Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 15
Текст из файла (страница 15)
П.ь. ФУНКЦИИ ТОКА ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО ТРЕХМЕРНОГО ДВИЖЕНИЯ Уравнение неразрывности для стационарных плоскопараллельного или осе- симметричного движения позволяет выразить неизвестные составляющие скорости (их всего две) только через одну функцию — функцию тока. Полученные выра- жения автоматически удовлстворяни уравнению нерэзрывностя.
Покажем, что подобное упрощение возможно также и в случае трехмерного движения. Пусть п(х„х„хз) сова( и с(хм хэ, хз) *сопл( — два семейства по- верхностей тока (по определению, поверхностью тока называегся поверхность, в каждой точке которой скорость лежит в касательной плоскости). Во всех обла- стях нлн во всех точках Ы, где поверхности а и с не касаются друг друга, вектор скорости и коллинеарен вектору атаби А йгабс и можно написать равен- ство риг азиза,тс а, (69) где ь — некоторая функция аргументов х„хэ, хз. Но в соответствии с уравне- нием неразрывности имеет место равенство (риг)д О.
Тогда в силу антисиммет- рнчностн символов зиа имеет место равенство зггэддацса О, из которого вытекает формула дь = р да+ ч дс, связывающая дифференциалы функций Х, а, с. Таким образом, ь является функцией двух переменных а и с, которую можно записать в виде ь(а, с). За- дадим теперь новую функцию Ь(а, с), такую, что дЬ ь~'ч о( тогда дЬ Ь,з = — а,а+Хе,а. дп Выражение (69), таким образом, может быть записано в более простой форме Риг = вца ад Ь а. Само собой разумеется, что поверхности Ь(хы хз, хз) сопз( являются по. верхностями тока. В ааключеиие отметим, что всегда можно отыскать две поверкности тока а и Ь, для которых ри-абаЛа бЬ, (го) и уравнение нераарывностн будет автоматвческв выполняться.
Предоставляем янтателю воаможность убедиться самому, что уравнения (6)) являются всего лишь частным случаем равенства (70), если принять а Ч' н Ь реха в случае плоскопараллельного дввження а Ь рев в случае осесимметричного движения (»,=., х,=рсоа 6, х.-раю 6). ГЛАВА ГП СОХРАНЕНИЕ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ. ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ В данной главе речь будет идти в основном о применимости к механике сплошных сред основного закона классической механики. Классическая механика выявляет существование особых систем отсчета (галилеевых систем), в которых описание явлений представляется исключительно простым. Всюду в этой книге (если только не будет оговорено обратное) будем считать, что система отсчета А, в которой наблюдается движение, является галилеевой системой отсчета. Будем обозначать через х, координаты точки М в ортонормироаанной системе, относящейся к используемой системе отсчета, и через г' — время.
Заметим, однако, что основной закон легко применим и к негалилеевой системе отсчета (1.4.1); для этого достаточно к внешним силам, действующим на систему, добавить переносную н кориолисову силы инерции. Для того чтобы применить основной закон к любой части Ю изучаемой системы 5, достаточно знать внешние силы, приложенные к йй. Природа этих сил может быть двоякой: с одной стороны, зто силы, действующие на ак) со стороны внешних по отношению к 5 систем, и с другой — это силы, действующие на й() со стороны тех частей 5, которые дополняют й() до 5. Согласно принятой в настоящее время терминологии, последние называются внутренними силами в системе 5, тогда как первые — внешние силы, действующие на систему 5. Для конкретизации формулировок основных закономерностей необходимы некоторые гипотезы.
Прежде всего будем считать, что как 5, так и тк) являются материальными трехмерными областями, в которых распределение масс в любой момент времени г дается объемной плотностью р(х, (). Допустим далее, что внешние силы, действующие на Ю со стороны внешних относительно 5 систем, можно представить в любой момент времени ( некоторым объемным распределением сил Г"(х, ().
И наконец, примем фундаментальную гипотезу (на которой основаны все последующие выводы) относительно внутренних сил. 63 1. Внутренние силы являются лот(мп) Тцб кальными силами контактного взаимо- и действия. 2 Более точно: внутренние силы в каждой точке М на дЖ> представлены в каждый момент г поверхностной плотностью, которую обозначим через Т. 3'.
Вектор Т в момент времени г зависит только от точки М и от вектора единичной нормали к дЮ в точке нектар нзпРЯже"нй М вЂ” вектора и, который, если только Т(М, н) и злементарное усине будет оговорено противное, будем считать направленным вне области Ю. Будем использовать также обозначение Т(х, г, и) или Т(М, г', и). Иначе говоря, если Ю' является подобластью системы 5, отличной от Ю, но имеющей с ней общую точку М, и если Ю и Ю' имеют в данной точке общую касательную плоскость, то один и тот же вектор Т будет характеризовать как внешние силы, действующие на Ю со стороны областей, дополняющих Ю до системы Я, так и внешние относительно Ю' силы, действующие на Ю' со стороны частей, дополняющих Ю' до системы 5.
Таким образом, Т зависит только от локальной формы граничной поверхности дЮ области Ю в точке М и притом только в первом приближении (т. е. от ориентации касательной плоскости). С другой стороны, нельзя утверждать заранее, что вектор Т не зависит от локальной формы поверхности во втором приближении, например от радиуса кривизны поверхности дЮ в точке М, однако будем прндержннаться более простой гипотезы (3').
Вектор' Т(М, а) называется векто. ром напряжений в точке М для направления и; Т(М, л) представляет собой некоторую поверхностную плотность сил, действующих на элемент поверхности, нормальный к единичному вектору а. Это утверждение, вообще говоря, равносильно следующему. Иа каждую элементарную площадку до вокруг М с нормалью а действует элементарная сила Тба (рис. 1) со стороны элементов 5, лежащих в области, в сторону которой направлен вектор л.
С позиций физики введенные уоялия обУсловлены молекулярными взаимодействиями между областью Ю н ее дополнением. Зги силы весьма значительны вблизи дЮ, но нх действие проявляется только в непосредственной близости к втой поверхности (внутри ЮР силы молекулярного взаимодействия заметны только на очень малых расстояниях). Именно позтому рациональной с позиций механики сплошных сред является схематизация ятях взаимодействий поверхностными силами, что и сделано. Введенные выше определения накладывают, безусловно, определенные ограничения, но вместе с тем они позволяют описать с хорошим приближением довольно широкий класс разделов механики сплошных сред и дают возможность сформулировать основной закон. е Лля простоты переменная г не будет фигурировать явно, новее равенства настоащей главы будут, разумеется, справедливы для любого фиксированного момента П Если П(х, 1) обозначает поле скоростей частиц из 8, то равенство (1.65) в применении к 0 в фиксированный, но произвольный момент времени ! приводит к двум векторным уравнениям: — рб дп = ~ Тбо+ ~,г до, (1) —,~ ОМ Л раба ~, ОМЛ Тба+~ ОМ Л~'с(п, (2) которые определяют для Ы равенство динамического торсора и торсора внешних сил, приложенных к Ю.
Через О обозначена точка, связанная с системой отсчета, которую, не ограничивая общности, можно принять за начало координат. Введенные гипотезы, в частности, относительно Т показывают, что уравнения (1) и (2) являются законами сохранения. Принято говорить, что для данной системы они являются законами сохранения количества движения. Цель-применить общую теорию, изложенную в главе И, к уравнениям (1) и (2) и выявить физический смысл понятий и выводов, которые вытекают из втой теории. Особое внимание уделено тензору напряжений, который„ в конечном счете, характеризует внутренние силы в любой точке М системы. !! !.1. пРименению опщей теории И1.1.1, Определение тензора напряжений.
Если уравнение (1) записать отдельно для каждого компонента: й,ру, дп — 1„т,да = 1,1,бп, (3) то можно использовать результаты главы И, полагая й,=риь ск,= — Ть А,=(,. Теорема 3 (И.З), в частности, позволяет сделать вывод о существовании тензора Х с.компонентами о, (которые являются в Я кусочно-гладкими функциями от х и от 1, т. е. о; (х, !)1, для которого в любой точке непрерывности имеет место равенство Т,(х, 1, п)=а! (х, !)и. (4) Этот тензор называется темзором напряжений.
'т1(ет) Если в момент Т поле тензора на- пряжений известно, то можно весьма Т(е) па, и- — -~ просто найти векторы напряжений в любой точке на границе некоторого Пп — — а объема Ю внутри системы Я, т. е. имеется возможость полностью оп- Рнс. 2. Компоненты аскторов на. пряжэний, действующие на грани рвдЕЛнтЬ СИЛЫ, дсйетауЮ1цИЕ На ас' элементарного параллелепипеда, со стороны элементов 3, внешних по раара которого параллельны осям 3 иыга отношению к Ю. Физический смысл компонентов о, ясен: о„, оээ, о„являются, например, составляющими вектора йапряженйй йо осям лг для направления п=е„если ее — единичный вектор по оси лэ (рис. 2). Из этого примера ясна область действия теоремы 3 (11.3): векторная функция Т(х, 1, и), зависящая а рг(ог( только от шести скалярных аргументов, полностью определяется полем тензора напряжений Е(х, 1), который, в свою очередь, зависит только от четырех скаляров (в данном случае зто переменные Эйлера).
П1.1.2. Уравнения движения. Теорема 2 (П.З) и уравнение (П,31) показывают, что в любой точке, где (/, и о,/ непрерывно дифференцируемы, имеют место уравнения — „(ри,)+ (ри,.и/),/= ои, /+1ь а (5) называемые уравиениами движения; зги уравнения записаны в зйлеровых переменных. Если система Я находится в равновесии относительно репера ло уравнения движения упрощаются: ог/, /+1/ О. (6) Эти последние называются уравнениями равновесия.
Перепишем левую часть уравнений (5) в виде — „(ри) -(/,— „+р — „, (р(/ги/), /-(/,(ри/), /+ри/иь/ др б(/г и примем во внимание уравнение неразрывности (П,50). Получим /8(/г р~, 88//+(//(/и./) =~п,/+)е (7) Левая часть уравнений (7) равна ру,=р —,, где у — ускорение б(/г частицы, находящейся в точке М (11,4), так что можно выписать также следующие уравнения: Руг= Р б/ =пг/./+1р б(/г (8) Уравнение (7) представляет собой обобщения основного уравнения механики точки гт лгу, в то время как (5) непосредственно обобщает уравнение для главного кинетического вектора лг = — = Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
