Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Тензоры %' и У иногда называют (из очевидных соображений) соответственно левым и правым тензорами чистой деформации. Ч.з. ТЕНЗОРЫ ДЕФОРМАКИИ Н.2.1. Тензор деформаций Грина — Лагранжа. Определение. Тензор деформаций Грина — Лаеранжа Е (М, 1', () частицы М с момента 1' до момента 1 определяется в пространстве Т' равенсгпвом 2Е (М, 1', 1) = С (М, 1', 1) — Е (26) 101 Такое определение основано иа том, что когда преобразование еГ (М, 1', 1) соответствует перемещению абсолютно твердого тела, Х(а')=! для любого единичного вектора и' из Т', а С=/и А=О. Тензор л.
имеет те же главные базисы, что н тензор С. Ч.2.2. Тензор деформаций Альманси — Эйлера. Определение. Тензор деформаций Альманси — Эйлера Е(М, !', 1) частицы М от момента 1' до момента ! определяется в пространстве Т равенством Е(М, Р, 1)=Е(М, 1, Е'). (27) Обозначив б(М, 1', 1) матрицу, обратную Р (М, 1', 1), имеем равенство С(М, 1, !') =От (М, !', 1) 6 (М, !', 1); и, следовательно (опуская для краткости переменные М, 1', 1), 2Е=! бтб (28) Переходя к обратным величинам в (24), можем написать П вЂ” 1Ч-~Вт — РТЧ-, тогда бтб=Ч '=В '. (29) Тензор Е[который, очевидно, равен нулю, когда еГ(М, 1', 1) соответствует перемещению абсолютно твердого тела1 имеет те же главные базисы, что и симметричные тензоры В и е. Ч.2.3. Деформации относительно одной особой конфигурации.
Иногда полезно, как зто видно в 1.1.3, индивидуализировать частицы М с помощью их координат аа в некоторой особой конфигурации 3', соответствующей моменту времени ! =О или (в общем случае) конфигурации 5«. Введенные выше обозначения остаются в атом случае справедливыми, но представляется возможным внести упрощения в записи, опустив переменную 1'. Если соответствие З' — У задается формулами х=Ф(а, 1), а=У(х, б), в которых Ф и 1е обозначают пару взаимно обратных функций, то элементы матриц Р и 6 будут таковы: да ~ ~а~ 1« ~ дл даа Отсюда сразу же следуют !'с учетом формул (26), (18) и (28)] выражения для компонентовтензоров деформаций Т.(М, г) и Е (М,(): 2(«В=Фи аФи В бааэ 2ЕО бм тра, В 1В. о (30) У.з.
ДРУГОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕНЗОРА СКОРОСТЕЙ ДЕФОРМАЦИЙ Новое определение следует из теоремы. Теорема. Пусть 1. (х, 1, т) — матрица тензора деформаций Грина— Лагранжа частицы, в момент 1 находящейся в точке х, от момента С до т в системе отсчета сИ; тогда имеем 0(х, С)= — ($ (х, С, С)) 1пп — 1.(х, С, т), (31) т с т где 0(х, С) — матрица скоростей деформаций частицы М в момент С. Подчеркнем, что 1. зависит от пяти независимых скалярных переменных $„т', т н что частная производная берется по переменной т. Смысл этой теоремы ясен: тензор д.(х, С, С) является нулевым, что и объясняет последнее нз равенств (31). Следовательно, (31) полностью подтверждает название, данное тензору ду. Для доказательства теоремы напомним [см.
формулу (!.13)1, что составляющая (Сс вектора скорости в Я дается выражением (Сс(х, С) =~~У(х, С, С). Отсюда следует [в силу (3)1: ~и да(Рс д =дгд, (», С, С)= — гсс(х, С, С), что дает новое выражение для тензора йгас) 17. Но согласно (26), (18) н (10), имеют место следующие равенства: дС. 1дС 1 / — (х, С, С)= — — (х, С, С) — Рт(х, С, С) — (х, С, С)+ дР + — (х, С, С)г (х, С, С)) — (,— (х, С, С)+-от-(х, С, С)). Откуда дйм 1 с'дсс,. дССс~ что и требовалось доказать.
Можно рассуждать по-другому. Дифференцируя равенство Р=И% по переменной т, получаем д д д дг ' ' дт — (Р(х, с, с))= — (чс(х, с, с)) 3-(и (х, с, с)1, так как цг(х, С, С) К(х, С, С)=1. Левая часть — градиент-матрица поля скоростей; правая часть представляет собой разложение ее на симметричную н антисимметричную составляющие. В свмом деле, первый член правой части — симметричная матрица, а второй †антисимметричн, что видно иа дифференцирования равенства цц Г ! по последней переменной. тогда дС.сс 1 дС» дсрсс — (х, с, с)= — — (х, с„с)= — (х, с, с) ссссс дг ' ' Я дг ' " дт да!С вЂ” !х, С, С)=цсС. Ч.4. МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ 'т'.4.1. Упрощение полученных формул для случаев малых возмущений. Во многих зсп!ачах механики сплошных сред матрица- 193 градиент Р(М, С', 1) мало отличается от единичной.
Положим Р (М, 1', 1) = 1+ Ь (М, 1', 1) (33) и зададим норму СЬ) элементов в точке М' по формуле (Ь Г =(г (Жт), (34) где (г (ЬЬт) — след или первый инвариант симметричной матрицы )!Ы или, иначе, сумма квадратов элементов Ь. Если при любых 1 и М в системе 3 норма )Ь~ всегда меньше некоторого числа т!, малого по сравнению с единицей, то принято говорить, что деформация системы изучается в рамках гипотезы малых возмущений (Г. М. В.), если условиться отбрасывать в формулах члены порядка 0(т)').
Смысл такого упрощения будет выявлен ниже. Здесь же ограничимся систематическим изучением следствий, касающихся введенных выше понятий. Установленные выше групповые свойства (9) и (10), преобразования Р приводят, в рамках принятой гипотезы, к групповым аддитивным свойствам преобразования (если заменить Р на 1+И, пренебрегая произведениями двух матриц Ь): Ь (1, С) = О, Ь (С', 1) = — )! (С, 1'), )!(1", 1) = )! (1", 1') + Ь (1', 1). Выделим симметричную и антисимметричную составляющие Ь: э= — (5+Ьт), Ф- — (Ь Ьт).
! ! (36) Тогда С(1, 1) = Рт(1', 1) Р(1', 1) =((+йт)()+й) и, следовательно, в рамках Г.М. В. С(1', 1)=1+Ьт(1', 1)+Ь(1', С) =1+2а(1', 1). Тогда из уравнений (26), (27) и (35) следует, что Е (М, 1', 1) = з(М, 1', 1)=Е(М, С', 1). (37) (38) а (М, О, 1) = е(М, 1), то будем иметь, например, а=(М, С', 1)=а(М, 1) — э(М, С').
(39) При использовании Г. М. В. матрицы, задающие тензоры Грина— Лагранжа и Альманси — Эйлера, равны матрице а. Эта матрица называется матрицей малых деформаций. Тензор, задаваемый матрицей э в базисе Ю, есть тензор малых деформаций. Групповые свойства (35) в приложении к э показывают, что если известна матрица е для какого-либо частного преобразования (например, П(0, 1), то она известна для любого преобразования П(1', 1). Если условимся писать И наконец, в рамках Г.М.В. можем записать Р = (1 + )т) = 1 + в -1- Ф = (1+ в) (1+ Ф) = (1+ Ф) (1+ а), тогда с учетом (24) имеем (Ч =Ч -1+ а, К=1+Ф.
(40) (41) Антисимметричная матрица Ф определяет вращение при малых возмущениях. Читатель не может не заметить те очень важные упрощения, которые следуют из втой гипотезы. 7.4.2. Прямой анализ малых деформаций. Запишем формулу (1), описывающую движение системы, для точек М(х', х) и Р(у', у) в виде х=х'+ Х (х', У, (), у - у'+ У (у', (', (). Вычтем одно равенство из другого.
Если функция Х дифференцируема относительно пространственных переменных, х', то полагая Я» Р ~ У и ~ ~ Р» У (42) Деформвции в рвмквк Г. М, В, Скорости деформвцнй Скорость У! Градиент скоростей ()ь» Тенвор скоростей деформвций Рц Тенвор скоростей врвщения ЯЫ Вектор скорости вращения ве Смещение Х« Грвднент перемещений Х« г Ьн Тенвор деформаций (Г.М. В) есг Тенвор вращения (Г, М.
В.) Ф;) Вектор врвщениц (Г. М. В.) !р; В м, п~ (!Ч,22! ур м !44! б е» !Г р,,*...,~ р,, 105 можно написать формулу, аналогичйую (Гт',14): У У'+й(У', х', (', ()+~ У'~о(х', у', У, (), (43) в которой Ы вЂ” некоторая линейная функция от У', а о(х', у', (', () — вектор, который стремится к нулю вместе с ( У'(. Матрица, задающая оператор И, есть градиент-матрица Х, т. е. и, определяемая уравнением (33). Если Р не выходит за пределы «малой» окрестности л4, то (У'( также мало и, значит, добавочный член в (43) пренебрежимо мал по сравнению с первым.
Преобразование (43) У У может быть приближено линейным касательным преобразованием ' м(М, У, (): У' — У, определяемым по формуле У= У'+Я(У', х', (', (). (44) Полученную формулу можно использовать аналогично тому, как зто сделано в 1Ч.2, если произвести подстановки согласно следую. щей таблице (в и Ф определяются по (36)]: записано в виде У= У'+фЛ У'+ е(У'), (45) Последняя формула выгодна с точки зрения Г.М.В., так как порядок компонентов вектора <р и матрицы е в этом случае равен 0(з)), и, как уже отмечалось в Ч 4.1, в рамках Г.М.В. членами порядка О~я)з) следует пренебрегать. Выпишем формулу (45) для векторов У и )У' и составим скалярное произведение У 1У левых частей равенств.
В правых частях появляются два смешанных произведения, сумма которых равна нулю, и билинейная форма*, соответствующая тензору деформаций (Г.М. В) й) ( У', (У') = еыУЛ (45) Итак,,имеем строгое равенство У )У= У' )У'+6(У', )У'). (47) В случае когда й) =О, т. е. ез О, касательное линейное преобразование будет изометрией, что полностью соответствует названию, данному тензору деформаций и вектору вращения ф (в рамках Г.М. В.), определяемому по формуле (45).
Если принять векторы У' и зУ' равными единичному вектору и', то )равнение (47) позволяет интерпретировать квадратичную форму Я(и)=д)(и', и') как единичное удлинение Я(и')=б(и') в направленни и' (см. рис. 1). В самом деле, согласно Г.М.В. !+25 (1+б)', а 1=1+5 как раз есть длина преобразованного единичного вектора и'. Таким образом, имеем б(и')=е, и)и1. (48) В частности, величина е„равна относительному удлинению в направлении хм Если прийять У' и ЯГ' равными соответственно двум ортогональным единичным векторам о' и ш' и обозначить угол между преобл разованными векторами через — 8, то в силу того, что 8 имеет порядок 0 (т1), можно написать 2 8=я)(п, йв ) =еыо~Щ (цы~ =О).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
