Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Пусть х" — положение М в момент 1"; можно написать, согласно (2) следующие формулы: Ф' (Мэ Г"ю Г )1 бха = Рар (Мэ Г"е Г ) бхай' 'Т(М, 1', 1): дх~ Ре (М, г', Г)дх', (7) Ю (М 1 1) бх~ Р р (М Г Ф) бх так что Р,р(М, С", Г)=Р„,(М, Г', л)Р„р(М, Ю", Г'), (8) нлн, наконец, в матричном виде' Р (г", Г) = Р (г', 1) Р (Г", Р). (9) Точно так же имеет место равенство Р(1, 0=1, Р(Р, г)Р(г, Р) =1. (19) Равенства (9) и (10) отражают групповые свойства матриц Р.
Из последнего уравнения следует, что если 6(М, 1' ° 1) — матрица, обратная матрице Р(М, Г', 1), то О(К', П Р(1, Р). (11) Представляет определенный интерес вопрос о выражении градиента л~ю ыю ру ю л' 'д ~ „, „,~~,,ру 97 ль паз Пусть уравнение х'=с'(г)+Р(г) х (12) связывает в момент 1 положения х и х' частицы в двух системах координат Я н Яе, а Р(1) — ортогональная матрица. Имеем также равенство х=с(1)+Рт (1) х', (13) где Р" — транспонированная матрица; с= — Р1с' или с'= — Рс.
Согласно формулам дифференцирования сложной функции имеем дк~ дк~ дхг длр д„„" дкl дкр дхв что и приводит к равенству Р (()Р (М 1 1) Рт (1.) или в матричном виде Г' (1', г) = Р (1) Р (1 ', 1) Р г (1'). (14) (15) Зто соотношение связывает представления одного н того же тензора в двух системах только в том случае, если Р (Г) Р (Г'). Позтому избегаем называть тен.
вором-градиентом оператор, осуществляющий отобрюкенне ф(м, г', г). заметим, что прн разлнчающнхся Р (Р) н Р (Г) координаты х' н л" отсчитываются в реперах с равнымн базисами. Зто свидетельствует о том, что запись координат Мм н М' в одном базисе не приводит к существенным упрощениям. 7.1.2. Теизор дилатации. Вернемся к системе отсчета Я и рассмотрим матричные свойства отображения 4У. Если скалярио перемножить векторы 0 и У пространства Т, то в силу (5) имеем и У-и, У,=гг„р„и.и;=С и„'и;, (16) где Сов =р; Р,р. (17) В матричном обозначении появляется произведение Р слева на транспонированную матрицу С= Ртр.
(18) Из (16) видно, что матрица С определяет в пространстве Т' тензор второго ранга С, так как К и У' †векто пространства Т', ибо правая часть †билинейн симметричная форма 6(0', У'), соответствующая этому тензору. Его величина равна скаля рному произведению У. У векторов ег' и У. которые являются образами при преобразовании 4У' векторов П' и У'. Рассмотрим частный случай, когда 0' и У' — единичные векторы «' и зг. Если принять «'=и', го формула (16) дает значение квадрата модуля образом (и'), который обозначим через Ха(«', Г, 1) и который равен значению квадратичной формы 6(«', «'): Хз(«')= 6(«', «').
(19) Тензор Сне только невырожденный 1бе( С=(бе1 Р)з согласно (18)], ио и положительно определенный, так как его квадратичная форма всегда положительна для любого единичного вектора а'. Величину )ь(м') ()ь > 0) называют дилатацией (расширением) по направлению 66', а С(М, 1', 1) — танго))о)н дилатации частицы М за период от моыента 1' до момента 1 (тензор Коши.— Прим. ргд.). Если положить Х(и')=1+6(а'), то из очевидных соображений видно, что 6(и') †относительн удлинение в направлении и'.
Если м' и е' †д единичных ортогональных вектора, то их образы 4Т'(а') и О (т)') †векто У= )ь(м') н 1Т= )((т)') (из пространства Т), где а и е) †единичн векторы. Согласно (16) имеем ( ', ') )и))) ) Если положить (и) т))= л — О, то получим 6(и', е') а мтс,—,' „, =г(а. е). (20) Величину у(а', е') называют сдвигом орпюгональи(нх налраолг. ний а' и т)' за период времени 1' и 1. физический смысл Х, 6 и у ясен из рис. 1. а) Рнс.
1. Днлатвннн )( н относительное удлинение Ти и-в иаираиленни ОЧ ! О ! Х ! О'! и(1+6) ! О' 1, в навравлеиви Ь ! 1" ! (1+6) ! Р' 1; б-гдвиг между ориг генальнммв вавраалевнимм О' и Гч т а Пдостролсл) бо Т' Просаролонбо Т (б л)очно )ь)"! (б л)очно р(г) ' Более детальный равбор хан в П. 1.4. Ч.1.3. Расширение и вращение. В силу симметрии тензор С имеет по меньшей мере один главный ортонормированный базис йы Ф;, й;, причем остаются в силе определения и свойства, выведенные в 1П.2.4' для тензора напряжений. Положим (рнс. 2): Кл )) (йл) К К=(Я (йл) =)ь(йл) йр (211 (разумеется, по индексу р никакого суммирования не производится) Можно сделать следующие выводы. 1'.
Векторы йр(р= 1, 2, 3) образуют ортонормированный базис в Т. В самом деле, если (р~()), 6()сл, Тс;)=О, так как Ф; — главный базис для С. Тогда в силу (20) Кр К,=О. Кроме того, )ь(й;) — модуль К, что следует из определейия величин Х, и тогда Фр — единичный вектор. 2'. Соответствие йл К' однозначно определяет в Т' линейное Поостранст<<о 7 К, Пространстпо 7 Ф точке Мс) (и точке М9 Рас. 2.
Полярное риэлод<енне митриям градиента: Обовначенне Отображение Определение Матрице Конвенции а<м <. и т т с<'- к р<м <, о Правое расширение йте<м, <', о т' - т' и< к< ч< <м, <', о Левое расширение .ро<м,<,о т — т о, к, ч<м,<',о Вращение Я<м<,о т — т т ' ' а<м<,о < е ! отображение, называемое расширением справа Х' с)" или б" = Нт" (Х'), такое, что К,' <с" (йр). Определенный таким образом линейный оператор является симметричным тензором второго ранга %' в пространстве Т', для которого базис Ф' объявляется главным.
Более того, ртв С, что можно проверить, если перейти к главному базису Ф;. Иными словами, в любом базисе из пространства Т' и, в частности, в системе отсчета Я имеют место равенства С = р р = Юи С„= йт„ч йт (22) 3'. В пространстве Т соответствие Фр Кр определяет линейное отображение, называемое расширением слева Х Дили П=Фо(Х). для которого Кр Ф~(Ф ).
Определенный таким образом линейный оператор является симметричным тензором второго ранга р (в пространстве Т). 4'. Линейное отображение Т' в Т, т. е. Я(М, г', с), определяемое тремя соотношениями Ф; й, задает также отображение К' — Кр. Отображение Я(М, <', <) пространства Т' в пространство Т является изометрическим, его называют переносом с чистым вращением или проще — вращением частицы М между моментами т' и <. Если векторные пространства Т' и Т изучать в одном и том же базисе, например, в базисе системы Я, то зто линейное отображение Х' — Х, осуществляется с помощью матрицы й<(М, <', <), для которой Хе= К,„Х..
(23) Матрица )ч<<„-ортогональная, ее называют матра«ей вращения. 5; Преобразование 4Р (М, с', г) может рассматриваться либо как произведение расширения (/' й<т (д<< ) на вращение Я (М, с', <), либо как произведение вращения Я(М, с' ° с) иа расширение 0- Уо(6). В базисе А это может быть записано следующим образом: Р=ЯЖ=НЯ. (24) Напомним, что % и Н вЂ” две известные симметричные положительные матрицы, й — ортогональная матрица и, кроме того, согласно (6) н (24) йе1(К)=1. Формула (24) дает два полярных разложения матрицы Р. Приведенное рассуждение обнаруживает существование такого разложения и, более того, его единственность в том случае, когда тензор С имеет различные собственные значения.
Этот вопрос можно поставить прямо. Если существует некоторая ортогональная матрица И и заданная положительная симметричная матрица Иг, такая, что Р=ЙИГ (Р не вырождена), тогда С вЂ” рт р — %от И% — Игз Следовательно, %' будет матрицей тензора Иг, для которого ИГз=С. Любой главный базис тенвора ИГ является также главным базисом С и собственные значения С (положительиые) суть квадраты собственных значений Иг. Так как зги последние — положительны (ИГ, по определению, положительно определен), то они определяютси однозначно.
Тензор Иг н матрица %, если только они существуют, определяются однозначно. Но тогда матрица и (если оиа существует) равна РИГ-' и, таким образом, определяется также однозначно. Это утверждение будет доказано, если И вЂ ортогональнз. С другой стороны, имеют место. следующие равенства: (РИГ-г) (рцг-г)т — Рцг-гцг-грт — Рс-грт — РР-з (рт)-г Рт к тому же (Рцг-г)т (Рцг-г) Иг-зрт Р1н-г Иг-гС1п-г Иг-хцгзц1-г откуда и следует справедливость высказанного утверждения.
6'. Из (24) можно получить транспонированием Рт = 11()рт — ит Н, и так как )1 — ортогональная матрица, то РТР= )Уз=С, РРг =Н*=В. (25) Выражать компоненты ТН и Н по формулам (1) неудобно. Компоненты С и В, напротив, легковыразить через частные производные Рг, как это следует из (17), и из формулы, полученной на основанпи уравнений (25): ВО = РГирГо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
