Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 20
Текст из файла (страница 20)
(69) Таким образом, ннтеграл ог компонентов тензора напряжений в системе 5 можно вычнслить непосредственно через внешние силы гг и Рп причем результат остается справедливым независимо от свойств среды. Поделив найденные вели. чины на объем тела, получим среднее значение компонентов пга.
Ниже в решениях задач, будут даны некоторые конкретные примеры. Если теперь принять 1р=хахг, то ф, у = баухг+хабар нлн 2 ~ «гога бе ~ (кехг11+х,х;/з — «~ха)г) бе+ + ~ (хзкРс+хгкРа — ««Ж) бо. (52) Чнтзтель может без труда проаернть, что, принимая а качестве значеннй Ф одночлены степени (и+1) по кь хз, хз, можно получить определенные зазнснмостн между моментами компонентов гейзера напряженна а начале координат н некоторыми ннтеграламн от анешннх снл 1~ н гь Но тогда уже нельзя будет аыраанть, как зто было сделано для я=б н л= 1, значения всех моментов л-го порядка только через интегралы от внешних воздействий. Впрочем, зто н понятно, так кан а противном случае можно пронззестн танке зычнслення незазнснмо от законов поведения среды, а зто, а свою очередь, означает, что уразнення равно.
аесня достаточны для изучения разноаесяя любой среды. Выше, однако, было показано, что а общем случае зто не так. ГЛАВА 1Ч МОЩНОСТЬ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ. ТЕНЗОР СКОРОСТЕЙ ДЕФОРМАЦИЙ. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ Сформулируем теперь третий закон, описывающий движение сплошной среды,— закон сохранения энергии. Чтобы сформулировать и в дальнейшем использовать этот закон, необходимо прежде всего определить мощность и работу внутренних сил.
Причем определение должно быть сформулировано таким образом, чтобы обеспечивалась эквивалентность фундаментального закона динамики и принципа возможных мощностей. Таково содержание первого параграфа. Здесь встречаемся с тензором, называемым тензором скоростей деформации, который представляет собой одну из характеристик деформаций системы в окрестности каждой точки. Основные снойства такого тензора даются во втором параграфе. Третий параграф посвящен закону сохранения энергии. Сначала вводятся новые понятия, такие, например, как внутренняя энергия илн теплота, полученная частью системы.
После этого можнодать формулировку данного закона, а затем для получения главных следствий применить результаты главы П. !7.1. ВОЗМОЖНАЯ МОЩНОСТЬ ВНУТРЕННИХ УСИЛИВ 1Ч.1.1. Определение. Естественный путь построения строгого определения возможной мощности заключается в определении ее как разности между возможной мощностью количества ускорения и возможной мощностью внешних сил. Пусть (как и в главе П) 3 — система, движущаяся относительно репера Я под действием внешних сил с объемной плотностью у и с поверхностной плотностью Р иа границе д5, Обозначим через р и у соответственно обьемную плотность массы и ускорение частицы. В некоторый фиксированный момент времени г возможное движение системы Я в Я задается определением на 3 поля возможных скоростей У, производные которого кусочно-непрерывны.
Мощность внутренних сил Р,о в таком движении должна быть У и, = ~,ру йбо — ~,У йб — ~„Р' йбп. Выражение в правой части не может быть принято в качестве точного определения величины У,л, так как в него входят величины, отличные от внутренних усилий. Однако его легко преобразовать. Введем в М ортонормированный декартов базис. Граничное условие (П1,15) дает нам возможность представить интеграл по поверхности в виде потока г аз Р~ У~йг =) оуУ;п~ Йо. С другой стороны, согласно (П1, 7) ру,=~,-~-п, и, следовательно, г - г =)зо„,,У,б — )ззоуи,.п,б .
(1) Формула (1) дает искомое выражение для Уш через поля тензо. ров напряжений оу и поле скоростей возможного движения 0ь Однако имеется возможность найти более интересное решение. Прежде всего предположим, что оы и О, непрерывны и кусочноднфференцируемы в 5. К интегралу по поверхности может быть применена теорема' Гаусса — Остроградского. В нашем случае зто дает У,п= — ~,п,йь, о. (2) Кроме того, если положить 1),,= —, ~Уь, +У,,,), будем иметь (4) так как в силу симметрии величин о, можно написать, что оуУУ вЂ” — о~;У; 7 — — ааУ~ —— — ау(У, +У~,,)=Ц~ЬУ. Отметим, что формулы (2) и (4) обладают тем преимуществом, что они выявляют аддитивиость возможной мощности относительно рассматриваемой области, чего нельзя сказать о формуле (1). Таким образом, мы приходим к следующему определению, 85 Определение.
Возможная мощность внутренних усилий обласош зх), состаг- ляющей часов системы 5, д'м,(п()) — ) оцйд уй = — ~ огуггц с, гдг внутренние усилия задаются полем иапрязсгиий оц, а гозможиог дгиясгниг— иолам скоростгй бь причем яая оц, так и иг предполагаются ягиргрмгио диффг. ргициругммми г области Ю. Если же производные ац и Цг лишь кусочно-нелрерывнм, то система 5 раз- бивается на Ф подобластей 5,(Р=1, 2, ..., с(), где зги величины вмеют непре- рывные производные, и можйо написать, применяя теорему Гаусса — Остроград- ского к кажлой чести 5р.. Ф М (ац01) гбо ~ ( (оцО) г йо ~~ ( о; Ц;огба.
р 1 Р р 1 Объединение областей интегрирования в последнем интеграле содержит граничную поверхность д5 системы 5 и множество Е поверхностей разрыва внутри 5. В каждой точке множества Е, в окрестности которой касательная плоскость вращается непрерывно, построим единичный вектор нормали 1«' н обозначим через у+ п у- значении функции у по разные стороны поверхности разрыва Е. Такая точка из Е принадлежит двум поверхностям 5 . Вектор У вЂ вект внешней нормали относительно д5р, соответствующий стороне Е-; вектор — 1«' относительно д5, соответствует стороне Е+.
Таким образом, можно написать (ац01) 7 до ~ ац01оу ба+~ ((аггУ701)- — (оцФуцг)+) бо, пли в другой форме, используя вектор напряжений: оцйго й -~ (ацй,), й +~ (Т,(р)) й,) йо. Подставляя найденное выражение в (1), приходим к формуле, обобщающей формулу (4) на случай сушествованяя разрывов: Угл — ~ оцЬц бо — ~ (Тг (г() 01) йо. (б) Такова общая формула, определяющая возможную мощность внутренних усилий системы 5. Впрочем, при отсутствии ударной волны Т(Ф) ие терпит разрыва при переходе через поверхность Е, и формула упрощается, т.
е. д'и> — ~ оцггц бо — ~ Т (Ц) бш (7) Случай пжможиого движения, сохраняющего часть 5 системы 5 абсолютно жгсоиюй. В каащой точке х рассматриваемой части 5р поле скоростей Уг в некоторый фиксированный момент 1 задается формулами айда йг У'"+й' 'хм (8) где «1Р— компоненты вектора; И<Р> — компоненты антисимметричной матрицы, ги ) определяемой лля каждой подобласти 5Р (1,1.8). Отсюда следует, что в любой точке 5р Оц=0, н объемный интеграл в (7) равен, таким образом, нулю. Это хорошо согласуется с аксиомой, согласно которой возможная мощность внутренних усилий системы 5р при движении когда 5 не деформируется, равна нулю. Внутренние усилии для всей системы 5, участвующие в расчете возможной мощности, являются, таким образом, силами соприкосновения между различными 5, Для любой части 5« зги силы задаются поверхностной плотностью — х)Т(М) всякой точке поверхности д5р, принадлежащей Е, где и= т 1 в зависимости от того, является ли в данной точке поверхность д5 стороной Е или Е+ поверхности Е.
Легко установвть теперь связь между (6) н формулой (1, 69). В самом деле, имеем >» ( т, >г, >)- — у ! тн>.й~ . где Ь㻠— торсор скоростей 0 на Юг, заданных формулой (8). ля получения полной зквнвалентноств между (6) н (1, 69) достаточно сложить обе частя последнего равенства для всех значеннй р. Итак, приведенные выше рассуждения позволили: определить возможную мощность внутренних усилий движущейся сплошной среды; установить соответствие данного определения ранее полученным определениям; доказать соответствие принципа возможных мощностей в механике сплошных сред основному закону динамики.
Вудем предполагать, если только не оговорено обратное, что поле возможных скоростей б, непрерывно, и ударные волныотсутствуют. Тогда принцип возможных скоростей в применении к системе 3 запишется следующим образом: ) р —,' 0>гЬ ') (>(>'><Ь+) Р>0><Ь вЂ” ) оыь)>увар. (9) Само собой разумеется, что аналогичное равенство остается справедливым для любой части йб системы Я (при замене на границе дЖ> Р, на Т>).
!ч>.1.2. Теорема об изменении кинетической энергии. Теорема об изменении кинетической энергии доказывается применением принципа возможных мощностей для действительного движения, т. е. в (9) следует положить О>=У>. В левой части получаем тогда полную производную от кинетической энергии К--, (зри,и,б . ! г (10) Полученное уравнение может быть также записано в виде л =о >е>+л пм >йт (1 1) где 2>>,> и У>а-соответственно мощность внешних и внутренних усилий: У„,-~,У ибо+~„Р ибо, (12) л>>о — ) о>гЦг >!о.
(13) В изучаемом случае соотношение (11) представляет собой хорошо известную теорему общей механики. !'т'.2. ТЕНЗОР СКОРОСТЕЙ ДЕФОРМАЦИЙ !».2.1. Градиент поля скоростей. В проведенных выше рассуждениях появилась матрица Рыч необходимо выяснить ее механический смысл. 67 Напомним следующее определение: векторное поле л7 (М) назы- вается дифференцируемым в точке М, если существует некоторая линейная вектор-функция вектора й(ММ'), такая, что для всякой точки М' из окрестности М, еде можно написать равенство и(М') — и(М)=2(ММ')+)ММ'~о(М, М'), (14) вектор о(М, М') стремится к нулю, когда М' стремится к М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
