Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Главные осн. Главные нормальные напряжения. Применим к тензору иапряженегй в некоторой точке О хорошо известную теорему (приводимую в П1.4.4). Существует по меньшей мере одна система отсчета, называемая главной, в которой матрица, представляющая этот тензор, является диагональной. Если какая-либо система отсчета х, является главной, то эта матрица имеет форму (:":":.) Три скалярные величины о„о„о, называются нормальными напряжениями или собственными значениями тензора Х в точке О.
Главными осями тензора напряжений называют направления а, для которых Т(а) и н коллинеариы. Иными словами, направление является главным тогда и только тогда, когда касательное напряжение для этого направления равно нулю. Если величины о„о„о, различны, то оси хг определяются единственным образом. Если, например, оа=оаФо, (квадрики (Я)— тела вращения|, то главными осями являются ось Ох, и любая прямая, выходящая из точки О перпендикулярно Ох,. Нормальное напряжение для этого направления имеет значение от=па. Выражаясь образно, можно сказать, что тензор Х вЂ” теизор вращения.
Если о,=о,=о„то (1Е) — сфера и тензор называется исарввым. В этом случае любое направление, проведенное из точки О, — главное. Если же система (х;) не главная, то величины о„о„о, будут, как мы знаем, равны корням уравнения де1 (о» вЂ” об, ) = О, (31) где 6Π— диагональная единичная матрица. Все корни уравнения (31) — вещественные. Это уравнение является следствием того, что система о, и — оп1 —— О, выражающая ксллинеарность Т и п, допускает одно нетривиальное решение (н). Это решение, соответствующее корню о, уравнения (31), определяет одну или несколько главных осей, соответствующих данному корню.
Ш.2.5. Скалярные инварианты тензора напряжений*. Главные нормальные напряжения о„ о„ о, с точностью до нумерации представляют собой иеизмеинйе величины, соответствующие тензору напряжений. Поэтому любая симметричная функция аргументов о„ о„о, определяет некоторую неизменную величину, также связанную с тензором напряжений. Как известно, любая рациональная симметричная функция аргументов о„о„о, может быть рационально выражена через симметричные элементарные функции: Х, О,+О,+О„Хи О,ОЬ+Ояве+Оаао ЕП1 —— О,аяв„ которые называют влементарнылеи инварианталаи тензора Х. Такие инварианты могут быть легко рассчитаны на основании компонентов о, тензора в любой ортонормированной системе координат.
В самом деле, имеем де1 (о,. — об, ) == — (о — о,) (о — о,) (о — о,) = — о'+ Е,ое — Епо + Хп1. Приравнивая коэффициенты при различных степенях о ", получаем 1 Е, о;, Хп = — (опо — о11од), Е, и — — с1е1 (оы). (32) Можно также убедиться в том, что правые части равенств (32) не меняются при замене оа на оп, где о)1 — компоненты (26) тензора напряжений в другом ортонормироваином базисе. П!.2.6. Девнатор напряжений. Величина в, определяемая равен- ' В П1.4.3 будут даны дополнительные сведения об инварнантак. '" Можно сделать непосредственное рааложеиие или воспольаоваться формулоа (П1,44), см. также П1.4.3. 76 ств ом Зз = о(+ а, + а, = Х„ (33) называется средним нормальна(м напряжением.
Шаровой теизор Хз, задаваемый преобразованием А зА, называется шаровой частью тензора Х. Тензор Хо, для которого* Хе+Ха называется девиатором тензора Х. В ортонормироваином базисе компонентами тензора Хз являются збьо а компонентами тензора Х(з служат величины з;, определяемые из равенств з» вЂ” — ໠— зб».
Отсюда можно сделать следующие выводы: главные направления тензоров Х и Ха совпадают, собственные значения теизора Х" определяются по формуле з,=а( — 3; (35) первый из трех элементарных инвариантов Хо(, Ха((, Ха, тензора Ха, т. е. Ха, равен нулю. Ш.2.7. Круги Мора. Квадрики напряжений уже дают нам полное геометрическое представление о тензоре напряжений. Круги Мора, не давая полного представления о тензоре, тем не менее иногда оказываются весьма удобными для рассуждений. Определим в пространстве главный репер (х() с началом в точке О и пусть и— единичный вектор, компоненты которого пг Тогда компоненты вектора Т(п) будут равны соответственно а(п„ озп„ азиз и, следовательно, Т„= о,п', + о,п', + о,п',.
(36) Обозначив через Т, модуль касательного напряжения по направлению и, получим равенство Т( + Тз азпз + озпз + азиз (37) Поставим такую задачу: пусть тензор напряжений в точке О известен, а Т„и Т, (Т,)0) произвольны. Можно ли найти такое направление и, для которого принятые нами значения Т„ и Т, будут соответственно нормальным напряжением и модулем касательного иапряжеиняр Ответ прост. Составим систему из трех уравнений: (36), (37) и (38) ( =п1+(аз+% (38) относительно квадратов единичных векторов, Искомое направление существует тогда и только тогда, когда система имеет решение, причем найденные значения неизвестных положительны или равны нулю.
* Ннже будут использоваться также обозначения оз=з н ш(=з(р Точно а так же для сбозначення деенатора Еа тензора Е будем применять иногда снмвол о. Указанная система решается легко. гг Пусть а, Ь н с — некоторые постоянные (пока произвольные), а выражение ~ ($) =сР+а$+Ь (39) есть полянам второй степени. Умножнм левые н правые частн уравнений (36), аэ аг (37) н (38) соответственно на а, Ь н с н сложим результаты.
Получаем Рис. Ч. Круги Мора ) (о,) и',+) (о,) и,'+~ (о,) и',='Г(Т„)+сТ*,. гл (40) Предположнм, что величины о, не равны между собой. Тогда для нахождения и', достаточно взять в качестве ) ($) полянам ($ — о,) ($ — о,), который как раз совпадает с уравнением (39). Получаем Тгг+(҄— а )(Т„-а,) Иг = (аг — аи) (аг — аа) (41) что можно установить, подставляя в уравнение (40) сначала выраженне )".($)=$ — о„а затем )($)=$ — о,.
Само собой разумеется, что прн а, а,=а„=э задача нмеет решение только прн Т„= и н Т, =0 н тогда и может быть взято произвольным. Производя круговую перестановку индексов 1, 2 н 3, получаем выраження для л', н л',. Остается убедиться в том, что найденные значення неотрнцательны. Предположим для определенности, что о, ) о, > о„тогда должны удовлетворяться следующие неравенства: Т',+(҄— а,) (҄— о,) ~;0; Тг+(Т ои)(Т аД~ 0; Т'.
+ (҄— о ) (҄— о ) ) О. Этн неравенства легко представить в полуплоскостн (Т„Т,~О): точка с координатами (Т„, Т,) должна находиться в заштрихованной части, ограннченной тремя окружностями, называемыми кругами Мора (рнс. 7)'. Ось Т„проходят через центр трех окружностей, окружности попарно касаются друг друга. Абсцнссы точек пересечення окружностей с осью Т„равны по велнчнне главным нормальным напряжениям. Если о, = о, ~ о„то нз равенства (40) пр н 7 ($) = (;- — о,) ($ — о,) следует, что сйстема имеет решение только в случае, еслн Тг+(Т,— о,) (Т,— о,) =0 н соответствующая точка на полуплоскостн (Т„, Т,) находится на окружности, задаваемой этим уравнением. Любой точке нз этой окружностн соответствует любое направленне м, лежащее на конусе, определяемом уравнениями (о, — о,) и, '= а, — Т„(о,— о,) (п', + и) = ҄— а„ Ш.2.8.
й!аксимум касательного напряжения. Приведенные выше соображения позволяют, в частности, определить максимальное значение касательного напряжения. Если атно,>о„то зор( т) а нормальное напряжение Т„в этом случае равно и— ''. Согласно найденным выше формулам, например (41), эти значения соответствуют направлениям и, для которых па=па= 1)2, па=О„ (42) т.
е. совпадающих с биссектрисой угла (Охт, Ох,), образованного главными направлениями, соответствующими собственным значениям (максимальному и минимальному). 11!.3. НЕКОТОРЫЕ ВАЖНЫЕ ПРИМЕРЫ П 1.3.1. Шаровой тензор напряжений. Равномерное сжатие н равномерное растяжение (рис. 8, а). В этом частном случае в рассматриваемой точке девиатор тождественно равен нулю.
Имеют место следующие свойства: вектор Т(М, ра) коллинеарен вектору и; квадрнка напряжений — сфера; главные нормальные напряжения о,=о,=о,=з. !11.3.2. Одноосный тензор напряжений (чистое растяжение или чистое сжатие в одном направлении). По определению, тензор будет одноосным в направлении оси х„если в рассматриваемой точке все компоненты ооч за исключением а„„равны нулю. Если ааг > О, то Š— тензор чистого растяжения; если огт < О, то Š— тензор чистого сжатия (рис.
8, б). Легко проверить, что имеют место следующие свойства: Т(а) остается коллинеарным оси х,; если ра ортогоналеи к этой оси, то Т(п) =О. Тензор Х является одноосным тогда и только тогда, когда любые два из главных нормальных напряжений тождественно равны нулю или, что одно и то же, если квадрика напряжений представлена двумя параллельными плоскостями. 11!.3.3.
Тензор чистого сдвига по двум ортогояальным направлениям. Тензор Х будет тензором чистого сдвига в направлениях Ох, и Ох„если все ом, за иса) ключением ига=оп равны нулю (рис. 8, в). Если а коллинеарен оси х„то Т(а)=0. Если и лежит в плоскости Рис. 8. схематичное изобважени~ сил, при- Ох х, то направления и н Т(л) ложенных к злементарному кубу алн раз- личных частных случаев. симметричны относительно На неянаннмх гранях сняы не пояааанм биссектрисы угла (Ох„Ох,), 78 Тензор Х будет' являться тензором чистого сдвига тогда и только тогда, когда одно из его главных напряжений равно нулю, а два других противоположны.
Квадрнкн напряжений в этом случае — цилиндры, образующие которых параллельны оси х„а прямые сечения этих цилиндров— две сопряженные равносторонние гиперболы. 111.3.4. Тензор плоских напряжений. Тензор Е будет тензором плоских напряжений, расположенных в плоскости х,=О, когда оы озз = оза = О. Если а коллинеарен оси х„то Т(а)=0. Любой вектор напряжения находится на плоскости х,=О. Квадрики напряжений-цилиндры, образующие которых параллельны оси х,. Тензор Е будет тензором плоских напряжений тогда и только тогда, когда одно из его главных нормальных напряжений будет равно нулю. И1.3.5.
Линейная комбинация тензоров напряжений. Так как преобразование а Т(М, а) является линейным, то в случае, когда в точке М заданы два тензора напряжений, можно рассмотреть новый тензор напряжений, равный их сумме или линейной комбинации этих двух тензоров. Так, например, тензор Х можно рассматривать как результат суперпозиции трех йростых растяжений или сжатий по главным направлениям, а простой сдвиг в направлениях Ох, и Ох,— как суперпознцию некоторого растяжения в направлении Ох, и равного ему сжатия, направленного противоположно в направлении Ох,'. Здесь оси Ох,' и Ох,' направлены по биссектрисам угла (Ох„Ох,).
ДОПОЛНЕНИЕ Ш.4. ДРУГОЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ТЕНЗОРОВ НАПРЯЖЕНИЙ Иногда полезно представить тензоры нзпряженнй точками некоторого ортонормированного декартова прастрзнсгвз, например тензор с главными нормзльнымн напряжениями аь пь аз †точк М с коордннзтзми пь пь о,. Фактически нумерецня п~ ие имеет знзчення и любой тензор напряженый будет представлен шестью точками в етом пространстве. Из этого срезу же можно вывести следующие свойства. Образы шаровых тензоров находятся нз прямой Ь, урзвненне которой о, = = пз=п,. Образы тензоров, совпздзющих со своим девизтором (с нулевой сферической честью), лежат в плоскости П(аз+аз+аз=о), перпендикулярной прямой Ь и проходящей через начало координат. Образом девнзторз тензорз является точка ш — проекция точки М нз плоскости П. Принято говорить, что точка ш есть образ тензорз нз плоскости П.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
