Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Уравнение, обладающее такими свойствами, называется уравяением сохранения в частных производных. Следствие. Для всякой области Ю, входящей в Ю„имеет место равенство ') я(а,— аып~) ба О. (32) Обратно, если уравнение (31) справедливо в любой точке области Ю„ а уравнение (32) — для любой области Ю внутри Ю„то закай, формулируемый равенством (1), справедлив для любой области Ю.
Утверждение очевидно, так как сбгласно теореме Гаусса — Остроградского и уравнениям (7) и (31) ЗТ~ .4;ба+~ аып до ) А бо. (33) Заметим, что уравнение (32) представляет собой обобщение уравнения (29) на случай произвольной области Ю. 11.3.3.
Тензор плотностм потока. Займемся изучением величины а как функции нормали и и определим природу величин а,. Начнем с того, что расширим определения величины а на векторы не обязательно единичной длины, положив сс(х, 1, Ли)=Ла(х, 1, и), (34) где и — единичный вектор, а Л вЂ” действительное число.
Обратим внимание на то, что (34) вполне согласуется с (26). Теперь можно сформулировать теорему. Теорема 3. Функция а(х, т, и), где и — произвольный вектор, является линейной функцией от и и определяет в любой момент времени 1 н в любой точке системы 8 тензор а, называемый тензором плотности потока, соответствующий закону сохранения (1), соответствие определяется отображением и а(и).
В системе координат х, этот тензор представлен матрицей а;, следовательно*, а,(х,(, и)=а, (х, 1)иу. (35) Н~,, у,, Щ-„,, а. нос отображение и — а. При етом испольауется не данная, а транепонированная матрица. Зтот путь вполне ааковен, но будем придерживаться обозначений, которммн польаунпся математики.
(Сть, например, П1.2.1а.) Пусть в фиксированный момент времени 1 даны точка Р и проходящий через нее единичный вектор № Докажем теорему, пользуясь зтими данными; покажем, что сс, а,у)'т'Р Р ассмотрим снова плоскость П, проходящую через точку Р перпендикулярно вектору М, и область Ю„ сечение которой плоскостью П дает рис. 7.
Тетрзздр СлтдяАз. поверхность Х, (включающую точку т: л,л„е„ .~.г+у т: сл,л, сл, „Р) (рн' 7). +слал1 Пусть .Р— тетраздр внутри об- ласти Ю, у которого три ребра параллельны координатным осям и, следовательно, три прямых угла. Одна из граней тетраэдра Т (гипотенуза) лежит внутри Х,. Положим дЯ =Т +Т, так что Г будет объединением граней, параллельных координатным плоскостям. Согласно определению (28) можно написать, как и для уравнения (29), — (а, — а,улу) дп = О. Применяя равенство (32) к тетраздру 4Г, имеем ~г(а,— п,,)У,)б -О.
(37) Множество треугольников Т, получающихся друг из друга преобразованиями подобия и переносом, образует в Х, плотное семейство, в то время как подынтегральная функция в (37) по предло. ложению непрерывна на Х,. Из основной леммы в атом случае следует, что равенство (36) сйраведливо в любой точке на Х, и, в частности, в точке Р. Заметим, что уравнения (31) и (35) обобщают все полученные до сих пор результаты. С другой стороны, так как нз (35) следует, очевидно, (32), то можно сформулировать следующую теорему.
Теорема 4. Если непрерывно дифференцируемые в Юе е функции .4,(х, 1), А(х, г), аы(х, 1) удовлетворяют уравнениям (31), а вектор а определяется уравнениями (35), то закон сохранения (1) тождественно справедлив для любой области Ю внутри Ю,. 11.3.4. Условия на разрывах. Предположим теперь, что поле скоростей П и все величины, участвующие в формулировке закона сохранения, всего лишь кусочно-дифференцируемы. Таким образом, все функции вместе со своими производными терпят разрыв прн пересечении некоторой поверхности, называемой поверхностью разрыва. Будем считать, что касательная плоскость к поверхности раз- ' Понятно, что результат не нзиеиится, если и отноглеиии функции Аг ограничиться только иепрерыяностьиь рыва может вращаться кусочно-непрерывно.
Пусть теперь Х,— связное открытое множество на поверхности разрыва, М вЂ” едйничный вектор, нормальный к поверхности Х,. Будем считать также, что вектор М непрерывен на поверхности Х,. Покажем, что закон сохранения (1) дает возможность получить определенную информацию о разрывах. Теорема б. В любой точке на поверхности Х, выполняется равенство ( Ао+ а (М)) О, (38) Заметим, что здесь используются те же обозначения, что и в П.1.5 (см.
рис. 4). В частности, о — нормальная составляющая скорости среды относительно поверхности разрыва, определяемая уравнениями и=~+Ю, о=Г М, в которых И~ — поле скоростей собственного движения поверхнос- ти Х,. Кроме того, имеем равенство (а (М)) ° а (Р+, 1, М) — а (Р, 1, М), значения а в котором получены в точке Р поверхности Х,р в неко. торый момент времени 1 при подходе к точке Р из областей Юз н Ю,. Доказательство следует из рассмотрения области Р, которая при пересечении ее поверхностью разрыва Х, делится на части Ю, и Ю,. Пусть Х вЂ час поверхности, вырезаемая областью Ю на Х,. Все величины в каждой из частей Ю, в Ю, по предположению йепре- рывны вместе со своими производными.
Согласно (24) закон сохра- нения (1) применительно к области Ю (которую мы изучаем в дви- жении) запишется в виде ( — ~+ (4,У~), ~ — А,~ бо+ ) а, бо+ ~ (4р) до = О. Кроме того, применяя теорему Гаусса — Остроградского к областям Ю, и Ю, и учитывая (35), имеем ~ > аы хбо — ~ а,бо — ~ а (Р,(,М)бо=О, ~~ а~~ ) бо — ~~ а,бо+) а,(Р+, С, М)бе=О.
Складывая левые и правые части равенств, получаем тождество ~я ( —,'+(АДГ+ аы), у — А,~бо+ ), (-З вЂ”,'+ (А,Ц+ а,~), у — А,~бо+ + ) (,4;о+аг(М)) бо = О, (39) являющееся одной из возможных интерпретаций закона сохранения применительно к области Ю. Согласно (31) первые два интеграла по объему из (39) равны нулю. В третьем интеграле Х представляет собой произвольную открытую часть поверхности Х„а подынтегральная величина по предположению непрерывна на Х,. Основная лемма приводит к урав- 61 нению (38). И обратно, если (31) справе)шиво в любой точке областей Ю, и Ю„а (38) — в любой точке Х, то уравнение (39) (вытекающее из закона сохранения, записанного применительно к области Ю) также справедливо. Равенство (38), таким образом, дает всю информацию, которую можно извлечь из применения уравнения (1) к областям, имеющим одну поверхность разрыва.
П.З.б. Общая интегральная форма закона сохранения. Если предположить далее, что область Ю совершает собственное движение относительно движущейся среды, то закон сохранения (1) может быть записан в более общей форме (используя формулу (19) и применяя обозначения из 11.1.4]: йу ~ 4, до+~ са;ба ') А,бо, а;) - †.4,У~+ айо а) (и) а;)ау. (40) в которой (41) Таким образом, конструкция уравнения (1) сохраняется, если заменить тензор потока а,) иа тензор агп определяемый уравнениями (41), что позволяет выявить влияние относительной скорости. Согласно теореме 4 (П.1.5) уравнение (40) справедпиво и для случая, когда исследуемые величины имеютлншь кусочную непрерывность. Здесь выявляется одна нз возможных внтерпретаинй уравкения (88), которое в данном случае запишется в виде (а' (м)) = о. (48) Нзпомнвм, что вектор а'(Щ, определяемый нз (41), где У вЂ” скорость среды относительно возможной поверхности разрыва л, характеризует обмен, осуществляющийся через зту поверхность.
Равенство (42) показывает, что зтот вектор не испытывает никакого разрыва непрерывности, проходя через Х (зта последняя движется со скоростью (У). П.З.6. Естественные граничные условия, соответствующие законам сохранения. До сих пор формулировки и применение закона сохранения относились только к областям Ж), находящимся строго внутри системы 3. Естественно предположить, что такой закон можно записать для системы 5 в целом или дяя областей Ж), имеющих общую граничную поверхность Х с поверхностью дБ — границей системы 3. Для простоты будем считать, что В является связной областью и и что поверхность д8 имеет непрерывно вра- щающуюся касательную плоскость и конечду нос число ребер.
Выше было показано, что в законах (1) и (33) величины а,у и а, опрет деляют эффект внутренних взаимодействий. Для того чтобы применить закон (1) для областей Ж), имеющих общую границу Х с системой Я, нужно предположить существование некоторого внешнего поверхностного возРис, 8 действия, которое в любой момент времени( может быть представлено кусочно-непрерывным полем векторов а (Р, г), задаваемым на поверхности д5 и моделирующим поток через поверхность д5. В зависимости от каждой конкретной задачи а (Р, () будет либо задано, либо неизвестно.
Таким образом, закон сохранения для рассматриваемой здесь области 0 запишется в виде (полагая дЮ = Х + Х' (рис. 8): ,— ) .4, до+~ а, (и) до+) а; до = ) А,бо. (43) Ограничимся применением втой формулы к тем областям Ю, для которых Х лежит целцком внутри данного открытого множества Х, на поверхности д5, причем нормаль и, направленная наружу от поверхности д5, и функция а(Р, Г) непрерывны. Если рассматривать Ж как предел областей Юч, образованных точками из Ж>, располо. женными от Х на расстоянии, большем з), где з) — производнря сколь угодно малая длина, и если определить а, и а,(п) в любой'точке Р поверхности Х путем непрерывного продолжения, то получим — ') А,би+~,а,(п) до+) а,(и) до ) А,ба (44) Сравнивая уравнения (43) с уравнением (44), приходим к выводу, что для любой поверхности Х, целиком лежащей внутри Х„ имеет место равенство (а~ (и) — а,) бп О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
