Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Итак, получается следующий список параметров: неизвестные величины — Ф; Х, е, ~у, з, Т; заданные величины — 1, г. Шесть неизвестных величин должны быть известны в любой момент времени Г для любой частицы и, кроме того, должны удовлетворять уравнениям сохранения количества движения, сохранения энергии и неравенству энтропии. Очевидно, что для определения неизвестных нужно знать законы термомеханического поведения, в которые входят некоторые яз этих неизвестных, описывающие внут- реннее поведение среды. Если с этой целью выписать основное неравенство в виде (4) или (6), то заданные величины ~ и г войдут в уравнения количества движения и энергетическое. Таким образом, совокупность законов поведения определяет допустимый термодинамический процесс при условии, что при любом движении системы, т.
е. при любом Ф, выполнено неравенство (4). В самом деле, всегда можно допустить, что известные величины Г" и г, выражающие внешнее воздействие, можно взять такими, чтобы уравнения количества движения и энергетическое уравнение были выполнены. Предмет термодинамики сплошных сред †построен таких законов поведения, которые приводят к термодинамически допустимым процессам. Эти законы являются определенным обобщением законов, рассмотренных в главе Ч1 для чисто механических эффектов, я должны удовлетворять, в частности, принципу независимости от выбора системы отсчета. Для каждого класса сред прежде всего необходимо выбрать переменные, посредством которых можно описать их поведение. Например,.к величинам, определяющим значения деформаций на основе тензора Р, которые уже использованы в главе Ч1 в случае простых сред, следует добавить в некоторых случаях температуру и иногда поле градиентов температуры.
Если совокупность этих величин известна до момента 1, то говорят, что известна предыстория среды до этого момента. Термодииамический процесс будет описываться тогда посредством функций или (в более общем случае) функционалов, дающих значение Х, е, з, д в момент т' через выбранные переменные (т. е.
в зависимости от предыстории до момента т). Остается теперь проверить допустимость процесса. Эти законы в сочетании с уравнениями сохранения позволят найти движение (Ф) с учетом заданных внешних воздействий на систему начальных и граничных условий. Приведенная выше схема, слишком общая и несколько расплывчатая, будет уточнена в последующих параграфах, ЧН.З. МЕТОД ЛОКАЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ.
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИА ПОТЕНЦИАЛ Ч1!.2.1. Отправная гипотеза. Рассмотрим среду, термостатическое поведение которой полностью известно. Отсюда следует, что любое равновесное состояние среды полностью определяется заданием (а+1) паРаметРов Ум Ем ..., )(„и что теРмостатические величины в этом состоянии, например удельная внутренняя энергия, удельная энтропия, абсолютная температура и т. д., известные функции параметров у.„т,„..., Х„: е (х., х„ " , х.), з (х.. х„ ", х.).
т (х.. хь " , х.) " . (7) Предположим теперь, что среда находится в движении. Аксиома локального состояния может быть сформулирована следующим образом. 143 Аксиома локального состояния. Состояние частицы в любой фиксированный момент времени ( характеризуется (и+1) параметрами у„у„..., Х„, для которых внутренняя удельная энергия е, удельная энтропия з, абсолютная температура Т данной частицы будут определяться в момент х теми же функциями от Х„Х„..., Х„(7), что и в термостатике.
Другими словами, всякой частице можно поставить в соответствие в фиксированный момент 1 определенное равновесное состояние некоторой термостатической системы, определяемой параметрами Х„Х„..., Хю и любаЯ фУнкциЯ от Х„Х„..., Х„описывающаЯ какое-либо термостатическое свойство сопоставляемой системы, описывает также в момент 1 соответствующее термодинамическое свойство частицы движущейся среды Один из способов полного описания свойств термостатической системы заключается в задании потенциала. Если, например, Х, =з, Х„..., Х„составляют для системы множество нормальных экстенсивных переменных, то функция е(г, Х„..., Х„), выражающая удельную внутреннюю энергию, является потенциалом, причем е бе=™+ Х Ч,бхай э ! (8) зе де д (З~ Хы 'г Хн)в Чр =з (З* Хм ' г Ха) з хг Таким образом, абсолютная температура Т равна частной про- зе изводной —, а Ч вЂ” функция состояния системы.
Из аксиомы ло- де' Р кального состояния следует, что зта функция е(з, у„..., Х„) описывает в любой момент времени термодинамическое состояние частицы. Ее численное значение равно удельной внутренней энергии, и соотношения (8) позволяют вычислить абсолютную температуру Т и значения Чр как функции з, Х„..., Х„, Система может быть описана также йосредством удельной свободной энергии ф=е — Тз, которая, если ее выразить через Т и Х„..., Х„, определяет потенциал ф(Т, Х„..., Х,). В самом деле, имеем с(ф= — '"Т+ Х ЧтцХ~ дT(Т Хы '''' Хэ) Чр л (7~Хо '''еХл) бу ' ы '' ' "' Л Зкэ Функция ф позволяет рассчитать удельную энтропию и значения Чр через функции Т, Х„..., Х„.
По формулам (9) легко установить физический смысл этой аксиомы: нз нее следует, что несмотря на движение снстемы в целом, состояние каждой частицы можно считать с термодннамнческой точки зрения примерно равновесным. Инымн словамн, время перехода термостатнческой системы (какой является слегка возмущенная двнженнем частица) нз одного равновесного состояння в другое равновесное термостатнческое состоянне пренебрежимо мало по сравнению с продолжительностью кннематнческнх н динамических процессов в среде. Таким образом, формулнровка является весьма схематичной н по всей вероятности 144 ЧП.2.2. Днсснпацня. Полные производные от е н ф для движущейся частицы могут быть записаны в соответствии с выражениями (8) н (9) следующим образом: з — Ь) П вЂ” =Т вЂ” +ш — = — а — +ю бт б! ' 41 б! (10) где (1 1) р=! По аналогии с принятой в термостатнке терминологией* ш называют полученной .обрапшмой удельной мощностью.
Преимущества такого определения будут показаны ниже. Если выписать основное неравенство, отражающее второй закон термодинамики в одной нз форм (4) нлн (б), то получим (о,.у))ы — рю) — — у йгай Т ~ )О, (12) нлн полагая'* Ф =о!100 — Рю, Ф = — — У йгаг)Т, Ф +Ф,= Э, (!3) приходим к неравенству Ф>0. (14) По определению, Ф,— собственная объемная днсснпацня, Ф,— объемная тепловая днсснпацня, Ф вЂ” полная объемная дисснпация.
Возможна также следующая интерпретация. В рамках приведенного определения условия (3) и (2) могут быть записаны в виде равенств'*' ' Как уже отмечалось, зто означает, что з, Хь ..., Х образуют систему нормальных переменных. Величина Тбз — подведенное элементарное колячество обратимой теплоты, а ю (элементарная работа) †дифференциальн форма, не зависящая от бз (ср. П1!1.24). еэ В конце данной главы Ф имеет тот же смысл, что н в уравнениях (!3), и не совпадает с функцией Ф, использованной для обозначения переменных Лагранжа. '** Фактически эти равенства являются новой записью законов сохранения эзер~ни. !4$ неверной, если эволюция движущейся системы в целом очень быстран.
Выполнимость аксиомы должна исследоваться и оцениваться в зависимости от природы изучаемых движений. Но в то же время следует подчеркнуть, что выводы, которые можно сделать в большинстве случаев, рассматриваемых в механике сплошных сред, находятся в согласии с практикой, и этот факт подтверждает эмин нчески (пусть временно) обоснованность аксиомы. Г другой стороны, очевидно, что именно в равновесии легче всего производить эксперименты для выявления свойств среды. Аксиома в той мере, в какой она применима, позволяет зкстраполнровать на случай движения определении н отношения. установленные для равновеснмх состояний. Прн построении более общих теорий, когда термодинамические свойства не совпадают с термостатическими, сталкиваются с весьма серьезными трудностями при экспериментальном определении термодяизмических характеристик движущейся среды, которые в большинстве своем не преодолены в настоящее время.
бз г г'гу'! Ф р — — — +о(ч ~ — у! бГ Т ''г,т) Т (15) В правых частях фигурируют соответственно скорость необратимого производства объемной энтропии и скорость необратимого производства энтропии в объеме Ю. Эти уравнения не должны рассматриваться как законы сохранения, так как отражая некоторый баланс, скорости необратимого производства энтропии в них не являются заданными величинами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
