Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Этот вывод очевиден, он отражает тот факт, что тензор Х вЂ” объективная функция тензора О. е для кратко«та атос класс сред а Ч.2.! кааыаают жкдкостамк.— Прим. Лед. 125 Теорема 1, В любом репере закон поведения жидкости дается формулой (10). Из уравнений (8) и (10) ясно, что закон поведения не зависит от выбора отсчетной конфигурации. Отсюда следует теорема. Теорема 2. Жидкость — иэотропная относительно любой отсчетной конфигурации среда.
Отсюда следует, что задачи, связанные с течением е жидкости, в общем случае удобнее изучать в эйлеровых переменных. Если, как это обычно предполагается, среда однородна, то функции К„ К„ К, ие зависят от частицы, т. е. от переменной х. Если среда неоднородна, то такая зависимость может иметь место. И наконец, если имеем дело с несжимаемой жидкостью, то можно применить результат, приведенный в Ч1.1.4. Так как, кроме того, первый инвариант равен нулю, то можно сформулировать следующую теорему. Теорема 3. В любом репере М закон поведения несжимаемых жидкостей имеет вид Х = —. Р1+ К, (Рп Рш) Р+ К, (Рп, Рп,) Рз, (11) где р-неизвестное (скаляр) давление.
Заметим, по ири ограничениях, применяемых в данной главе, для сжимаемых жидкостей функции К в формуле (Ю) зависят (если ве считать уже веречнсленных аргументов) только от плотиоств р частицы. Но с физической точки зрения изменение р влечет изменение температур, которое в очень частных случаях не окажет никакого злняввя на закон иоведеивя. Кроме зтнх частных случаев, асе установленные здесь законы применимы в основном ко всем несжимаемым жидкостям. Замечание. Легко проверить, что закон поведения В=К(13, Р, й)— (12) обобщающий закон (8), в котором 13 — вектор скорости, а ь1 — матрица скорости вращения, не может быть использован.
Такой закон удовлетворяет принципам причинности и пространственной локализации, но не удовлетворяет принципу независимости от системы отсчета. Проще всего это можно доказать, если обратить внимание, что при изучении движения в другом репере М' с сохранением записи компонентов векторных и тензорных величин формулы (12) в том же репере Я получаем тот же тензор Х, но значения переменных в правой части меняются в силу наложения на поле дг поля торсора скоростей. При этом вместо 1) получаем 0+13„, вместо ьа получаем ((и+Я,), а Р остается без изменений. Функция К, которая не должна меняться при любых Р„и Й„не может, следовательно, зависеть от переменных 11 и Й. К тому же выводу можно прийти, если перейти к другой системе координат по формулам (9) (см.
-задачу 4), однако приведенный выше метод интересен тем, что он быстрее ведет к цели (если он применим). ч Так назыыиот обычно движения жндких сред. Ч!.2.2. Классические, или ньютоновы, жндкостн (и газы). Оп- ределение. Жидкость или газ называют классическими, если в любой системе отсчета компоненты о,.~ тенэора напряжений — аффинные функции компоментов 0, тензора скоростей 2еформации. Прежде всего отметим частный случай идеальных жидкостей, в которых по определению тензор напряжений независим от скоро- стей деформаций. Из принципа независимости от выбора системы отсчета следует, что тензор напряжений должен быть шаровым. Та- ким образом, для идеальных жидкости и газа можно написать Е= — р1, о, = — рбьо (! 3) где р — давление жидкости. В случае несжимаемой среды р — неиз- вестная величина, которая в каждой задаче определяется из уравне- ний движения.
Если же среда сжимаема, то в рамках данной главы может быть рассмотрен только случай, когда давление р зависит от плотности р. В этом случе говорят, что идеальная жидкость является баротропной. В Ч111.1.3 вернемся к этому вопросу и уточ- ним овия, при которых такая схематизация справедлива. идкость, не удовлетворяющая определению соответствующих идеальных сред, называются вязкой, и по аналогии с (13) полагаем а; = — р61 + тоо Х = — р1 + Т, (14) где т1 — компоненты тензора вязких напряжений, составляющие матрицу Т и являющиеся линейными* функциями от 0; (если Р, =О, то фактически искомая величина — шаровой теизор, что подтверждает зависимость (14)1. Из принципа независимости от выбора системы отсчета следует, что Т вЂ” изотропная функция О, и тогда та обяаательно имеют вид (П1,78): т, =Ыаа61 -(-2Р0ьо (15) в котором Х и р — скалярные коэффициенты.
Этот результат является частным случаем соотношения (10), если учесть дополнительные предположения, которым должны подчиняться ньютоновские жидко- сти. Если же, как указано выше, ограничиться случаем несжимаемой среды, то имеем простые соотношения ты —— 2РР;, о,у — рб, + 2Р.Р,, (16) где р — константа — характеристика среды, называемая коэффициен- том вязкости. Далее видно, что р — всегда положительная величина с размерностью М1. 'Т '. Козффкцнент вязкостн и можно ннтерпретнровать как коэффициент сопро- тнвлення скольжению.
Рассмотрям, яапрнмер, стационарное течение жндкостя, называемое простым скольжением (рнс. 1): и,-»,, и,=о, Р,=о, в котором й — постоянная. Здесь тензор скоростей деформаций является именно Н общем случае наличие вязкости означает, что напряженное состояние зависит от скорости деформаций, что как рзз имеет место в нашем случае, тан как таз — линейная функция Рескомпонентов скоростей деформацяй. Впрочем, любая нендеальная жидкость является вязкой, что вытекает нз формулы (10). 127 х тензором простого сдвига, а тензор вяза ких напряжений †тензор простого сдвига.
Не равен нулю только компонент тг»=рй. Следовательно, в любой точке М имеем Т(М, е») = — де»+Рак,. Жидкость, расположенная в области ° сг =,их з х, ) к»(м), оказывает (кроме нормальр - ного давления †,) на среду, находящуюся в области хз С к,(М), касательные воздействия, пропорциональные коХг ег зффициенту вязкости р н градиенту рвс. ), Профиль скоростей: скоРости вдоль осн х». Эти Усилиа на- правлены вдоль оси кг илн в противочек в сечение к, е положном взпРавленяи в зависимости от знака коэффициента й. Короче, можно сказать, что вследствие вязкости наиболее быстрые слон стремятся увлечь соседние медленные слон и, наоборот, наиболее медленные слои стремятся замедлять соседние быстрые слон. Такая физическая интерпретация подтверждает правильность предположения о положительности коэффициента р.
Отсюда следуег также, что в идеальной среде между различными слоями отсутствует какой бы то ни было эффект тангенцвального ускорения или замедления. Таким образом, идеальная жидкость †э предельный случай схематизации, отлячающнйся крайней простотой и весьма полезный кзк первое приближение реальных слабовязкнх сред. Но если говорить строго, идеальных жидкостей в природе не существует. Л.З. УПРУГИЕ СРЕМЫ Упругие среды — зто среды с еособой памятью». В их память заложено (если можно так выразиться) одно лишь состояние, которое принято называть исходной конфигурацией или исходным состоянием.
В большинстве случаев предполагается, кроме того, что в исходном состоянии никаких напряжений нет (оы — — 0), тогда говорят, что зто состояние — естественное. Начнем с рассмотрения общего случая н остановимся более подробно на классическом понятии упругости.
Ч1.3.1. Нелинейная упругость Определение. Если выбран способ индивидуализации частиц а„в исходной конфигурации и система отсчета, в которой будет изучаться движение, то закон поведения упругой среды будет иметь вид Х(х, 1) 3(Р (1)), (17) где г †матри-градиент (Ч.2.3) преобразования, в результате которого совершается переход от исходного в текущее состояние; 3— функция, значение которой †симметричн матрица, являющаяся характеристикой упругой среды.
Функция 3 может зависеть также и от частицы, если среда неоднородна. Принципы причинности и пространственной локализации выполняются и среда является простым материалом. Остается написать принцип независимости от выбора системы отсчета, который гласит: при любом непрерывном переходе от одной системы отсчета к друеой функция 3 не меняется, если не меняется исходная конфигурация.
Докажем следующую теорему. Теорема. Пусть тт' — матрица правого тензора расширения (Ч.24), и Й-матрица вращения, тогда закон поведения будет иметь вид Х- Пч(тхГ) Пт (18) Этот закон может быть записан в более удобной форме, если обратиться к матрице дилатации С (Ч,18) или к матрице Грина— Лагранжа 1 (Ч,26): Х = РУ (С) Рт 2- РУ (1.) Рт (19) Функции Яа и уь (как н функция 3) — характеристические функции среды, значения и аргументы которых — симметричные матрицы. Значение такого вывода заключается в следующем. Если известно значение $, когда аргумент — симметричная матрица, то становятся известными и значения $ для любой невырожденной матрицы Р= КТЧ: 8(Р) =й(Р1Ч) = Дй(1Ч) Рт. (20) Доказательство не представляет труда. Рассмотрим в фиксированный момент времени гг' такую систему отсчета К', в которой матрица вращения Гт* была бы единичной.
Если движение системы отсчета )г' относительно )т задано формулой (Ч,12) то достаточно выбрать Р (() = Гхт (1); тогда бе1 (Р) = 1. Из общего вида выражений для т»и Р» Х»=Р (1) 2рт (1) Р» — Р (1) Р (21) [последнее — лишь частный случай (Ч,16)), в данном частном случае вытекает Х» — )этХР Р» — 1Ч С другой стороны, Е»=з(Г»), и отсюда сразу следуют нужные формулы (19) *. Тот же результат может быть легко найден другим путем, если ввести теизор Пиплы — Кирхгофа (Ч.б.21. В самом деле, имеет место равенство Ь=хг(%), (22) так как 8 и Иг — теиворы в векторном пространстве, соответствующие давкой частице в исходной конфигурации, которые ие меиэютск при переходе от одной системы координат к другой (чего нельзя сказать об Р, Я, Х). Согласно формуле (Ч.81) х У 10%У(цг)%Рт и так кэк,/=бе1 (1Ч), приходим к формуле типа (18). Ч1.3.2. Изотропные упругие среды. В соответствии с Ч1.1.6 для среды, изотропной относительно исходной конфигурации (в нашем случае — естественного состояния), имеет место равенство М (Р) = М (Р), (23) * В задаче б читателю предлагаетси провести более строгое доказательство этого утверждеиия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
