Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Если поверхность совершает колебательное синусондальное движение в радиальном направлении, то а» будет частотой этого движения. Формализм линеаризацин заключаегся в том, что в уравнениях, описывающих движение системы, удерживаются при разложениях по бесконечно малому параметру») только первые члены.
Построенная таким путем теория и задачи, к которым она приводит, называются линейными или линеаризованными. Предположим, что в уравнениях (61) !в и ~, имеют ограниченные частные производные. В силу (63) можем написать ! (а„а„а„!) =~в(х„х„х„!) =( (а„а„а„!)+0(ц); д(! д)в дх! дгг — +о(ц); да„к! да да д/! д) д/а д(в дл! д1г О,, д! д! В! дх! д! д! Отсюда видно, что в линеаризованной теории, пренебрегая членами 0(»)), можно в случае малых возмущений не делать различия между эйлеровыми и лагранжевыми переменными при вычислении функций и их производных. Ниже не будем делать различия между ~г и !г, обозначая их просто ! (х„х„х„!). Важное следствие линеаризованной теории заключается в том, что уравнения и граничные условия для движущейся системы могут быть спесивы непосредственно на «начальную» конфигурацию.
ыо Поясним это иа примере. Предположим, что среда имеет контакт с подвижной стенкой, которую можно приближенно принять за плоскость х,=О. Если уравнение подвижной стенки записать в виде к» вЂ” д(х„к„() =О, то следует предположить, что функция и и ее производные имеют порядок О(«1), чтобы иметь возможность применить лииеаризованную теорию. Краевое условие (П,бб) запишется в этом случае следующим образом: 0,(хо х„й) — Я=О. аз В линеаризованной теории это условие запишется проще: (.1» (х„х„О) — — = О, дд (бй) т. е. оно формулируется на невозмущенной границе л» О.
Замечания. Линеаризация может быть распространена на случай изучения системы, движение которой мало отличается от некоторого известного движения (см. ЧЛ). В рассмотренном выше простом случае такое движение было просто покоем. Речь здесь идет о формальной асимптотической теории, главная идея которой основана иа изучении зависимости семейства движений системы 5 от параметра гь когда невозмущенное движение, соответствующее «)=О, известно.-Ставится задача рассчитать возмущеине для каждой искомой величины, т. е.
найти первый член асимптотического разложения этой величины по»). Однако на практике существенного упрощения в решении не получается, если асимптотическое разложение производится на основе полного решения всей совокупности уравнений, зависящих от «1. Таким образом, линейная теория имеет целью нахождение этого первого члена, упростив сами уравнения и граничные условия задачи. Предполагая все известные или неизвестные величины разложенными по гь производится соответствующая подстановка в уравнения н краевые условия и в каждом из равенств берутся только главные по параметру «) члены. Таким образом, приходим к уравнениям и граничным условиям некоторой линейной задачи, близкой к исходной и вместе с тем гораздо более простой.
Для получения первого члена разложения искомого решения решается именно эта упрощенная задача, называемая линеаризоаалной. Следует хорошо помнить, что этот метод является формальным. Из него не следует, что результат не изменится от того, будет ля принят во внимание только первый член разложения по «1 точного решения или решим близкую линеаризованную задачу. Точные исследования, возможные в некоторых приложениях, показывают, что решение линеарнзованной задачи не всегда является первым членом асимптотического разложения, равномерно пригодным для всей изучаемой системы 8. Для получения равномерно пригодного решения следует воспользоваться методом «сингулярных» возмущений, изложение которого выходит за рамки настоящего курса. Все сказанное выше показывает ограниченность области приме.
111 нимости решения линеаризованных задач. В каждом отдельном случае необходимо произвести критическую оценку области, в которой полученные решения остаются справедливыми. Это, тем не менее, не снижает интереса к линеаризованным теориям, развитым на основе сформулированных выше принципов при условии, что они применимы. В случаях исключительно важных для практики линеаризованная теория ведет к более простым в математическом отношении задачам по сравнению с задачами в строгой подстановке, что позволяет решить их аналитически или численно.
Практика показывает, что получаемые при атом результаты весьма важны и необходимы для оцанки величин, характеризующих изучаемую движущуюся систему. ДОПОЛНЕНИЕ Представляется полезным рассмотреть некоторме прнложення изученного в данной главе линейного касательного преобрззовання нлн конвектнвного переноса. Для ваученяя последующих глав выводы раздела Ч.б не обязательны, но нх значение в общем случае в роль в современных теориях механики сплошных сред таковы, что нх необходимо здесь упомянуть.
Ч.б. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ ЛАГРАНЖА Ч.б.!. Фермулнровка закона сохранея»я. Вернемся к формулировке закона сохранення, опясанного в 11.1 в переменных Эйлера, н выразям его в переменных Лагранжа. Упростим несколько задачу, заменяя объемные плотностн,бг н Аг'массовымн лтг н Вг, н предположим, что онн выражены в переменных а й ! (х=Ф(а, !): (66) 1 юг= — аре агр бхе А бх аг ея, (66) величинУ ю; агхну можно интеРпРетиРовать кан вектоР элементаРных потеРь через границу дйй, а <р =арба — как вектор элемента поверхности.
Замена переменных в ~р проязаоднтся согласно обычным правилам ! е, = — ег„,гтрк,тба Ада . 1!2 рЯ;(а, 1) Аг(х, !), рдг(а, !)=А!(х, !). Обозначив через 19е область, занятую отсчетной конфнгурацней Юе, определяющую движущуюся область Я), з через рз(а) объемную плотность в этой конфнгурацяв, нетрудно преобразовать тройные ннтегрзлы нз (11,!) с учетом закона сохранения массы; получаем б г б г — 4!пи= — 1 рзЯ бее, ( А бе=! рВ!бие.
я ш зв ' д> зь Здесь бее — элементарный объем области Яе; кроме того, как указано з (6) ре=рУ, /=бе!(Р) ага=— дхг дФ; да да (67) Остается преобразовать поверхностный интеграл в (11,!). С использованием внешннх дифференциалов подмнтегральное выражение запишется (с учетом (П,ЗБЦ , в анде С другой стороны, из уравнений (67) н (П1,44) следует выражение 1 1 Рэнфрз 2 елчгГэарейр,т бар Л ба, 2 еойтХ доя л бат —- у~рф, в котоРом фин — втоРаЯ фоРма элемента площади ' д(х)ф.
КРоме того, величины фР"к можно трактовать как компоненты вектора элемента поверхности л„бее, где и„, ф ф в свою очередь,— компоненты единичного вектора, нормального к элементу поверхности д(х)ф, площадь которого боф и который соответствует элементу поверхности дЯ) движущейся системы. Таким образом, можем окончательно написатгс (69) полагая — ~ РфВгбое+ ') Ь!ила доз= ) РфВГ бэф. 61 2 М (71) К такой формулировке закона сохранения могут быть применены общие выводы, полученные в главе!1. Например, а точках, где интегрируемая величина имеет непрерывные производные, соответсэаующее уравнение в частных производных может быть получено сразу (как и а П.3.2): дВг Рф — +Ь!е, е Рейб дг (72) так как субстанциональная производная в лагранжевых переменных совпадает с частной производной по времени, а рф от времени не зависит.
Заметим, что дзох Ьщ, Р= —, причем Ьох выражены в переменных Лагранжа. дпй ' Ч.3.2 Прнлежение к механике сломнмх сред. Уравнения в перемеиимх Лагранжа. К вектору элементарного напряжения тд Т; можно применять результаты (09) н (70). Для этого следует ввести матрицу Пи, называемую матряцей Пиала — Лагранжа, которая дает возможность по-новому представить тензор напряжений: тг оф ффру = Пафраф ф (73) софу=(щР)а, Па=ф'о;уффкй (74) последние формулы можно переписать в матричном виде 72 Тру Т 720Т (75) Напомним, что матрица Т фф поаволяет выразить элементарное напряжение т через вектор фэ элемента поверхности отсчетной конфигурации. Иэ уравнения (72) следуют уравнения сохранения количества движения и лагранжевых переменных.
Прежде всего из уравнения (П1,1) получаем Ре дзз ~рейГ+ГЩ, а (70) дзхг флфф —;фф д(з ' ° н„„...„—,ф ф,„„~ „,ф„„ф,„„, "' Символ Г обозначает здесь матрицу, составленную из элементов Гг„, а нв матрицу. столбец, относящуюся к вектору Т. 113 гагр=э!арж„, Ьга =Ха!/Вау, (70) где Вфф) — элементы матрицы, обратной матрице градиента Р. Итак, матрица Ьох позволяет рассчитать мь используя вектор ~р<, элемента ф поверхности отсчетиой конфигурации по формуле, аналогичной той, которая служит для расчета мг по вектору фрр элементарной поаерхностн а текущей конфигурапии.
С учетом введенных обозначений закон сохранения(П,!)записывается в окончательном виде ность заданных внешних сил ()н= =рбг). Лалее, формула (Ш,2) выражает, как видно, симметрию тензора напряжений, т. е. нуб Вар/а !!«Рна. (77) йноацо,о~о На самом же деле матрица Пиала — Лагранжа не является снмметрнчиой, что ведет к опреде. ленным неудобствам прн се использования. Кроме того, как н матрица Р, матрица Пиала — Лагранжа неудобйа тем, что ее тензорный характер распознается нелегко. Последнее следует хотя бы из присутствия латннского и греческого индексов: первый обозначает операцию в Т (МГ) †линейн касательном пространстве частяцы М в текущей конфигурацнн, а второй относится к операции в векторном касательном пространстве огсчетиой конфигурация.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
