Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 29
Текст из файла (страница 29)
'" В оригинале «материально простые» (ша!енеиешеп! а!шр!еа), однако необходимо согласовать терминологию с принятой е книге К. Труслелла «Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред» (М., !97б). †Пр. ред. 121 ним, если, например, допустить, что функционал 5 ( ) зависит только от функции Ф(а, т) и от частных производных функции Ф(Ь, т) по пространственным координатам Ь, в точке Ь=а системно при т(Г. Гипотеза, которая приводит к понятию простых сред, заключается в том, что для описания поведения достаточно учесть лишь первые производные. Иными словами, для данной частицы а функционал $( ) зависит только от линейных касательных преобразований, соответствующих эволюции частицы, т. е, только от матрицы-градиента Г(т, (), определяющего эти преобразования, или от Р(т) при т(Г.
Очевидно, он может зависеть также от матриц, выражающихся через указанные выше С, )., Е, Ч, )Ч, К и т. д., которые были введены в главе Ч. 71.1.3. Принцип независимости от системы отсчета. Очевидно, что функции Ф (Ь, ( — з), описывающие движение системы, и матрица Е(а, 1), соответствующая теизору напряжений, зависят от системы отсчета, в которой изучается движение. Принцип независимости от системы отсчета угверждает, что функционалы 6 и Б инвариантны при любом непрерывном изменении системы отсчета.
Опишем в общих чертах только одно весьма частное следствие этого принципа — инвариантность относительно выбора начала отсчета времени и рассмотрим две (абсолютные) хронологии 1 и 1, связанные отношением (=1+0, (2) в котором Π— постоянный интервал времени. Знаком обозначены величины, относящиеся к временной переменной 1. Согласно гипотезе, системы отсчета в обеих хронологиях совпадают: 2 (а, г) = Х (а, 1) = Е (а, 1+ О), Ф (Ь, 1) = Ф (Ь, 1) = Ф (Ь, 1+ О).
Так как функционал и не зависит от системы отсчета, то 2 (а, г') = й (а, У, Ф (Ь, ( — ь)), юЬ0 и согласно (3) и (4) можно написать Х (а, 1) 3 (а, Г, Ф (Ь, 7, + Π— з) ), АДЬО или в соответствии с равенством (2) Е (а, () = Я (а, 1 — О, Ф(Ь, С вЂ” з)), аь ~ и это условие должно иметь место при любом значении постоянной О. Так как левая часть не зависит от О, то и правая не будет зависеть от О, и. следовательно, можно сформулировать теорему. Теорема. Функционал Б (и соответственно (г) не зависит явно от времени г. Неявно функционал зависит от времени 1 через функцию Ф (Ь, 1 — з), 122 и можно написать Х(а, С)= Я (а,Ф(Ь,( — з)).
(5) а~ в Ье9гз 1а> В каждом конкретном случае придется лишь проверить (или записать), что функционал ж не зависит от временной координаты. Этот вопрос не будем рассматривать более широко. Ч1.1.4. Неопределенность, вызванная внутреннимн связямн.
Система считается подверженной внутренним связям, если не все деформации возможны (при любых внешних воздействиях). Уточним это довольно расплывчатое понятие и сформулируем более ограниченное е. Определение. Среда имеет внутренние связи, если в любой точке и в любой момент времени компоненты Р, тензора скоростей де4юрмаций связаны одной или несколькими линейными зависимостями. Выше речь шла о двух случаях сред с внутренними связями. Абсолютно твердое тело является средой, у которой все шесть компонентов Ры тождественно равны нулю.
Несжимаемая среда представляет собой среду, где необходимо выполняется условие Рвв О ((11,56) и (1Ч.17)1. Принцип, о котором йдет речь, обобщает классическую формулировку общей механики и может быть сформулирован следующим образом. Если среда имеет внутренние связи, то знания движения системы до момента 1 уже недостаточно для однозначного определения тензора Х(а, 1). Разность Х двух возможных значений Х такова, что в каждой точке возможная объемная мощность внутренних сил, задаваемых тензором Х, равна нулю для любого возможного движения, допускаемого внутренними связями. Если внутренние связи системы выражены уравнениями )., = О, ..., 7.с=О, линейными относительно Рып то необходимо оЫР1 =О для любого множества значений Р,, удовлетворяющих равенствам 1., = О, ..., Ее О, т.
е. согласно известной теореме линейной алгебры (о множителях Лагранжа) будем иметь о,уРО- а31.3+... + Сс,(, где а» а„..., ае — вещественные коэффициенты, и зги равенства должны быть тождествами по переменным Ры, принимаемым за независимые. Таким образом, тензор Х зависит от о произвольных скаляров,. где д — число независимых соотношений, отражающих внутренние связи.
В случае, например, абсолютно твердого тела видно, что все о, (и, следовательно, Х) произвольны. Для несжимаемой среды можно написать (р — произвольный * Несмотря на всю полезность формулировки принпипов, которым должны удовлетворять законы поведения, в рамках данного курса они не могут быть изложены во всей нх полноте. 123 скаляр) пыР» — — — ДР откуда следует, что п,у — рбг, Е= — р1. Таким образом, тензор напряжений определяется с точностью до гидростатнческого давления.
Следует четко уяснить, что такая неопределенность в отношении тенэора Х предполагает формулирование закона поведения для окрестности данной частнпы. При научении движения некоторой системы неопределенность уменьшается благодаря уравнениям движения. В случае же абсолютно твердого тела тензор напряжений совершенно не определен. Однако если днижение известно, появляется возможность рассчитать торсоры взаимодействий [Я Ы) между отдельными частями системы Я (см. 1.4.1), и вти силы являются внутренйими для системы.
В случаедвнжущейся несжимаемой жидкости давление р определяется, как правило, с точностью ао алдитивной постоянной, которая в крайнем случае может зависеть от времени, так что в некоторый данный момент перепад давлений между двумя точками системы 5 оказывается в конечном счете полностью определенным. Однако нельзя. ставить вопрос о том, чтобы точно опрелелить давление в некоторой конкретной точке жидкости, даже если движение известно.
ч'1.1.З. Определение однородной среды. Будем говорить, что изучаемая среда однородна, есле функционал 3 в формуле (5) не зависит явно от а. В этом случае можно записать а(а, ()= я (Ф(Ь, à — э)), (6) эьв ье Tз <в> где T~ (а) — произвольная окрестность частицы а. Заметим, что из этого определения вытекает независимость плотности массы в отсчетной конфигурации от частицы.
Ниже, если только не будет оговорено обратное, все изучаемые среды считаются одиороднымн. Л.1.6. Определение изотропиой среды. Если произвести в заданной отсчетной конфигурации А замену одной системы координат другой в пространстве, где определена отсчетная конфигурация системы, например а=а+Аз, (7) где сэ — некоторый постоянный вектор; А — ортогональная матрица, то в общем случае функционал ж, определяющий Х, меняет вид и становится функционалом ж. Говорят, что среда является изотропной относительно исходной конфигурации, если функционал, определяющий Е, не меняется при переходе от одного репера к другому (7). Таковы принципы, которым должны удовлетворять законы поведения, рассматриваемые далее и, возможно, используемые далее общие определения.
т!.2. жидкОсти Здесь не стоит задача дать самое общее определение жидкой среды — ограничимся лишь классическими или ньютоновскими, жидкостями, законы поведения которых будут подробно рассмотрены в Ч1.2.2. Сначала дадим общую формулировку закона поведения одного весьма широкого класса жидкостей, которые называются собственно жидкостями а. Ч1.2.!. Жидкости. Так называют простые среды, о которых образно можно сказать, что «их память бесконечно коротка». Это означает, что в формуле (б), например, функционал Я зависит только от значений Ф(Ь,( — э) в интервале 0(в(е, где е — сколь угодно малое число. Иными словами, тензор напряжений зависит фактически только от непосредственно близкого прошлого. Сформулируем более строго и более конкретно.
Определение. Жидкостью называется среда, закон поведения которой имеет вид 2=К (О), (8) где К вЂ функц от тензора О (тензора скоростей деформаций). Значения К вЂ симметричн тензоры второго ранга. Очевидно, что закон (8) удовлетворяет принципу причинности и принципу пространственной локализации и даже, более того, он представляет собой закон поведения простой среды с «бесконечно короткой памятью», так как это следует из теоремы, приводимой в Ч.З.
Остается записать принцип независимости от системы отсчета. В 111.2.3 и 1Ч.2.2 отмечается, что Е и О в объективные тензоры, из чего следует, что в двух системах отсчета, взаимное движение которых задается (как в 111.2.3) уравнениями х'=се(1)+Р(1) х, де1(Р) =1, (9) эти два тензора представлены соответственно матрицами Х и Е', Р и Р', для которых Х» РВРт Р» РРРт С другой стороны, в соответствии с указанным принципом должны иметь место соотношения 2» = К (Р'), Е = К (Р), где К вЂ” функция из уравнения (8), которая должна удовлетворять тождеству РК(Р)рт=К(РРРт) какова бы ни была матрица Р в любой фиксированный момент(. Иным словами, функция К (Р)— изотропная функция симметричной матрицы Р. В соответствии с известной теоремой, приведенной в П!.4.5, формула (8) обязательно должна иметь следующий частный вид: В-К„(Оо Ои, Ои,) У+К,(Оп Оп, Оп,)О+К,(О„Оп, ОпдО», где Р„Ои, Ои,— элементарные инварианты тензора О, а К„К„К,— их скалярные функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
