же выражение выводится через пол- ную (субстанциональную) производную от С: 3Г~ Сдо ~ ( — +Сйчб)до. (9) Используем полученный результат для вычисления скорости и объ- емного расширения. При С 1 К равно обьему Фч(Ю) области Ю, и вэтом частном случае имеем — % (Ю) ) б(чиб . (10) Таким образом, йч В есть скорость объемного расширения дви- жущейся среды в точке х в момент Г, так как интеграл от йч К взятый по движущейся области Ю в момент времени 1, равен про. изводной от объема области. Случай агкторно-злачных интегралов.
Нетрудно найти выражение полной производной интеграла по объему от вектор-функции, исполь- зуя для этой цели проекции на координатные оси. В частности, Я,сб -~Д о+~„с(и )б . (11) П.1.3. Поток вектора через поверхность Теорема 2. Пусть Ф (1) — некотор~й поток, задаваемый функцией Ф 1 Вибо, (12) где В(х, 1) — векторное консервативное (соленондальное) поле (т. е. 41ч В=О); Š†час связной поверхности, изучаемой в движении. Полная производная потока дается выражением ' — — ) —,+ гот (Васу)) ° п 6о. (13) Замечание. Если С вЂ” замкнутый контур, стягивающий поверх- ность Е, а тбп — элементарная дуга этого контура, направление которой ориентировано положительно относительно нормали и, то, применяя теорему Стокса, можем записать выражение (13) в виде — — д~+) (В,П, )й, дФ г дВ ч(в.и,) — ~ р д р р.з~ 'СЮ~ ~ В р " 1 Р~ .
Р" Х ограничимся лишь очевидными соображей пнями; строгое доказательство дано в прин ложен иях. Для вывода формулы рассмотрим по'и' верхность Е', совпадающую с Е в момент 1', н найдем разность и' хь Ф' — Ф = 1, В (х, 1') п' й '— ь х ° — ) з В (х, с) п йг. Отрезки траекторий, по которым двнРнс. 3 гались с момента 1 по момент 1' точки контура С, стягивающего поверхность Х, образуют поверхность Х .
Три поверхности Е, Г и Ез ограничивают замкнутую область жв (рис. Э). Так как поле В консервативное (соленоидальное), то, применяя теорему Гаусса — Остроградского, можно написать тождество для момента 1' )з,В(х, с').п'до' — )зВ(х,1') пдо — ) В(х,1') Мдо=О, где М вЂ” единичный вектор, нормальный к Хь и ориентированный относительно Ж> таким же, как н п. Тогда Ф' — Ф= ~ (В(х, с') — В(х, 1)) пда — ~ В(х,1').Мйь хь Поделим равенство на (1' — 1) н перейдем к пределу при 1'— Г дВ Первый интеграл — ~ —, ° пдо, во втором интеграле элемент Мдо поверхности Хь при г', близком к 1, равен(ВЛт) дз((' — 1), так как триэдр направлений О, г, М вЂ” правый '.
Можно, таким образом, написать вклад от второго интеграла: В (ВЛт)да = ) (ВЛО) тдо=г~.го((ВЛВ) пдо, тем самым формула (13) доказана. Квнсврвативлзм ловя, вморожслнав в двнаеуягуюаа среду. Првнято гоаорнть, что поле вморожено в авнжущуюся среду, еслн влюбойточкедля кангаого момента времени — +го1 (Вд0) О, дВ д1 (И) где 0(к, 1)-поле скоростей данной среды. Согласно (13) поток вектора В через произвольно выбранную поверхность, прослежнваемую в двнженнн, остается постоянным во времена.
В частносгн, есле в некоторый ланнмй момент гв поверхность 2 представляет собой поверхность поля, т. е. поверхность, для которой в каждой ее точке вектор В(х, 1е) служат касательной, то можно утверждать, что Е будет оставаться поверхностью поля В (х, 1), Точно так же, если й прелставляег собой векторную лнняю поля В в момент 1в, то она останется таковой, если научать ее а авнженан аля жобого момента Знак смешанного пронзвеленяя О, т, У не меняетса прв язмененнв напрев. ленка вектора 0 огносвтельно Х. Еслн в некоторой точке контура С прннять 0 параллельным и; то можно убелнться, что имеет место знак плюс.
(16) времени Д Таким образом, можно сказать, я зто объясняет употребляемую термнзплогню, что линии поля Востаются вмороженными вдвнжущуюся среду. Обратно, еедн поток еоленондального (консерватнвного) поля В через пронзводьно выбранную поверхность остается постоянным прн движении втой поверхноетн вместе е полем, то прнмененяе фундаментальной леммы ' дает немедленно уравнение (14). Однако фнксапня лянка поля в среде еще не подтверждает равенства (14).
П.1.4. Обобщения. Дифференцирование по произвольному полю скоростей. Полная (субстанциональная) производная позволяет изучать (и в этом ее значение) изменение величин, характеризующих определенную частицу движущейся среды. Могут, однако, представиться случаи, когда необходимо проследить эволюцию тех же величин в точках или частицах, имеющих собственное поле скоростей )У(х, 1), отличающееся от поля скоростей 0(х, 1) частиц среды. Так обстоит дело, например, когда исследуется распространение волн в непрерывной среде ". Через -о. будем обозначать дифференцирование повремени, когда б наблюдатель движется вместе с точкой илн системой согласно полю скоростей (У. Очевидно, что с математической точки зрения нахождение этой производной сводится к нахождению полной производб б иой, т.
е. мы можем заменить операцию -оз и поле П на -оу и (У. Можно, например, написать для функции ф=ф+)У й Ц( (16) и для интеграла по объему -~-~ Сбп= ') —,дп+~, С(У табо. Необходимо иметь в виду, что в уравнении (16) участвует лишь ,одна нормальная составляющая ю поля (У на границе.
Представляет интерес рассмотрение скорости У среды относительно собственного движения, задаваемого полем )У, полагая аУ= У+ (У. (17) б б Это позволяет найти связь между операциями —, и —,. Например, б(=+б(+У.й бу, (18) — С бо = — ~л Сдо+ ~ я С У. тз до. (19) б Очевидно, что если )У=0, то операция — будетпросточастиым д дифференцированием —,, что соответствует случаю, когда точка или объем покоятся в системе отсчета, относительно которой описывается движение. Тогда У=К и уравнение (19) сводится к формуле (7).
' О фундаментальной лемме смотрн ниже (П.2). *' Первый пример распространения волн дается в 1.1.3. Замечание относительно области применения. Полученныерезультаты и доказательство, даваемое в приложении, позволяют определить достаточные условия лз , применимости найденных формул. Первое равенство из (7) имеет место в Р том случае, когда функция С и поле 0 не- прерывны и ограничены в Ю, вместе со г~~в~п своимн первыми производными. для по- лучения уравнения (16), представляющего и собой общий случай второго уравнения (7), необходимо применить теорему Гаусса — Остроградского. Будем считать, наф=з+з ° а„пример, что граница дЮ области Ю пред- ставляет собой кусочно-гладкую поверхность и что С непрерывна вместе со своими частными производными ' в замкнутой области Ю+ дЮ; к тому же нормальная ооставлякицая гв на дЮ (определяющая при вычислении — собственное движение д бг области Ю) также кусочно-непрерывна на дЮ ".
1!.1.6. Случай, когда функции кусочно-непрерывно дифференцнруемы. Рассмотрим для конкретности интеграл по объему. Формула (7) была выведена в предположении, что С(х, 1) и 0(х, 1)— непрерывно дифференцируемы в замыкании '** области Ю. Предположим теперь, что область Ю разделена поверхностью Х на части Ю, и Ю, и что С и 0 и их производные (непрерывные и непрерывно дифференцируемые в Ю, и Ю,) терпят разрыв непрерывности при пересечении поверхности Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
