Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 16
Текст из файла (страница 16)
б«' ш Приведенные выше уравнения могут быть выписаны также в векторной форме. Для втой цели заметим, что вектор' С,=ог/,ь фигурирующий в уравнениях (5), (7) и (8), может быть представлен в виде П(ч Е. Тогда уравнения (7) с учетом (П,б) можно записать'", * См. П1.6.1. ««Можно испольэовэть также весьма краткие днэдныеобоэнэчения, данные, нэпример, в (П,6). Но для этого необходимо, чтобы читатель облэдэл определенным навыком. Ня уровне данного курса чаще будут испольэоваиы уравнения (6) нлн (т), (8) нли (9). например, в форме р ~ — с+ ~ дгадб»+го!и!' и) =п1ч Е+с.
сои (9) Замечание. Следует заметить, что уравнения (8) могут быть выведены из уравнений равновесия (6) на основании общеизвестного результата общей механики, согласно которому уравнения движения получаются путем прибавления к торсору внешних сил торсора, противоположного динамическому. Тогда в нашем случае для получения уравнений (8) в уравнениях (6) нужно заменить |с на 7с — руе !!1.1.3. Симметрия тензора напряжений. Используем снова уравнение сохранения (2).
Согласно сделанному выше замечанию рассмотрим сначала случай равновесия. Прежде всего можно констатировать, что с учетом (4) теорема 3 (11.3) не даст никакого нового результата. Кроме того, теорема 2 (1!.3) или формула (1!,31) позволяют написать, выразив в явном виде компоненты векторных произведений: (есС»хсо»с). с+ зсу»х/» — — О. Так как переменные х, независимы, то хс,с — — бс,с —— бсь н с учетом (6) получаем уравнения: зсс»х (оы, +7»)+ зсс»а»с = ес„о„= О. (10) Соотношения (10) показывают, что при любых ! н ! имеют место равенства о„= осе (1! ) Говорят, что матрица осс и тензор Е являются симметричными. При доказательстве снмметрйн для состояния равновесия внешние силы не используются.
Следовательно, этот вывод остается справедливым для случая, когда система находится в движении. Непосредственную проверку справедливости данного утверждения предоставляем читателю (задача !1). П!.1.4. Условия на разрывах. Если применить теперь теорему 5 (П.З) к уравнению (1), то для любой точки М поверхности разрыва Е получим зависимость (12) (Ро~) (с (М )~ где 37 — единичный вектор, нормальный к поверхности Е в точке М, а о — нормальная составляющая скорости среды относительно поверхности Е, Заметим сразу же, что применение этой теоремы к уравнению (2) не дает нового результата. Уравнение (12) заключает в себе всю информацию, которуюдает закон сохранения количества движения в случае, когда мы имеем дело с поверхностью разрыва.
Вернемся к двум случаям, рассмотренным в 11.4.2. Для конкретной'поверхности из равенства (12) с учетом (11,53) следует, что вектор напряжений при пересечении поверхности Е в направлении нормали непрерывен. Для ударной волны ро=ос поток массы Зч б7 4~ лныа аллы и лрдарллбатб) Рис. 3. а-упругеа дставь, еаделеивап в жесткаа массив; б-торсор снл, задев. пых ве ХП р' ибо. еде Торсор ревнива опоры ва Хе Я=сев Гбо, Г Гтх Ом лрбо. на рис. б схематаеио показан торсор снл, првломепвмх к х, (предполагаем его эквивалентным одвов силе), в торсор реакцпа опоры ва поверхности хл я-славика вектор реакцва спорые Г-момент реакции опор» в тоске 0 через Х в единицу времени' непрерывен при пересечении поверхности Х и, следовательно, уравнение (12) сведется к уравнению т(У) =(Т(Ф) ), (13) где р — скорость среды относительно поверхности Е (Ц= К-~-Ю, где Ф вЂ” скорость точки М, лежащей на поверхности Х).
При пересечении ударной волны скачок вектора напряжений в нормальном к поверхности волны направлении пропорционален скачку относительной скорости, причем коэффициентом пропорциональности является массовый поток т. 1П.1Л. Граничное условие. Соображения, приведенные в П.3.6, показывают, что изложенная выше теория справедлива только в случае, когда внешние силы, действующие на 5, полностью определены, с одной стороны, объемными силами У, действующими на расстоянии, и с другой — поверхностными контактными силами, определяемыми в фиксированный момент 1 поверхностной плотностью Р в любой точке Р площади дЯ.
Граничное условие, естественным образом ассоциированное с законом сохранения количества движения, запишется просто: Т(Р, уз) =Р(Р), (14) где и — единичный вектор, нормальный к площадке д5 в точке Р и направленный вне 3. Уравнение (14) может быть переписано е Напомним, что в этом случае вектор Ф направлен в сторону движении частиц через Х тах, чтобы гл было положительным.
в виде (15) поп~ Ро В случае если на какой-то части площадки дЯ компоненты Р;=О, принято говорить, что зта часть свободна от нагрузок. Эаметнм, что если все Гь как правило, известны, то этого нельзя 'сказать относнтельно Рь В качестве примера рассмотрим случай упругого цилиндрического тела, один торец которого заделан в жесгкнй масона (рнс. 3). Предполагаем, что тело имеет определенный вес. Тогда у= — рлй, где я — ускорение силы тяжести: й — еднннчный вектор вертнкалн, направленный вверх.
Кроме того, можно предполагать, что цилиндрическая поверхность свободна (внешние поверхностные силы отсутствуют); на такой поверхности Р=О н, следовательно, навестив. Предполагаем, что уснлня на незакрепленном торце известны., Допустим в рамках развиваемой теорнн, что втн усилия могут быть определены через заданную поверхностную плотность Р. Таким образом, равенство (16) определяет ва всем незакрепленном торце детали условия, которым должен удовлетворять тенэор нзпряхиннй (навестный арг(ог().
Силы, действующие на заделанный торец детали со стороны бесконечно большого твердого тела, остаются невзвестнымнь. Когда механическое поведение детали будет полностью определено н, в частности, станет нзвестным поле тензоров напряженна, уравнение (16) позволит рассчитать уснлня (нлн, иначе говоря, реакцию опоры), нспытываемые телом. Энанне этих реакцнй в общем случае очень важно, так как именно онн дают возможность определить, сможет лн тело выдержать заданные внешние нагрузки. 1П.1.а. Замечання относнтельяо вмдвннутых гнпотез. До снх пор нэлагалнсь лишь самые траднцнонные понятия механякн сплошных сред, которых, тем не менее, вполне достаточно для описания большинства практических задач.
Однако зачастую для упрощення поставленных задач пряходнтся выдвигать дополннтельные гипотезы, справедливость которых обоснована тем нлн иным способом н определены граннцы нх применимости. Вернемся теперь к выдвинутым гипотезам. Прежде всего отметим тот факт, что внутренние уснлня в системе Я вЂ э усиляя контактного взаимодействия. Иногда приходится предусматривать случая, когда равные части системы 8 действуют друг на друга на расстояннн. Как правило, этн силы известны, онн как бы накладывжотся на силы у внешнне по отношению к системе Е.
Отбросам этот случай. Излагаемая теория н, в частности, представленне внутренних снл через поле симметричных тензоров требуют, чтобы внешние силы могли выражаться через объемную плотность у н поверхностную плотность Р, действующую на граннчную поверхность. Если, напрнмер, для правнльной оценки воздействий на расстоянии следует к у добавить объемную плотность моментов Г, то к пра. вой части равенства (2) следует добавить ~ Г бв, что, в свою очередь, требует впесення корректив в уравненне (1О), которое в этом случае прнннмает внд епапэг+Гг=о.
Тензор напряжений уже не будет снмметрнчным; другие выводы остаются справедливыми, н предложенная теория не теряет аначення, так как счнтается, что поверхностная. плотность Р хорошо представляет внешние контактные силы. Если такое представление окажется недостаточным н воэннкнет необходимость учесть, например, поверхностную плотность моментов, то опясанне внутренних воздействий посредством векторов.
напряжений Т(М, п), определенных на границе дЯ, оказывается слишком грубым — оно должно быть дополнено. Внутреннне силы системы 8 прн этом не будут достаточно точно выражаться полем тенворов напряжений Х. ь Однако на заделанном торце тела можно выписать условня, связанные со скоростью. Напрнмер, всюду на заделанной поверхности 0 равно нулю.
Отмзтим, что предложенная модель страдает известными ограничениями, которые преодолены лишь в новейших теориях. Эти теории в рамках данной книги рассмотрены быть не могут. П1.1.7. Теорема об изменении количества движения. Теорема об изменении количества движения представляет собой лишь результат общей механики, послужившей отправной точкой для данной главы Уравнения (1) и (2) выражают только равенство торсоров: б! [РЩЮ [Т1дю+ ьу )вэ (16) где согласно принятым обозначениям [Яя — торсор, определяемый объемной плотностью Т" в области Ю, а [Т)зв — торсор, определяемый поверхностной плотностью Т на грайицах дж). С другой стороны, можно написать, что б! [РЩя [а! Рб) + [РО(О и)1ав (17) так как компонентамн вектора ОМ являются хо составляющие вместе со временем ) систему из четырех независимых переменных, фигурирующих в записи частных производных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
