Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Легко показать, что функция Б единственная. Линейное отобра- жение Х- И(Х) определяет, таким образом, тензор второго по- рядка, называемый градиентом поля и в точке М и обозначаемый ти илн йгад и. Если М стремится к М так что —, стремится к некоторому ! мм' ° »мм'1 пределу и (который в этом случае будет единичным вектором), то и(м» вЂ” и(м» 1пп „, =Б(и), так как форма Б непрерывна. Таким образом, Е(и) является про- изводной по направлению и поля и в точке М..В частном случае, если в уравнении (!4) точку М' взять так, что ММ'=ре~, где е — ортонормированный базис, в котором определяются точки М, то легко видеть, что В1',(хь хь хл»Е =и, Е л дк~ г нуь и в более общей форме а(Х) =Хай(е,) = и,,Х,еь (15) Матрица и,, составленная из частных производных от компо- нентов и, представляет в выбранной системе координат тензор дгад О.
1У.2.2. Скорость деформаций. Скорость вращения. Тензор йгадб' может быть каноническим образом разложен на симметричную со- ставляющую 0 и антисимметричную составляющую й: йгад и= О+ (л. (16) Тогда в выбранном базисе имеют место равенства: иь,=0„+а„, и„= — ,'(и,,+и,,»: И,= — ,'(и,,— и,,). (17) Тензор 0 позволяет дать характеристику поля скоростей абсолютно твердого тела. В самом деле, имеет место теорема.
Теорема !. Поле скоростей и в системе Я в момент времени 1 будет полем скоростей некоторого абсолютно твердого тела 8 тогда и только тогда, когда в этот же момент времени в любой точке 3 тензор 0 равен нулю. Как было показано ранее, упомянутое условие необходимо, что проверяется с использованием разложения и„= у, + й,~к~, (18) где У! и И; — некоторые постоянные. Обратно, на основании формул (17) можно написать выражение производных от Иы через производные от Рц. ! Иы.
г= 2 ((/1, Р (//. и) = 1 = —,((/и „+ ии „вЂ” (/ь „— (/,. и) =Ри,,— Р„ь (19) Таким образом, если все Ры равны нулю, то все Иы (вместе с (/, )— постоянные. Следовательно, (/! являются аффинными функциями от хо которые могут быть представлены в форме (18), где У, я И,— постоянные (Иы — антисимметричная матрица), что и доказывает обратное утверждение. Можно также написать уравнение (17),: 1 И! — вм вареОр е= за/~оа, (20) полагая е 1 1 тол= 2 вае (/.
е= 2 заалИлч (29') Вектору оз соответствует антисимметричная матрица, как и в случае (1,38) и (1,39), и, кроме того, м= — (и. 1 2 (21) ж(Х) =Я,(Х)+И,(Х), в котором отображение ж,(Х) определяется е' по формуле Х- ИХ или Х вЂ” +аз/~Х, а отображение вз(Х)-по формуле Х РХ или Х Р(Х). Уравнение (14) может быть теперь переписано в вйде и(мс)-и(М)+ ЛММ +Р(ММ)+(ММ')о(М, М). (22) ° Как обычно, выа — функции индексов Ц /, Ф,такая, что аыз 1(см. П 1.3.!).
Для вывода первого уравнения (29) следует использовать тождество П 1, ЧЗ. че Напомним принятые обозначения: Х-матрица-столбец из компонентов Х; И вЂ” матрица компонентов тензора И; Р(Х) — линейная функция от Х, задаваемая тензором Р. 89 По аналогии с терминологией, используемой в теории абсолютно твердого тела, тензор И называется тенэором скорости вращения, а вектор со — вектором скорости вращения. Что же касается тензора Р, то согласно теореме его можно выбрать таким образом, что он будет определять, насколько в окрестности точки М поле скоростей среды отличается от поля скоростей абсолютно твердого тела. Его называют тензором скоростей деформации. Каноническому разложению (16) соответствует разложение оператора ж (Х): Два первых слагаемых в первой части определяют движенив окрестности точки М как абсолютно твердого тела; третий же член в правой части — основной в определении деформации.
Более точно вектор 0(п) называют лекгпором скорости чистой деформации в направлении и, где и — единичный вектор. Из формулы (22) непосредственно вытекает следующее важное замечание. Предположим, что движение изучается в системе отсчета А' и что 0'(М) — поле скоростей в данной системе. Скорости точек, связанных с системой Я (относительно Я') составляют в момент времени 1 поле торсора 1Ге (М), скорость вращения которого обозначим через е,. Так как сгг(М)=сг(М)+ У,(М), то для движения относительно Л' можно написать формулу, аналогичную формуле (22): 6'(М') б'(М) + (а+ е,) ЛММ'+ Р(ММ')+ (ММ'( 0(М, М'). (23) Таким образом, тензор 0 не зависит от системы отсчета, в которой наблюддют движение; тензор д), следовательно, объективный.
Что же касается скорости вращения, то это необъективная величина, так как е'=е+е,. 17.2.3. Замечания отйосительно определения внутренних усилий. Если ограничиться по-прежнему движением, функции которого имеют непрерывные производные, то в соответствии с формулой (4) можно сказать, что объемная можность внутренних сил — о,г0,) может быть выражена простой операцией (двойной сверткой) над двумя симметричными тензорами, где Е задает внутренние усилия, а 0— скорости деформаций.
Нетрудно заметить сходство с выражением гг. у, определяющее мощность силы гг, точка приложения которой движется со скоростью У, или сходство с выражением, описывающим мощность усилий в движении (1,59), когда тело по предположению затвердевает. В дальнейшем еще не раз будем иметь возможность подчеркнуть важность этого нового проявления двойственности силы и скорости.
Это замечание дает аозможн<ють увидеть второй путь, по которому можно идти, чтобы нсследозать внутренние усилия з сплошной среде, — для этого достаточно заести зти усилия, как и и случае внешних сил, через их возможную мощность. для этого при рассмотрении непрерывно днфференцируемого поля зозможных скоростей 0 придется сначала ввести понятие поля тензора скоростей деформаций, затем ввести знутреннне силы через линейный функционал, который стазнт з соотаегстзие полю" еозможную ыощность агин Ограпнчизаясь, как это принято е механике, случаем, когда такая мощность может быть определена через объемную мощность, должны написать эту последнюю з виде — ог)Р». Теперь можно показать, что огу являются компонентами симметричного тензора Х, имеющего инззрнантный характер.
Тождество (1), примененное к какой-либо части й() системы 3, поззоляет тогда ннтерпретироиать зту мощность как разность мощностей некоторого распределения объемных сил оп г з области Ю и распределения поверхностных сил пцпд заданных на д(й). В любом жестком дзиженин (без деформаций) зоэможная мощность анутреиних сил раина нулю, стало быть, оба распределения сил равнозначны н определяют один и тот же торсор (Ь) ' Возможная мощность Яи> должна рассматрипаться именно как функционал Р (а не втаб й), нбо Яд.
должно равняться нулю для любого поля зозможных жестких скоростей. (Ср. с приведенной выше теоремой 1.) 90 (1.3.2, г). Применим теперь к Ю принпип возможных мощностей; поле 0 тождественно равно нулю в окрестности дЗ. Внешние силы, приложенные к 3, в рассуждениях не фигурируют, и имеет место уравнение (Ртг — уг — оы, у) дг бе=О.
Применяя основную лемму, можно получить отсюдз основное уравнение движения, следовательно, введенный выше торсор [Э[ являешя торсором сил, действующих на Н) со стороны дополнения <9 до 8. С другой стороны, этот торсор может быть определен через поверхностную плотность Тг=аылу в любой точке нв да[). Здесь вновь сталкиваемся с определением вектора напряженна, введенным в начале главы П и послужившем отправной точкой наших рассуждений. Отметим, что очерченный здесь схематически метод аналогичен изложенному в 1.3.2, г при описании торсоров. 1т'.3. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЗНЕРГИИ !У.ЗЛ. Формулировка закона.
Третий из основных законов сохранения механики сплошных сред относится к сохранению энергии и является первым началом термодинамики. Несмотря на то что понятия термодинамики будут даны в последующих главах, будет полезным дать здесь соответствующую формулировку и вывести основные следствия. ПЕРВОЕ НаЧаЛО тЕРМОДииаМИКН. ПОЛНаЯ ПРОИЗВОДНаЯ От ЭНЕРГИИ Оо системы равна в любой момент времени сумме мощности У(е) внешних сил, действующих на систему, и количества теплоты 4, получаемого системой в единицу времени. Такая формулировка справедлива для любой части Ю системы 5.
Для применения необходимы некоторые уточнения и определения. Приводимые ниже определения и уточнения не являются исчерпывающе строгими, но они дают возможность схематизировать должным образом процессы в тех приложениях, которые будут рассмотрены. Энергия. По определению, энергия аг равна сумме кинетической энергии К и внутренней энергии Е. Внутренняя энергия может быть определена через удельную внутреннюю' (или массовую) энергию е (х, 1).
Можно теперь написать для части Я[2 системы 5 следующее уравнение: г(12)) =К(12))+Е(йр) =~, р(а+ —,' и,и,) бп. Скорость подвода теплоты. По аналогии с предположениями относительно внешних сил представляется естественным, что подвод теплоты к системе осуществляется через ее границу (теплота, полученная путем теплопроводности) и, возможно, тепловым воздействиям на расстоянии. Поэтому для части Ю системы 5 можно написать () (й[)) = )заг) да + )э г Ы, (24) ' Более общий случай рассмотрен в задаче 24.
91 или в развернутой форме бг ~,р (е+ э У,У,)' до = ~,(1,0, + г) до+ ) (ТгУ~+д) бп. (26) Здесь имеем дело именно с законом сохранения, относящимся к некоторым скалярным величинам. Этот закон находится в соответствии с общим законом (11.!), если положить е=р(е+ — У,(l~), = — (т,и,+ф)- — (и,огуп,+ ф), А=Щ+г. (27) Следует, однако, заметить, что вти величины зависят от поля скоростей У и, следовательно, как н в общей механике, такие величины, как,ч илн А, считаются известными тогда, когда онн зависят не только от х и г, ио также от !Го Такая зависимость ие уменьшает общности основных результатов главы П, которые сейчас используем.
!Ч.3.2. Вектор теплового потока. Величина а является функцией вектора и. Теорема 3 из !!.3 показывает, что это линейная функция компонентов л;; то же, следовательно, можно сказать и о величине ф; можно написать д= — д,и,= — ~у га. (28) По определению, ~у(х, !) — вектор теплового потока.
Его величина определяется таким образом, что количество теплоты, получаемой телом в единицу времени за счет теплопроводности: з дяг П В случае, если г=О, эта величина равна 4. 'Знак минус вызван тем, что — и — единичный вектор нормали, направленный внутрь «Такой объемный приток теплоты должен приниматься ао внимание в случве, если имешт место аффекты излучения .или если источники теплоты появляются внутри системы в результате химичесних реакций. где д — поверхностная плотность скорости теплового потока (через границу д!я>), отражающая обмен тепловой системы 3 через по- верхность дЮ. Будем предполагать, что д — функция х, ! и единичного вектора и внешней нормали к дзя>, т. е. д(х, 1, и), через г будем обозначать объемную плотность скорости подвода теплоты извне.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
