Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Теорема об изменении количества движения выражается следующим равенством, вытекающим из (16) и (17): [ ™~, ~ ) +[РСУШ и)1ав=[Т1ал+Ща. (18) Эта теорема особенно важна при решении некоторых задач об определении торсора сил воздействия на твердые стенки. В качестве примера рассмотрим жидкость (злн газ), заполняющую зсе пространство, в которую погружено неподвижное твердое тело В (рнс. 4), и предположим, что жидкость находится встационзрном движении, ннымн словами, будем считать, что все частные производные по времени от функций, описывающих движение среды, равны нулю.
Пусть )2) — объем среды, заключенный с одной стороны между поверхностью тела дВ, и с другой — некоторой поверхностью Е, окружающей .в тело В. Согласно (!!.!.Ьторсор 1)г') воздействия среды на В, противоположный познакуторсору воздействий тела В на непосредственно прилегающую среду, может быть записан в видеч Рна. 4. Применение теоремы об изменения количества движения с помощью введения контрольной поверхности Е, см.
формулу ((9) (У 1 — (г)зн. ч Напомним, что Т вЂ” вектор напряжений по направлению л, направленному вне области Ю. 70 В самом деле согласно (П,7) главные векторы справа и слева равны. То же можно сказать и о главных моментах относительно точки О, если учесть, что ж(ОМ Л РО)=ОМ Л а! (РО), С другой стороны, так как дввженне среды стационарно, а тело В непо. двкжно, то на поверхностн дВ согласно П.4.3 имеет место равенство (Г л О. Уравненне (18) приводит тогда к искомому результату: щ-[у] +[у]х — [ри(и И,. Справа известен член [у]В н достаточно, таким образом, найтн значения око. рости н напряжения на некоторой поверхности Х, окружающей тело В, чтобы рассчнтать воздействне среды нз зто тело. Заметим, что прк у'=0 правая часть равенства (19) не завнснт от того, какая поверхность Е выбрана.
С другой стороны, [Я'] зависят только от характернстнк двнження на пронавольно выбранной поверхности Е, включающей в себя препятствие в виде тела В. Иногда говорят, что Е является контрольной поверхностью. 111.з. лОкАльные сВОЙстВА тензОРА нАпРяжений Поставим задачу изучить тензор напряжений в некоторой внутренней точке системы 5. Не ограничивая общности, эту точку можно принять за начало координат О. Обозначим через Т(и) вектор напряжений в этой точке для направления и.
Речь пойдет в основном о применении самых известных и общих свойств симметричных тензоров второго ранга. В случае необходимости дополним их некоторыми понятиями, полезными при изучении напряжений. При необходимости можно обращаться к соответствующим выводам главы, посвященной тензорам (П[.4). Ш.2.1.
Квадратичная форма, соответствующая тензору напряжений. Нормальное напряженке. Тензор напряжений 2 является линейным оператором, который ставит в соответствие любому вектору Х другой вектор [его можно обозначить Х(Х)]. Таким образом, тензору можно поставить в соответствие квадратичную форму Я(Х)=Х 2(Х). Выписав это равенство в ортонормированной декартовой системе координат в развернутом виде и обозначив через о, компоненты 2, а через опХг — компоненты тензора Е (Х), получим () (Х) = Хр,.~Ху — — о„Х', +о„Х,'+ о„Х',+ 2О„Х,Х;+ + 2о„Х,Х, + 2о„Х,ХО При использовании сокращенной записи, когда Х обозначает матРицУ, составленнУю из 'элементов осо а Х вЂ” матРиЦУ-столбец, составленную из Хо и Хт — транспонированную матрицу-строку, составленную из Хп получим еще одну форму Я (Х) = ХтЕХ, (21) Т где справа стоит произведение матриц.
Принимая такие обозначения и считая и единичным вектором, получаем л (и) = Т(и)— вектор напряжений для направления и, причем (~ (и) — компонент вектора Т(и) по направлению и. Полагаем Т„=и Т(и); по определению, Т„является нормальным напря- жением по направлению и (рис. 5). Приия- рнс. б.нормальное н като говорить, что в этом направлении среда сзтельное напряженна 7! растягивается или сжимается в зависимости от того, является ли Т„положительным или отрицательным. Термин «нормальное напряжение» напоминает о том, что речь идет о том компоненте вектора напряжений, который перпендикулярен элементу поверхности, испытывающему воздействие напряжения Т(п). Это понятие подводит нас к необходимости определить тангенциальное или касательное напряжение, называемое также напряжением сдвиги или просто сдвигом.
Это вектор пта Рнс. 6. Квадрнка напря- женнй ) Т) (рЬ)-з Т, = Т(п) — пТю лежащий в касательной плоскости, перпендикулярной а и содержащей элемент поверхности, на который действует напряжение Т. !И.2.2. Билинейная форма, соответствующая теизору напряжений.
Соотношения симметрии. Преобразование осей. Тензору напряжений Е можно также поставить в соответствие билинейную форму )В (Х, У), соответствующую квадратичной форме (г (Х), которая каждой паре векторов Х, У ставит в соответствие действитель- НОЕ ЧИСЛО1 9(Х, У)= У Х(Х) =Ур, Х =Хго, У =й)(Т, Х). (22) Последнее равенство вытекает из симметричности матрицы о, . Если, в частности, п и п' — два единичных вектора, то я) (а, и') = я) (и', п) = п' Т (а) = а Т (п'). (23) Таким образом, проекция вектора Т(п) на а' равна проекции Т(п') на и. Данное соотношение симметрии является обобщением результата (1!).
В самом деле, если и, единичные векторы коорди- е Квадрнкн — поверхносгв второго порядка.— Прим. перев. Квадрнкн напряженна *. Речь здесь пойдет о геометрическом представленнн векторов напряження Т прн переменных л, По определенню, квадрнкн напряження (О) задаются рравненнямн оызгзу Э 1. Пусть Р— некоторая точка квадрвкн (<~); если положить ОР=рп, то получим Рзг( (м) ю1, Р так что длина вектора ОР,оказывается непосредственно связанной с нормальным напряженнем. Ясли знак Т„ не меняется прн нзмененнн Р (нлн и), то существует одна квадрнка, которая в этом случае будет зллнпсондом. Яслн же, напротив, Т„ нрнннмжт н положнтельнме н отрнпательные значення, то обе квадрнкн О представляют собой сопряженные гиперболоиды.
Можно убедиться (задача 12), что вектор Т(н) перпендикулярен касательной к квадрнке (О) плоскости в точке Р н что имеет место равенство 1 Т) (рЦ т, где Ь вЂ” расстояние касательной плоскостн от начала координат О (рнс. 6). ватных осей, то о, -В(еи е,). (24) Формула (24) приводит непосредственно к формулам, позволяющим выразить тензор Х в новой ортонормированной системе каординат*. Пусть е' (р = 1, 2, 3) — единичные векторы новой системы.
Обозначим через Р ортогональную матрицу, позволяющую выразить е'„ через ер пп = Рргег (25) Пусть также о',— компоненты матрицы напряжений в базисе е,'. Тогда в силу свойств линейности имеем паз=6(еа, еа)=Т(Р„е„Ра е)=Р,,Р, 6(ео Еу), о,'„= РргРеуо, . (26) Используя матричную запись, этот результат перепишем в виде Е' РЕрт (27) Нетрудно видеть, что Е легко выражается через Г, так как с учетом того, что базисы е, и е,' — ортонормированные, матрица Р является ортогональной (РтР=РР7.=1). Умножая обе части равенства (27) слева на Рт, а справа на Р, получим Е РтГР, ог Р,гР уо,'„.
(28) ! П.2.3. Переход к новой системе координат. Полученный результат может быть обобщен, если движение сплошной среды наблюдается в системе координат яе, находящейся в произвольном, но известном движении относительно системы отсчета М. Таким образом, система отсчета М' не обязательно галилеева. Наши рассуждения базируются на одном фундаментальном утверждении, на которое обращаем особое внимание и которое составляет, строго говоря, аксиому, имеющую очень большое значение для характеристики внутренних усилий. Эта аксиома называется аксио.
мой объективности внутренних воздействий: внутренние воздействия ие зависят от система отсчелга, в которой наблюдается движение. Как указано в главе.1, такая формулировка вполне совместима с информаКней, которую можно навлечь иа применения основного закона к внутренним аоадействиям в системе 5. действительно, независимо ог системы отсчета основной закон может быть записан в форме, аналогичной уравнению (161: 171ав'=1,~)в-р1дь при условии, что слагаемое 11)дь предстзвляюшее действие внешннк относительно о снл на область хо, будет содержать переносную и кориолисову силы ннерпии. Правая и левая части раненстаа, выражаюшего торсор сил, дейсгвуюшик на область 19 со стороны дополнения Гй до системы 5, в этом случае не зависят э Ниже кратко напомним весьма простое рассуждение, из которого следуют формулы преобразования базиса (см.
также П!.2.3). 73 от системы отсчета (но каждый нз членов правой части зависвт от системы отсчета). Аксиома обьектнвности является одновременно общей н локальной формами глобального результата, который только что установлен для произвольной части системы 8. В интересующем нас случае формулировка аксиомы о независимости внутренних сил от системы отсчета подразумевает, что в любой данной точке и для любого фиксированного момента времени тензор напряжений не зависит от системы отсчета, в которой наблюдается движение, т. е.
внутренние воздействия определяются всегда тензором Е. Точнее, если х' = с' (1) + Р (1) х, х~ = с~ Я + Р, (1) х (29) представляют собой координаты в системе отсчета М' частицы, которая была в точке Я в момент времени г в системе координат А (обе системы отсчета Я' и М вЂ” ортонормированные, а Р†ортогональная матрица), то для любого момента времени 1 можно написзть, как и для уравнения (27), т. ° РВрт (3)) При матричной записи тензора напряжений в форме Е и Хе это равенство отражает свойство объективности, присущее тензору, Трудно переоценить значение этого свойства. Работа большинства нзмери.
тельных приборов основана на неявном использовании змеино аксиомы обьектив. ности. Допускается, например, что удлинение эталонного динамометра дает возмож-, ность определить приложенную к одному нз его концов силу в любой системе отсчета, в которой дннамометр находится в относительном равновесии, будь то земная лаборатория нли летящий самолет. Но такое удлинение связано с растяжением или сжатием динамометра (внутренние силы), которое согласно закону статики равно внешней силе, которую хотят измерить. 111.2.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
