Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Обозначим через Ох и Оу (у) О) две взаимно перпендикулярные оси на меридиональной полуплоскости, через й — единичный вектор ' С~в ~В р, П.и.а. 67 у +~ нормали к Ох и Оу, через и и у о — проекции векторов К лежащих + п в меридиоиальиой полуплоскости, 2 на оси Ох и Оу. Рассмотрим в некоторый фикб сированный момент 1 контур С, лежащий в плоскости Оху (рис. С 11), и пусть Х вЂ” поверхность, образованная: д а) поступательным движением контура С параллельно вектору й Рис. ! ! на расстояние, равное 1 (плоско- параллельное движение); б) поворотом вокруг оси Ох на угол 2п (осесимметрнчное дви- жение). Пусть т — число, равное нулю в случае плоскопараллельного движения и единице в случае осесимметричного движения.
Тогда ~,ри и о=()с(2пу) ри пбз=г),(2пу) р(ибу — бх), (56) причем положительное направление обхода контура С получается поворотом вектора п на угол + и/2, ба †час дуги С. Если движение стационарно, а контур С замкнут и вырезает площадку о на плоскости Оху, тогда все приведенные выше выра- жения тождественно равны нулю, что следует также из теоремы Гаусса — Остроградского, в соответствии с которой ~ ф(ру )+ —,'(ру ))а Ь=~, какова бы ни была поверхность о на плоскости Оху. Согласно основ- ной лемме у„.
(Ру и) + а (ру" о) = О. д а (59) Это уравнение эквивалентно уравнению (57) для случая плоско- параллельных или осесимметричных дви)некий. Из этого уравнения следует также тот факт, что выражение ру" (и бу-ибх) является полным дифференциалом, и, следовательно; должна существовать некоторая функция, которую мы обозначим через Р,Ча(х, у) (р, положительная постоянная, размерность которой совпадает с размерностью объемной массы), определяемая с точностью до аддитивной постоянной, для которой ру" (и бу — о бх) = р, ЙЧ'. Итак, можно написать и — —, о — — —, П- — — Л йгао( Ч'.
(61) Ро дЧ' Ро а" «Ра руа ау ру"' дх ' РУ'о Функция Ч'(х, у) является, по определению, функцией тока стационарного движения (плоскопараллельного или осесимметричного). (60) Уравнения (61) показывают, что обе неизвестные функции и и о могут быть заменены одной функцией Ч'. Линии Ч'=сопз1 являются линиями тока на плоскости Охр. В более общем случае, когда С вЂ” некоторая дуга на этой плоскости, соединяющая две данные точки А и В, величина (2п)" р, (Ч' (В) — Ч'.(А) ) равна потоку массы через поверхность Х (направлеиие и на кривой С получается при вращении касательной, направленной от А к В на угол — и/2 (рис. 11). Данный результат является прямым следствием уравнений (58) и (60).
Эти выводы распространяются на случай движения несжимаемой среды независимо от того, является движение стационарным илн нет, так как уравнение (56) является частным случаем уравнения (57). Для доказательства нужно в предыдущих уравнениях приравнять р=р, и, в частности, опустить коэффициент ре/р в правых частях уравнений (61). ДОПОЛНЕНИЕ п.з. вывод Формул для сувстднцнондльных (полных) производны х п.бгь общий метод. Формулы (7) в (19) субстанциональных производных интеграла по объему н потока вектора через повархность были выведены на основе физических соображений, которые не имели, естественно, строгого характера. Ниже попытаемся дать более точный вывод. Так как субстенциональная производная получается в результате дифферен- цирования по времени некоторой характеристики подвижной частицы, то прн использовании лагранжевых переменных субстанциональная производная совпа- дает с частной производной по времени.
Именно так была получена формула (9), дающая выражение субстанциональной производной функции точки. Теперь пред- стоит рассмотреть более общий случай интеграла, имеющего вид )„в, где т' — связное р-мерное многообразие (обьем, поверхност, дуга кривой), а в— дифференциальная форма порядка р эйлеровых переменных. Искомая субстан- цнональная провзводная является фактически производной от скалярной функ- цив аргумента б когда многообразие и рассматривается в движении. Пусть в †фор в в переменных Лагранжа, з (г †обр многообразия г' в состоянии отсчета; тогда, по определению, имеем равенство )рв, которое позволяет сформулировать следующую лемму. Лемма.
В принятых обозначениях ямеет место равенство для доказательства леммы достаточно рассмотреть одночленвую форму (при- нимая во внимание линейность дифференциальныз форм н операций интегриро-. вания и дифференцирования) в=ф(а, Г) бах Л... Л дар. При изменении Г многообразие г' остается фиксированным. Производная от 59 интеграла может быть найдена дифференцированием под знаком интеграла, в получается нужный результат, если положить де дф — (а, г)ба, л...лба .
д( а! Однако в общем случае желательно иметь формулу в переменных Эйлера. Это становится возможным прн использовании следующей теоремы. Теорема. Имеет место формула (б2) де где — — дифференциальная форма порядка р, которая получена применением 6( операции полного дифференцировання к каждому члену формы е, причем полная производная от 6х) по определению равна 60) (Оу †составляющ вектора скорости). Эдесь также достаточно рассмотреть одночленную форму е: е ф (х, г) 6хт л 6ха л ° ° .
л г)хр, тогда из формулировки теоремы следует, что —,- —,6 Г Л...Л 6~,+<рби, Л...Л 6х,+...+~рбхт Л...Л 60,. 6е 6е Теперь становится очевидным метод доказательства теоремы. Для этого следует: а) выразить е в лагранжевых переменных, т. е. найти нй де б) найти (согласно лемме) частную производную — ! д) С' Р в выраавть результат в переменных Эйлера. этой целью выпишем функции хг (аа' ))' аа (хо ))' позволяющие перейтн от эйлеровых переменных к переменным Лагранжа и обратно. Бсзи положить ф(а, г) ф(», 1), то можем написать е ~<р (а, Ф) (хг, а баа) Л (хз, р бар ) Л ° ° ° Л (хж ь дал) Пусть 0„— компонент вектора скорости по оси л„зависящий от переменных Лагранжа, тогда имеет место равенство дх„ ()'("* 0 ('(" 0 д ' вэ которого сразу следует, что д ~ д( (хг а да) Л...
Л (хг ь 6а,)+ +т((7, „даа) л...л (т ьбаь)+...+7Р(лг „6а ) л.. ° л((7р ьба,). Теперь остается выразить рассматриваемую дифференциальную форму в эйлеровыи переменных, заменяя, в частности', 6а через а„,бхо Согласно правилу дяфференцнрования сложных функцвй лг,ааа, г дгп (~г,ааа, г (~г,г. Кроме того, у(х, г) — (а, Г). 6е др Таням образом, получаем правую часть уравневвя (б2); тем самым теорема до- казана. П.б.й. Приложения. а) Илвмерал ло обззлр. Пусть С(х, 1) некоторая ока- ~яркая функцня, Ю вЂ” трехмернав область. Тогда, поломке ! ы С(х, 1) йхг л йхз л йх, — вцаС(х, 1) йх1 л йхг л йха 6 ;индексы С ) я а могут принимать значення 1, 2 и 3), можем напнсать $ С(х, 1)6 =~ ы.
Заметим, что 6У, Л йх, Л йх, УК у йху Л йх, Л йх,= Ук,йх~ Л йх, Л йхз. Ь(ожно напнсать йы ЧС ~ — +СУа, «) йхг л йхз л йхз. пг ~61 Применение доказанной вьппе теоремы вновь првводнт к результату, получен. ному в И.1.2. б) Поток через поверхность. Поток некоторого вектора В(х, 1) через поверхность Х может быть вмражен по формуле д дх В и йо= 1 Ва йхзйхз+Взйхзйхг+Вз йха йхз ~~ ы, Э в которой 1 ы — вцаВг йху л йха. 2 (63) ~+Уй(т В+го( (В Л и), дВ следовательно, утвержденне, содержащееся в формуле (12) (пря 61т В=О), уста- новлено.
результат легко проверять, если заметать, что первое слагаемое в выраженни вз правой частя уравнения (64) ецав реве! (У Вг р+ В!У ) может быть записано в форме зца (быбрв — бьвбгр) У В р=згуа (УрВг р — УгВр р), второе слагаемое в форме в, г~ (бу,баз — б)ебар) ВгУ, р ваг Вгц, у — вввВгУ = п,вгц,,+в,„В,У,, Следовательно, правая часть уравнения (64) после подстановки в него зна- чения 6ВУ61 совпадает с последним выражением в равенстве (63). Таким образом, 61 (65) йы Вычяслим пронзводную —: 61' йм 1 (6Вг — = — вца 4 — йху л йха+Вг йцу л два+В, йху л 6Уа1 = 61 2 (61 1 ~Ив, = — вца( — йху л йха+Вгцл 1 йхг л йх +В!Уз, йх) л йх ) — ~(аца '+вгыВгцг, у+вц,В!У, а~ йху л йха. Здесь последняя строка получена перенумерацней немых индексов. Покинем, что атот результат может быть запасая в следующей форме: йм 1 (дВг — вца ~(у + УгВр, р+ вгревзье (У~В~)р1 бхай л йха.
(64) В самом деле, велнчина в фвгурных скобках является компонентом по осн хг вектора найденная формула записывается в следующем виде: — В л бо ~ — + и б(ч В+ го( (В д У) ~ л до. д~ ~'~дв б( дх ' дх (д( (66) Замечание. Выражение (65) при более общей постановке вопроса может быть ааписано так: ец,(ьль „— ь,„ь,)(и„в,, +в,и„, )= - ц, (ирвгр — игвгвр, р+ в,и — в',и,,).
Получаем, таким образом, равенство ды 1 Явг — — зцэ(,— +В,ир и — В,ид р) бх, л дхз, б( 2 ~бт ФР из которого следует, что — Влдп ) ~~-+Вб(чи — В Чи).лбп, д(дх,)х~ пг (67) и это есть новая, весьма полезная форма субстанциональной производной от потока вектора В. Заметим, что попутно доказана классическая формула векторного анализа го( (А л В) В ЧА — А.чВ+А б(ч  — Вб(ч А, (68) которая дается также в П(.5.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
