Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Образы одноосных тензоров лежат нз координатных осях Оаь Оое, Ооз. Образы асесимметрнчных тензоров (которые можно рассматривать кзк сумму одноосного и шарового тензоров) лежат в плоскостях, проходящих через прямую Ь и трн коардинзтные оси. Образы девнзторов зтих тензоров находятся из асях Оаь Оп„оаз, являющихся ортогонзльнымн проекциями коордннзтиых осей нз плоскость П (рис. 9). бг-бт= бх Рис. 9. Изображение ген. воров на плоскости П. Жирной чертой паквзевы од. иоосяые тевзоры: пувктврон-тевзорм чистого сдвиге; ж„тз, ...-проеквви вв плоскость П жести обрезов гекторе.
вунерзцвя глззныв пзпрввлеввй ноторого не уквзевв Рис. 1О. Шестиугольник Треска. Круг Мизеса. Чертеж сделав дхя случая а У 3 З У 2. Точке А соответствует тензору чистого сдвиге а, О. а, -а, Згзз точке А1-тев- воРУ чвстого сдвига азыа, аз -а,=з У 3 Образ тензора сдвига, являющегося суммой двух одноосных тензоров разного знака, лежит в плоскости П на одной из трех прямых Обт, Обт, Обв, например Обз перпенликулярна Оаз, н является также биссектрисой угла, образованного Оаз и полупрямой Оаз, противоположной Оаз. В некоторых задачах приходится иметь дело с тензорами, у которых инвариант 711 згувгу=- — 2811 зт+ вз+ 4 (43) всегда меньше заданной величины йз; образы таинх тензоров лежат внутри кру- гового цилиндра радиуса д, для 3 которого прямая Ь является осью так называемый цилиндр Мизеса).
рамос сечение цилиндра плоскостью П дает круг Мизеса (рпс. 10). Теперь охарактеризуем тензо- ры напряжений, у которых модуль вектора касательного напряжения был бы аля любого направления меньше некоторой заданной величнны. В соответствии 11! 112 с результатами, полученными в 111.2.9, должно выполняться равенство 0 бг 002 впр ) а1 — ау ) ы; й, (44) где й — заданное напряжение. Множество образов таких тенРис. 11.
Изображение тензоров на плоско- воров представляет собой цилиндр, стн П ограниченный алоскостями оы=а,л,+а,а,+а,ве а — а =-~й, Точке ж вз чертеже соответствует теязорзм, / дня которых з, 2, зз=о з, -1; например а, О, аз -2. а,=-з; ~очке з с)тответствует которые в проекции на плоскость теиэорыз, для которых з, 2, з;-1. з,=-1; П дают правильный. шестнугольтеизорзм, длв котормл з, О, з, 2, з,=-2; взвзпрнмер а, 3, а, а, о; точка с соопитстеуст ник, стороны которого, очеви дно, прям а,-з, 'а,-'а, а, '2 ' ' параллельны осям Оаз (плоскость, проходящая через Оаэ н прямую Ь, нмеет уравнение аэ — аа 0). Такой шестнугольннк называетсв шестиугольником треска (рнс.
1О). Изображенне на плоскости й может быль уточмено с помощью следующяя результатов. Пусть Ь! — проекцнн единичных векторов й! осей Оа! на Оаг, тогда ОМ аэйг+аэйэ+аэйэ: От =пад,+агйэ+аэйе — — з!А! = егй! н точка т строятся очень легко (рнс. 11). Пусть т! — проекпня точки т плоскости П на ось Оаг, тогда Отг=ег!э2-г!э (задача 19).
Иными словами, круг, диаметр которого равен От, пересекаетосн Оа! в точках, абсциссы которых пропорциональны з!. Ш.б. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОЛЕЙ НАПРЯЖЕНИЙ ЧЕРЕЗ ФУНКЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ В предыдущей главе было показано, что в некоторых случаях можно уменьшить число кннематнческнх нензвестных — число неизвестных компонентов око. ростей — путем введення функции тока, которая описывает поля скоростей, удое. летворяющне уравнению неразрывности. Такую же операцню можно провести н с напряженнямн.
Приведем два известных случая '. Для простоты ограннчнмся зздачамя равновесия н предположим также, что объемные снлы у! равны нулю. П!.6.1. Функция напряжений в задаче о арученнн. Предположим, что все кампо. ненты агу равны нулю, кроме аге н а,з, которые зависят только от хэ н к,. Тогда два первых уравнения равновесия выполняются автоматически, третье же уравненне прнннмает внд агэ э+аээ з О, нз которого следует сущестеованне некоторой функция 6(хм хэ), определяемой с точностью до постоянного слагаемого, для которой де=аж дхэ — аээ бхм от=ел, ат= — ем (46) Функцня В(хы кэ) является функцней напряжений, через которую ненулевые компоненты тенэора напряженнй выражаются формуламн (46). Предположим, что в цилиндре 8 с плоскнмн торцами Ее н Ем уравнення которых ха=О н хэ !(! > 0), образующие боковой поверхности Еэ параллельны осн хэ, реалнзуется данное поле напряженнй.
В любой точке Еэ вектор напряженнй в направленнн нормали (л~', л„О) коллннеарен ося хэ н т, а,зла+пыла=еллэ — Вдлэ. Обозначим через Я() прямое сеченне цнлнндра, а через д(Е) — его гранину. Если 0 постоянно на д)ц), то йгзб6 я л коллннеарны в любой точке на Еэ, в, следовательно, согласно уравнению (14) Р О, т. е. боковая поверхность Еэ является свободной. В одной нэ точек на поверхностн Еэ выполняются равенства лд лэ О, лз= 1; тогда компоненты вектора налряженнй т,= „=е,;, т,- „- — е;, т,=о. Поверхностная плотность Р внешних снл, приложенных к Еь направлена по касательной к торцу Еп Предположим' для конкретности, что В 0 на границе дй() (такое предположение не ограничивает общности, так как функция 0 определена лншь с точностью до постоянной).
Легко вндеть, что момент определяемого таким образом торсора коллннеарен осн хэ н равен Мез, где М=2 ~ еда. ь Боаее общнй вывод будет дан з упражненнях (задача 24). В самом деле, в отношении главного вектора можно сказать, что его кампо.
менты равны нулю, так каке Олбаив — ~ бдив, ~ 8лба ~ Одхв, согласно предположению 8 равно нулю на дЯ», являющейся границей Я. Что же касаетсп главного момента в точке (х,=хе=О. хв=!), то его компоненты по осям х, и хв равны нулю, а по оси хв имеем М ( (аваев — х,ащ) да= — ( (х,ба+хаба)ба. ,)Ю зю Так как «,Ол+х,бл = (х,б) д+(х,б) л-йб, то имеет место равенство М = 2 ~, О ба — ~, ((х,б)л+(хвб) в) да 2~ Ода+~ 8(х,бх,— х,бхв), что и дает нвм приведенную выше формулу (с учетом, что 8 равно О вдоль д(5).
Понятно, что для поверхности Хв получим такие же результаты, так как усилия Р противоположны усилиям, приложенным к поверхности Хв (на поверхностй Хв имеем п, ив=О пв= — !). В аанлючение можно сказать, что в случае, когда объемные силы у равны нулю, функция 8(хы хв), определенная в области Я9 и равная нулю на границе дЩ, позволяет построить в теле д поле напряжений, находящееся в равновесии с внешнимп силами, приложенными к плоским торцам Х, и Хв.
Внешние силы характеризуются моментами Мав и — Мав (боковая поверхность является свободной), Из очевидных соображений в атом случае говорят, что к основаниям цилиндра ,приложены два крутящих момента, причем значение М дается выражением (4У). П!.8.2. Функция напряжений Зрн, По-прежнему будем считать, что объемные силы у О. Кроме того, допускаем, что агу завнсвт только от хв н хв. Докажем, что сУществУет фУнкцив напРЯженнй Х (х,, хв), называемаЯ фуикЦиейЗРи и опРеделенная с точностью до полииома первой степени, такая, что вв аы=Х,вв' авв — Х,вв' авв=Х,вв. (48) Есин в каждой точке тела 3 тензор напряжений являетса тензором напряжений, параллельных плоскости ха=О, и вто поле инвариантно относительно поступательного перемещения параллельно оси хв, то приведенные формулы полностью определяют поле напряжений в точке Ю через функцию напряженнйЭри.
В атом случае говорят, что поле действующих на тело напряжений — плоское. Доказательство строится по тому же принципу, что и выше. Двз первых уравнения равновесия запишутся сведующим образом: амл+ав,л -— О; а,вд+ащл-— О. Из первого уравнении вытекает существование некоторой функцинф(хв, хв), определенной с точностью до постоянного слагаемого, для которой авв дхв — авв дхв = дйн мз второго — существование функции ф (х,, хв), определенной с точностью до постоянного слагаемого, для которой — авв дав+аж дх, = бф; ь Здесь используется тождество в Р див+Я дхв В Я,в — Рл) да, являю,) дп звв щвеся частным случаем формулы Стойса.
вв Очевидно, что авв н аы могут быть выражены, как и в уравнении (48), через некоторую функцию напряжений кручения 8. следовательно, пы =1Рл, 'пы ф.б — пы ~Рд = фа. Последнее же равенство, в свою очередь, требует, чтобы сушестаовалз некоторая функция )((х,, хз), определяемая с точностью до полинома первой степени (так как <р и ф определены, в свою очередь, с точностью до постоянного слагаемого), для которой фдх,+9бхз=бХ' ф=кх; Р Хз что и требовалось доказать. !Н.б.
СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ КОМПОНЕНТОВ ТЕНЗОРА НАПРЯЖЕНИЙ и получим (хгп;а+хвоя) бо $ хахг!г бо+ $ хахгрг бп. (61) Из зтнх равенств легко найти значение моментов первого порядке компонен- тов тензора напряжений в начале координат, иными словами, Гма = ( хгпгь би. зз В самом деле, обозначив через Аап правую часть уравнения (61), можем написать следующее равенство: Гма+Гьп = Аа», а также путем перестановки индексов равенства г,„,+г,„,=л„„; г„„+г„„=л„„. Складывая два первых уравнения и вычитая из их сумм третье, получаем с учетом того, что Ггш=Ггы, 2Гиь Аы + Аыа — Агаг Для простоты проведем ваши рассуждения относительно некоторой системы 3, нзходяшейся в равновесии под действием объемных у и поверхностных сил Р, цпределенных на границе д5 системы.
Отправной точкой послужит следукнцее простое замечание; если 1р (хм хз, хз)— скалярная функция, непрерывно дифференцнруемая в 8, то (фпО). у ф, упО+фпбч ! ф. упи-ф(г причем последнее равенство является следствием уравнения равновесия. Проня. тегрировав по 8 первую н последнюю части этих равенств и применив теорему Гаусса †Остроградско к левой части с учетом граничного условна (1о), получим ~лф.Упцбо ~ Фгбо+~злфргбо (49) Если, например, принять ф=ха, ф у бау, то будем иметь огайо=~ хз(гбо+~ хаггбп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
