Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Эти неудобства могут быть устранеьы, если рассмотреть в векторном прост. ранстве Т (М"), касательном в точке М' (положенне частицы в отсчегной конфи. гурации), элементарный вектор !о, который в результате конвектнвного переноса переходит в вектор т в текущей конфигурация. Согласно (б) имеем тг'=срната, тн Сант! и, следовательно, в силу (73) и (74): та *иан(грфя Уианоибр)фр зарнрй Положим в матричном обозначении $ ПТ ЗЖйл "; Рис. 4. Тензор напряжений: и в л вхиввеиые векторы; Э в н оолуаотгсо ив Ч' и т' орты оереиосв. Отоорвжеиие Мвтрицы и Нвнввиие иоииоиеетм х, ои Теинор Кожи 7, гщ Мвтрицв ПваввЛвгрвижв э ~\ з 'аз Тнвэор Пволв- Кирвгаэв (79) (ЗО) заметим также, что н Чбо — 41иГбо — дг~рà — таф«н (82) если положить ыа биЧ!сна~ и оу енарга (88) Вектор т является вектором потока теплоты Пиоле — Кнрхгофа.
В переменных Лагранжа уравнение сохранения энергии в частных пронзвод- иых будет иметь внд б / 1 р,— (о~ — и,и;~=,йги,+(!саин), — та,а+г, бг~' в котором все величины предполагаются выраженными в переменных Лагранжа н, следовательно, полная производная фактически является частной. Как и в разделе 1)!.З.З, это уравнение может быть представлено в более простом ваде, 114 32 РЗРТ, Т РЗ. (8!) Матрица Б составленная из компонентов вар, представляет з пространстве Т (Мо) симметричный тензор, называемый тензором Пима — Кирхгофа и выражающий влементарное напряжение (после коивективного переноса) как линейную функцию вектора элемента поверхности.
Если же требуются большая точность н определенность, то рассматривают обычно тензор напряжений Коши (рис. 4), тензор 2 с компонентами ои. Точно так же может быть преобразовано уравненяе энергии. Элементарное количество теплоты, полученное областью !2), запишется (соглесно (ПГ.2.8)) в виде аналогичном (1Ч,31): бе 4 Ре — ~1 — Рго — юк, а+г. а 'а( (84) Ч.б.й. Сопряженное представневие напрпжеяий и скоростей деформанлй. Заметим, что понятие массовой внергви внутренних снл, введенное в 1У.3.3, при- водят к произведению матриц -з бр!а -з б(аВ Р ~огуО;у Ро Па — =Ро за — ° бг бг (85) В самом деле, последнее равенство следует из уравнений б 1 б гга Р!Вара, Еаз .
— ЯВРю), 81 и М бгго 1 / бр!а 8!с!В~ ! б звВР( — -заВ ~Р1 — "+Рю — ' ) — зо — (Ргдрю), 81 2 ~ Ж б! ~ 2 Ж последнее вытекасг из симметрии з„В. брт Принято говорить, что матрицы О, —, —, представляющие собой око. М ' М' рости деформаций, сопряжены соответственно матрицам Е, Т, Ю, которые опре- деляют три способа описания напряженяй. Примечания в 1Ч.2.3 показывают пренмущесща етого определения. Ч.В. ПРОИЗВОДНЫЕ ПО ВРЕМЕНИ ВЕКТОРА И ТЕНЗОРА Выше было введено понятие полной производной. Фактически она представляет собой производную, полученную для частицы при ее переносе. Если, например, изучается вектор Х(1), заданный в векторном пространстве Т (Мг), то имеем бХ Х(1+з) — К(1) б(=,, з Здесь следует иметь и вциу, что для вмчисления правой части в пространстве Т (Мг) взят вектор, который знвиполлентен вектору К (Г+з) из Т (Мгее).
Но такой вектор не может характеризовать нзменение Х относнтельно самой среды, Поясням зто на следующем простом примере. Пусть 3 — абсолютное твердое тело, движущееся в системе отсчета Я, тогда полная производная от любого вектора, постоянного в Я, не будет равна нулю в Я, а будет равна его абсолютной скорости в системе Я. С физической же точки зрения является важным найти изменение изучаемой величины при рассмотрении явления в самой среде, так как именно такие производные могут играть определенную роль е формулировке законов поведения. Ч.8.1.
Конвективнав производная. Второй путь заключается в обращении к понятию конвективной производной, которая в случае вектора Х определяется по формуле 11,Х= 1!щ — (Я -т (А Г+з) (Х (1+з)) — Х(Г)), 1 (86) е з где еф -г — отображение, обратное ек, введенному в Ч.1.1. Согласно (5) и (11) компоненты отображения ф -'(Х(1+з)) в (86) в базисе ег равны Огь(А 1+з) Хь(!+з). Так как О!арзу 5!А то после дифференцирования в соответствии с результа- тами, полученными в Ч.З, имеем б Лт ' от -О,у(й г)= — — Р„(А 1)- — и,, Теперь можно представить правую часть (86) в явной форме, пользуясь не- 1!5 полными разложеяыами Ха (С+з) =Хэ (С) +з — (С)+..., бХ„ О„(С, С+з)=6„— иг,,+...
Обозначая составляющую вектора 0,Хс по направлеияю е; через 0 Х, можем написать (88) (90) ' Строго говора, введенная конвектнвная производная является контраварнантной конвективной производной. Последовательное развитие понятия копеек. тинной проязеодной требует обращения к другим производным вектора или тензора, в частности к коваривнтной коннективной производной (см. задачу 25). Заметим, наконец, что введенное понятие конзектнвной проиэеодной — это производная Ли, ассоциированная с группой П, зависящей непрерывно от некоторого параметра и определенной ыа пространстаенно-временнбм многообразия, задавае.
мом движущейся системой 3, поле скоростей 0 которого является ее бесконечно малым генератором. 116 0,Хс= ис эха. бх Ж (87) Точно так же можно рассуждать н в отыошении тенэора второго ранга. Например, конзектиэная производная тензора напряжений запишется в виде баСС 0 агу= — — 0; зазС вЂ” Уу, за;э. Формула (87) и (дд) определяют коллективные лроизэодкме вектора и тек- вора второго ранга сооваепитвекко. Несмотря на важность этого понятая, на нем останэзливаться не .будем так как для.правильного понимания и прицепе. ния необходимо обратиться к криволинейным координатам е.
Очевидно, что орго- нормироввнный базис после конзективного переноса уже не будет ортонормиро- ванным. Ч.6.2. Пронзводнав относительно собственного вращенна нли производная Яумаииа. Третий путь, который позволяет ввести производную по времени, обхо- дящий трудность, отмеченную э связи с определением конвективыой производной и тесно связанный с деформацией среды, заключается в том, что конзективиый перенос к (М, С', С) заменяется переносом в собственном вращении 6)(М, С', С), введенным е Ч.1.3. Производная в собственном вращении сектора Х(С) будет, таким образом, задаваться формулой (аналогичной (86)) 0сХ йш — (С(-э (М, С, С+з) (Х [С-1-з)) — Х (С)).
1 (89) л о 3 Составляющая Я-г (Х(С+з)) по направлению вс будет Лег(С, С+з) (Х„(С+з), что следует ыз )9 с=)2г с учетом определения (23). С другой стороны, со. гласно (32) д )7эс(С, С)-иэс- — асэ. Рассуждая, как и выше, без труда получаем выражения для производных относительно собственного вращения вектора и тензора: бХС 0,Х, — Рщхсь бС басу 0сасС вЂ” — (Ссзазу — Пгааст Ж (91) Заметим, что в конзектнвной производной дополнительные члены (корректи- рующие полную произаодыую) вычисляются через компоненты градиента скоро- стей, тогда как в производной относительно собственного эращения (называемой также производной Яуманнз) этн члены вычисляются через компоненты скоростей вращения.
Заметны, наконец, что выражение (90) может быть перепнгнно с учетом (1Ч,3)): бХ, — РГХГ+ОГЗХа 0»ХГ+ЭОЗЫуХа, бг Если же сплошная среда — абсолютно твердое тело 8, то последняя формула совпадает со следующей хорошо невесткой в общей механике: ( — ) =( — ) +ыАХ, в которой ы — вектор скоростей вращения абсолютно твердого тела, движущегося в системе отсчета Я; последний член является, как известно, переносной ско- ростью вектора Х. Ч.7. ОБЩИА ФОРМАЛИЗМ ЛИНЕАРИЗАЦИИ В ЧАИ показано, каким образом осуществляется лннеарнэацня в том случае, когда конфигурации движущейся снстемы остаются блнзкюен к фиксированной заданной конфигурация.
В механике сплошных сред н, в частности, в гидро- механике окззываегся удобным свести задачу, охватывающую самые общне случак, к более простой линейной задаче. Очевидно, что вто возможно только тогда, когда состояния изучаемой сплошной среды мало отличаются от состояняд невоэмущенного движения, в котором все величины (кннематнческне, дннамнческне, возможно, и термодннамнческне, электромагнитные), характеризующне физическое состояние системы, предполагаются известными. Само собой разумеется, что все замечания ЧА.Ь относительно формального характера лннеарнэованной теории остаются в снле в более общем случае, кото.
рый рассматривается ниже. Здесь ставится задача †пос рассмотрения двух примеров, в которых представляется интересным проследить применение лннеарнзованной теории сформулировать логически естественные правила математического формалнзма лннеарнзацнн н привести несколько приложений. Ч.уд. Тнпнчиые прнмеры. а) Линеаризоеанлал цтродинамияо. Рассмотрим следующее невоэмущенное двнженне: идеальная жидкость находится в установнвшемся движении с постоянной скоростью параллельно осн км занимая есе про. странство вне жесткой неподвижной пластины с проиэвольнымн очертаняямн, лежащеА в плоскости к»=0.
Допустим временно, что такое движение возможно н что прн этом выполняются условия, налагаемые прнсутствнем пластины (нор. мальная к пластине составляющая скорости равна нулю). Представим теперь себе жесткое препятствие А (крыло самолета), геометрнческая форма которого близка к форме пластины Р (рнс. 5). Для конкретности будет счнтать, что все точкн тела А расположены близко к Р н что во всякой точке позерхостн препятствня дА, в которой существует касательная плоскость, угол между последней и поверхностью Р очень мал. Образно говоря, тело А по.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
