Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Во всех приложениях', которые будем рассматривать, положим г=О, однако в общей теории имеет смысл это слагаемое сохранить, предполагая г известной функцией г(х, !). Говорят, что изменение состояния тела происходит адиабатно, если ф=О. Что же касается мощности внешних сил, действующих на Ю, то здесь нет надобности в каких-либо новых предположениях. Это мощность объемных сил у н поверхностных воздействий Т(М, и). Можно теперь написать закон сохранения энергии — '„=йр'„, +() (25) В частном случае, когда процесс адиабатный, 1 ро (е+ — У,У;) 1 — (Т,У,) = О.
(35) В законах теплопроводности, которымн обычно ограничиваются на практике, предполагается что ~7 непрерывна прн пересечении некоторой поверхности. В большинстве случаев это исключает даже саму возможность существования разрыва. Именно поэтому в случае разрывов наиболее интересными являются адиабатные процессы. Для аднабатного процесса на поверхности соприкосновения и = О, Т вЂ” непрерывна, а У вЂ” скорость в касательной плоскости. Отсюда неизбежно вытекает ортогональность вектора напряжений поверхности разрыва. 1Ч.3.6.
Граничные условия. Речь пойдет о применении рассуждений, сделанных в 11.3.6. Имеем, таким образом, гипотезу о подводе теплоты извне через границу д5, определяемой скоростью потока теплоты через поверхность в, который может быть известен илн нет, В частном случае, когда поверхность свободна, Р,=а,~, пг — — О н, следовательно, согласно уравнению (11.45) на этой поверхности имеем условие 9 = — 9~И~ — — (О, (36) представляющее собой граничное условие для д, если в известно, нли имеется формула, позволяющая найти в, если движение системы задано, а а а рПоп' неизвестно. Если граница дЗ вЂ” непроницаемая стенка, У вЂ” скорость среды относительно этой стенки, т.
е. У вЂ” скорость скольжения, то на поверхности дЯ можно написать условие 9 = — п,п, = ы — г";Уь (37) так как если обозначить через Яг скорость стенки (Г7= У+'й~), условие (11,45) приводит к равенству д+ (7Т, = в+ Р,ЯГг В формуле (37) д — скорость притока теплоты, получаемой средой. Выражение г У отражает мощность касательной составляющей усилий, вызванных трением среды о стенку.
Этот член, как правило, отрицателен. Физический смысл уравнения (37) становится более ясным, еслн рассмотреть предельный аднабатный случай среды 3, не поглощающей теплоту. Тогда 9=0; — в= — Г У— скорость притока теплоты извне в результате движения 5.
Это теплота, вызванная диссипацией при трении. 1Ч.4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Главы 11, 111 и 1Ч были посвящены общему научению трех основных законов сохранения механики сплошных сред. Необходимо было ввести илн определить фундаментальные величины, характерн- 94 аующие движущуюся систему с механической и энергетической сторон. Это позволило бы получить результаты, которые справедливы (в рамках сделанных гипотез) для любой среды. Но совершенно очевидно (и в последующем это будет показано более конкретно), что число введенных величин больше числа полученных уравнений. Следовательно, нужно перейти к исследованиям другого характера, которые позволяют учесть физические свойства данной конкретной среды. Таково в целом содержание последующих глав.
ГЛАВА Ч ДЕФОРМАЦИИ СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ Чтобы получить всю систему уравнений и условий, которые позволили бы описать и предвидеть эволюцию движущейся системы, необходимо дополнить информацию, получаемую из законов сохранения массы, количеств движения и энергии, некоторыми другими законами, описывающими поведение. изучаемых сред. На примере задачи для тела с закрепленной границей (1.5) было установлено, что этн законы должны связать внутренние усилия в системе с ее деформациями. Во всех рассматриваемых случаях внутренние усилия описываются повем тензора напряжений, введенным в главе 111.
Остается дать характеристику деформации сплошной среды, иными словами, ввести адекватный математический объект, конкретизирующий расплывчатое определение деформации. Здесь сразу же следует заметить и показать, что такой математический объект может зависеть от рассматриваемой среды и, следовательно, его выбор будет определяться физическими свойствами среды: при исследовании блока из металла или объема газа действовать нужно по-разному. В главе 1Ч введено поле тензора скоростей деформаций, что как раз является одним из способов описания деформации.
Однако определяемое только полем скоростей, заданных в момент времени 1, поле тензора скоростей деформаций описывает всего лишь мгновенное изменение системы в течение бесконечно малого отрезка времени. Это понятие может относиться только к средам «с очень короткой памятью», которые «ие помнят своего прошлого» и живут лишь в мире текущей деформации. К нх числу относятся, например, газы н жидкость.
Но совсем иначе обстоит дело с другими сплошными средами, поведение которых зависит либо от разности конфигураций в момент 1 и начальной (случай упругой среды), либо (более общий случай) от всего множества разностей текущей конфигурации системы и всех предшествующих данному моменту конфигураций. ЧЛ. ЛИНЕЙНОЕ КАСАТЕЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ Ч.1.!. А4атрица-градиент Р(Ф,' х). Для сравнения конфигура.
ций системы в два разных момента времени следует обратиться к преобразованию П(Г, 1) введенному в 1.1. Движение наблюдается в системе отсчета Я и для определения координат частиц системы при изменении 1 используется связанный с Я ортонормированный декартов репер. Преобразование П(1', () может быть записано (см. 1,5) так х=Я (х', 1', 1). (1) Оно определяет координаты точки М' — положение в момент времени ( частицы М, которая в момент (Р находится в М' с координатами х'. Если для любой пары (1', 1) г"-дифференцируемая по х' функция, то ей может быть поставлено в соответствие некоторое линейное отображение, представляющее собой главную часть преобразования окрестностей х'- и х (что было показано в 1Ч.2.1).
В традиционной форме, используя в качестве индексов для координат х латинские буквы, а для х'-греческие, это линейное отображение может быть ааписано следующим образом1 дх;=Р, дх„', (2) где Р, = —,' (х', 1', 1), Ха (3) или, наконец, в матричной форме бх = Рбх4, (4) Таким образом, становится ясным, что математические понятия, описывающие деформацию системы, могут существенно различаться. Рассмотрим здесь случай материально простых сред, для которых сравнение окрестностей одной и той же частицы с течением времени описывается с помощью деформации касательного линейного пространства.
В первом параграфе введены линейные касательные преобразования и его матрицы, а также тензоры дилатации, растяжения и вращения. Это, в свою очередь, дает возможность легко определить тензоры обычных деформаций (Ч.2). В разделе (Ч.З) дается новое определение тензора скоростей деформации. И наконец, в (Ч.5) рассматривается весьма простой случай, когда среда подвержена слабым возмущениям, что дает возможность произвести значительные упрощения. Большинство традиционных приложений ограничиваются именно этим случаем, и читатель, которому нужны только такие приложения, может опустить при первом чтении все остальное, так как параграф Ч.4 был составлен (насколько это возможно) как раз с расчетом, чтобы его можно было читать независимо от предшествующих разделов.
Уточним, что все вводимые в данной главе понятия относятся к кинематике. По определению, векторы дх' и дх задают касательные векторные пространства Т' н Т окрестностей М' н М'. Можно также сказать, что любой точке М, изучаемой в движении, можно поставить в соответствне трехмерное векторное пространство Т векторов Х н что преобразование П(г', 1) порождает линейное отображение Т'- Т, называемое касательным линейным ареобразоеанием и записываемое Р (М, 1', Г).
Используя базис е, в системе отсчета Я как для записи векторов Х пространства Т, так и векторов Х' нз Т', можем записать отображение 4Г' в виде Х= Ф (Х'):Х=РХ', Х,=Р,„Х„', (5) где Р— градиент-матрица в А, определяемая уравнением (3). Отображение,р называют также переносом посредством движения или конвектнвным переносом; если Х' н 1' — фиксированы, а г — меняется, то вектор Х в уравнениях (5) переносится путем конвекцнн нли движения. Матрица Р— невырожденная, точнее, выражение ./(С', 1)=де((Р) связано с плотностями р' и р в МР и М' по формуле р'-р) (г', г), (6) вытекающей нз закона сохранения массы и того факта, что де((Р) равен отношению элементарных объемов. Так как преобразования П(1', 1) составляют группу, то преобразования Ф (М, 1', 1) — также группа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
