Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 25
Текст из файла (страница 25)
(49) Согласно (20) величина 29(о', си') равна изменению угла между двумя первоначально ортогональиыми напранлениями о' и ю'. В частности, е„равно половине изменения угла между первыми двумя ортогональиыми осями. Очевидно, что квадратичная Я(и) и билинейная 2д) (зз, тв) формы, соответствующие тензору 1л скоростей деформаций, равны соответственно скорости относительного удлинения в направлении и и скорости сдвига между ортогональными на. правлениями йз и йв. Эта терминология основана на результатах раздела ЧЬ. е Связь между билинейной формой н симметричным тензором рзссмотреиз в !11.2.2. Ч.4.3. Некоторые определения.
Для тензоров Ог или вг могут быть применены те же рассуждения, что и для тензора о, в П1.2 и П1.3. Достаточно просто воспользоваться соответствующей терминологией. Собственные значения воч обозначаемые е„а„е„равны главным относительным удлинениям. Три элементарных инварианта даются следующими формулами: е,=в 1 вп — — — (епеуу — аыеуг), (50) ец,— — с(е! (а, ). l Полагаем (51) в,=За, где в,— объемное расширение в М. Такое название согласуется с введенным выше: первый инвариант теизора О О,=О,„=(У,,,=б(.и является скоростью объемного расширения в точке М в соответствии с определениями в параграфе П.10. Тензор в, может быть канонически разложен на шаровую часть н девиатор е=еэ+ ео, или е,.у — — б67 +е;,.
(52) Е сли еп=О, то говорят, что е — тензор равномерного расширения; относительные удлинения равны, квадрика деформаций (определяемая, как в П1.2.1) — сфера (рис. З,а). Если в — главное направление, а соответствующее ему главное значе- 2 П иие является единствеи. ным ненулевым главным значением, то принято говорить, что в определяет простое растяжение в направлении и (рис. 3, б). (Можно также сказать, что 'гензор в является одно- Рис. 3. Деформация элементарного квадрата.' а - однородное расмарсииа; б-чистое расичнранна а а»ар»аленин О а-чистые сданг а ортогоиальнн» напра»лани»а а-н т 707 Замечание.
Само собой раэумеется, что асе определения применимы в случае, если конфигурация системы сравнивается с некоторой особой конфигурацией за (в момент Г=О) или даже с некоторой абстрактной конфигурацией оа (тогда эта последняя должна быль также определена в Я). Предоставляем читателю возможность самому установить свойство аддитивности (39), а также аналогичное свойство для врагцення ~р.
Для этого достаточно сдалась замены в уравнении (43) с учетом того, что компоненты ег н вм имеют порядок 0(Ч), а членами порядка 0(Ча) можно пренебречь. осным с осью а.) Длины элементарных векторов, перпендикулярных направлению и, не меняются. Само собой разумеется, что термин растяжение (или расширение) должен пониматься в широком (алгебраическом) смысле. Если скорость главного ненулевого удлинения отрицательна, то растяжение на обиходном языке будет означать сжатие.
Говорят, что тензор з определяет простой сдвиг двух ортогональных направлений Й, и Й, (оба вектора единичные), если зсе элементы выписанной в ортогональном базисе й„й„й, матрицы деформаций е, равны нулю, кроме двух — е„=з„(рис. З,е). Необходимым и достаточным признаком того, что тензор з — тензор простого сдвига в точке М, является равенство нулю одного из главных удлинений и равенство нулю суммы двух других главных удлинений. Если одно из главных относительных удлинений 'тензора равно нулю, то тензор з называют тензором плоских деформаций.
Плоскость деформаций задается.двумя главными направлениями, соответствующими двум ненулевым главным значениям. Длины элементарных векторов, перпендикулярных плоскости деформаций, остаются без изменений. Н.4А. Уравнения совместности. Несмотря на то что выкладки будут относиться только к тензору скоростей деформаций 0(М, (), они могут быть применены и к тензору деформации е(М, () (при соответствующей терминологии н обозначениях). В каждый фиксированный момент времени скорости деформаций системы 3 определяются полем тензора 0,~(х).
Зададимся шестью произвольными скалярными функциями О, (х) и выясним, могут ли они быть компонентами поля скоростей деформаций. Совершенно очевидно, что нет, так как из формул (1Ч,17) ! Юы з ((7~ у+Уу г) (53) следует, что нужно найти три функции Оо удовлетворяющие шести уравнениям в частных производных (53). Последнее возможно только при выполнении некоторых условий, накладываемых на заданные в левых частях равенств функции. Соотношения, связывающие между собой эти условия, и являются уравнениями совместности, которые необходимо рассмотреть. Рассмотрим сначала вопрос о единственности решения. Согласно теореме, приведенной в 1Ч.2.2, если существуют два поля скоростей, являющихся решением системы (53), то их разность — поле движения некоторого абсолютно твердого тела или, другими слонами, поле торсора скоростей. Если решение существует, то, следовательно, оно должно зависеть от шести скалярных постоянных величин.
Эгот вывод очевиден, так как наложение движения абсолютно твердого тела не влияет на деформацию. Зная О,, найдем теперь О,. Прежде всего нужно рассчитать й, . Из формулй (1Н,19)' известны все производные от й,р Для выпол- пения расчета необходимо н достаточно, чтобы величина (Рсс.р — Рсс,с) ох» или, что одно н то же, (54) е»р»0рсс» пхс (55) была полным дифференциалом. Известно, что величина Асс(х, будет полным дифференциалом тогда и только тогда, когда Ась =А„,„ что может быть также записано в виде з»„А„=О. Переписйзая (54) и (55) с учетом двух последних равенств, получаем Рс +0„,„— 0,, — 0,, О, (56) или зр сз»р»0рс,»с О (57) Системы соотношений (56) и (57) эквивалентны. Формула (57) указывает, что каждая из систем состоит из шеети независимых уравнений, так как левая часть — симметричная по индексам р и й матрица М,„в силу симметрии Ор,.»с относительно двух пар индексов р, з и с), с.
Формула (56) дает возможность легко написать эти шесть уравнений. Связь двух формул 1(56) и (57)] становится очевидной, если записать (56) в виде вассе,с„е,мз» Рр,,», О, (58) что может быть получено н прямым путем (см. задачу 3). Выполнение условий совместности (56) дает возможность рассчитать все величины Иы, и, таким образом, существование поля Рс, являющегося решением (53), возможно тогда и только тогда, когда величина (О, +Ис ) с)хр (59) является дифференциалом поля У,. Это последнее требование будет необходимым и достаточным, если выполняется равенство (опять используем формулу (1Ч,19)1: 0 = е»рс (Рсь с+ ИО, с) = з»сс (Рсс, с+ Рсс, р — Рсь с), ' (60) в котором выражение в последней скобке симметрично относительно 1 и 1, вследствие чего условие (60) тождественно выполнено.
Таким образом, можно сформулировать следующую теорему. Теорема. Для того чтобы шесть скалярных функций Р, =Ррс— компоненты некоторого тензорного поля — были полем тензоров скоростей деформаций сплошной среды, необходимо и достаточно выполнение шести уравнений совместности (56). При этом поле скоростей определяется лишь с точностью до поля скоростей некоторого абсолютно твердого тела. Замечание. Подчеркнем, что данный вывод локальный. Если область 3 односвязная, то результат становится глобальным. В случае же, когда 3- многосвязная область, необходимо дополнительно убедиться, что поле (7с однозначно в 3. 7.4,5.
Линеаризация относительно отсчетной конфигурации. Рассмотрим частный случай применения гипотезы малых возмуще- ний, когда все состояния системы остаются геометрически близки. В этом случае возможен выбор отсчетной лагранжевой конфигурации Яа, близкой к любой текущей. Состояние 3 называется невозмуи(виной конфигурацией. Для четкой формулировки гипотезы, которую требуется ввести, и вытекающих из нее следствий используем обозначения 1(М') = ! (М, !) = !з(х„х„х„!) = ~г (а„а„а„!) (61) для функции, связанной с движущейся точкой, в зависимости от того, определяется она эйлеровыми или лагранжевыми переменными. Если представить формулы, описывающие движение, аналогично (42) хг=а;+Х,(М, !), (62) то переменные Х, будут равны перемещениям относительно 5 .
Предположим, что существует малое число «), для которого Хг=.О(ц1), ~-~ 0(«1), — !"!=0(»)а»), (63) где ! и ໠— некоторые ограниченные длина и частота. Первое соотношение означает малость смещений, второе — малость деформаций н, наконец, третье †малос скоростей или ограниченность частот. Величины 1 и а» введены из соображений размерности и представляют собой характерные длину н частоту движущейся системы. Если, например, 5 — шар (или заполненная сфера), то 1 будет обозначать радиус или диаметр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
