Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 35
Текст из файла (страница 35)
УП.2.3. Законы состояния и дополнительные законы. Теперь остается показать, каким образом можно использовать полученные выше результаты для определения допустимых термодииамических процессов. Для определенности выберем Т, Х„ ..., Х„ в качестве системы (и+ 1) термодинамически х переменных. Аксиома локального состояния дала возможность выразить через эти переменные функции гр, з и и и сопряженные с Хр переменные Чр. (17) Чр Чр (7 в Хы г Ха)' Ф =. ~ч" „Х„)г .
и ! (18) Принимая вновь соображения, высказанные в Ч11.1.3, будем считать вРеменно, что значениЯ Хр опРеделЯютсЯ матРнцей-гРаДнентом г" (или соответствующим ей тензором деформаций). Тогда г'„представляют либо компоненты гу, либо, в общем случае, компоненты теизора скоростей деформаций. На уровне настоящего изложения такое утверждение может, очевидно, показаться несколько расплывчатым и бесполезным. Формула (13), в частности,должна рассматриваться здесь как временная рабочая гипотеза до тех пор, пока в каждом случае не подтвердится, что Ф записывается именно в этом виде.
В отношении Фе зто очевидно — компоненты и определяют три из значений 1 'г'„, а компоненты ( — — Згабг) — соответствуюшие значения Х„. В выражении Т 146 Уравнения (17) называются законами состояния среды. Функции Чр в правых частях не являются, очевидно, независимыми, так как ойи должны удовлетворять условиям интегрируемости, согласно и которым — и д7'+ ~~ Чр бХр является полным дифференциадом, и р ! некоторым неравенствам, вытекающим из свойств выпуклости функции гр (см.
П111.7.5). Законы состояния дают интересную информацию о поведении среды„ио для полного описания они недостаточны. С учетом этих законов объемная диссипация Ф может быть записана в общем виде как сумма произведений фт условия выполняются для группм членов агуРгл но в целом сформулнровзн. ные свойствв могут подтвердиться только после тщвтельного изучения величины рю.
Именно такое нзучевие будет проведено в следующей главе для каждого отдельного случая, Будем считать, что (и + 1) термодннамнческнх переменных Т, ..., у.„ н лт переменных 1' описывают «нсторню» среды до момента 1. Если э н л функций «1р полностью опредяются этой «историей», то иначе обстоит дело с лт величинами Х„, которые необходимо знать для записи н выполнения общих уравнений динамики н термодинамики сплошных сред. В связи с этим возникает необходимость в формулировке дополннтельных законов, которые связывают величины т,„с предысторией среды. Кроме принципа независимости от выбора системы отсчета, этн законы должны удовлетворять лишь одному условию: для любых движений любой среды выражение Ф (18) для днсснпацнн не может быть отрицательным.
Выполнение этого условия дает нам гарантию, что задаваемые таким образом термодинамические процессы доп стнмы. рнведенные сообрвкення имеют, очевидно, несколько эврнстнческий характер. Все введенные здесь понятия будут уточнены прн изучении каждой отдельной среды так, например, как это сделано в главе Ч111. УН. З. МЕТОД ЛОКАЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ. ФОРМУЛИРОВКА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ЗАКОНОВ Ч11.3.1. Предварительные замечания. Признав необходимость формулировки дополнительных законов с одним условием, что величина Ф должна быть всегда неотрицательной, остается нх установить.
Разумеется, единственная основа н единственный критерий в-механике †э опыт. Однако, опираясь на наиболее изученные примеры, можно попытаться найти принципы конкретизации общей формы дополнительных законов. Располагая теорией, достаточно гибкой н допускающей большой разнообразие возможных выраженнй, легче будет наметить эксперименты н интерпретировать нх результаты с целью точной формулировки дополнительных законов феноменологического типа, управляющнх поведением среды. Если мы и возвращаемся к методологическим соображениям, лежащим в основе всей мзтемзтической физики, то только для того, чтобы подчеркнуть здесь, что искомые принципы, которые будут нспользоввны в дальнейшем, отнюдь не имеют универсального значения, присущего двум началам термодннзмики нли ззконвм сохрзиения массы и количества движения.
Спрзведлнвость этих прннцкпов не всегда подтверждзется и менее обоснована, они не имеют той же ззконченности. Дополнительные законы следует прежде всего понимать квк прагматические формулировки. Но нз современном уровне знаний они дают возможность отыскзть путь, по которому следует идти в поиске законов поведения того большого рззнообрззия сред, которые встречается в физическом эксперименте: Считая известным термодннамнческнй потенциал, принято гово- И7 рить, что правнла, позволяющие формулировать дополнительные законы в соответствии с этими принципами, определяют соответствующий ему дяссипативный механнвм. Таким образом, термомеханнческое поведение среды является функцией некоторого потенциала н связанного с ням диссипативного механизма. В последующих выражениях зависимость Х„ от У будет выражена явно, что позволят для упрощения записи обойтись без термодинамических переменных.
При этом не следует упускать из виду, что такая, например, запись, как й (У ), означает зависимость и (У„) от термодннамнческнх переменных, рассматриваемых как параметры. Свойства, установленные для й(У„) как функции от У, будут предполагаться справедливыми для любой системы фиксированных значений термодннамических переменных Т, то Полезно ввести следующие обозначения: У„У„..., будем считать декартовыми координатами точки У евклидова пространства Е„; У вЂ” вектором этого пространства с компонентами У .
Величины Х„можно рассматривать как составляющие вектора Х„ в этом же пространстве нлн, иначе, координаты точки Х сопряженного пространства Е'. Тогда Ф совпадает со скалярным произведением Х У. Л!.3.2. Нормальный дисснпатнвный механизм. а) Диссипативная функция Ю(У). Если бы были известны дополнительные законы, то можно было бы в принципе рассчитать для частнцы М некоторой среды прн действии на нее заданных внешних усилий значение вектора Х в точке М в данный момент 1 и, следовательно, величину скалярного произведения Х У в этот же момент как функционал от функций )( (('), У„ (У), (' ( ~, определяющий предысторию частиц среды до момента й Гипотезы, которые будут выдвинуты в настоящем параграфе, значительно ограничат универсальность возможных диссипативных механизмов.
Прежде всего примем, что в любой точке М в любой момент времени ( скалярное произведение Х У может быть выражено в виде функции Ю (У), зависящей только от значений переменных У и значений термодинамнческнх переменных в точке М в момент 1. Если такая функцня существует, ее называют диссипативной. Допустим, кроме того, что функция йд (У) удовлетворяет определенным условиям. Приведенные выше гипотезы могут быть объединены в следующем положении. Существует функция йд (У) ~ ( ь Уъ Уа) — ~2~ (Уа) скалярных переменных У„, зависящая также от (и+1) термодинамических параметров Т, 2„2„..., у„, определенная для любого У, непрерывная, неотрицательная, выпуклая, квазиоднородная и равная нулю прн У О. Такая функция определяет нормальный диссипативный механизм. Прокомментируем и уточним приведенное выше положение.
Из у« аль уг Рис. 1. Надграфяк Ю функции Ю в пространстве Ем»» и.вложенные друг в друга в пространстве Е, выпуклые области йь 1' Существование Ю (У). Прежде всего 2 заметим, что функция Ю зависит только от переменных, описывающих «историю», и, кроме того, от мгновенных значений этих пере- хЬ ивиных. Функция Ю, таким образом, не зависит от частных форм движения среды при задании внешних воздействий и начальных условий — об этом важном факте было сказано выше. 2'. Выпуклость« Ю (У).
Выпуклость функции Ю означает, что если Уги и У"' — два каких-либо значения У, а Л, и Л,— два положительных числа, равных в сумме единице, то всегда выполняется неравенство Л Ю(У»»')+Л»Ю(гчм) — Ю(Л,)н" + + Л,У'") ) О. (19) Один из интуитивных способов определения выпуклости функции Ю (У) состоит в рассмотрении в пространстве Е„+1 (гп + !) измерений (У„ ..., Уао з) области Ю, определяемой неравенством з.— Ю(У„)~)0, которую иногда называют надграфиком функции Ю.
Если область ад выпуклая, то функция Ю также выпуклая. Более того, предположим, что область Ю замкнута, откуда будут вытекать некоторые свойства регулярности функции Ю, которые здесь всегда имеют место. Если рассечь область Ю плоскостямн з Ь (Ь вЂ” постоянная) и спроецировать их на Е, то получим выпуклые множества бь с размерностью т, включающие начало координат и вложенные друг в друга (бег~ба„если Ь, <Ь,). 3'. Ю (У) — коазиоднородная функция. Функция Ю (У) называется квазиоднородной, если области Ь подобны (рис. 1). Если обозначить через У' точку границы дб„то уравнение У=ЛУ', где Л вЂ” положительное число, определяет при переменном У' и при постоянном Л границу даь области йю '1аким образом, если Ь(У) — положительно однородная функция" первой степени от У, равная 1 на замкнутом контуре дб„то из этого следует, что Л(У) принимает значение Л на дбь и функция Ю(У), следовательно, может быть определена по формулам Ю(У)=Ь(Л), Л=Ь(У), Л>О, Ь(О)=О, Ь(1)=1.
(20) Более того, если функция Ю(У) выпуклая, то Ь(Л) — также выпуклая функция от Л. В частности, Л 'Ь(Л) — неотрицательная и неубывающая функция Л. Будем считать (если не оговорено » Основные свойства выпуклых функций, которые могут понадобиться при чтении данного курса, описаны в разделе П11. Последующие параграфы могут, однако, быть изучены беа обращения к разделу П!1, если принять без доказательства некоторые интуитивные представления о выпуклости множеств. ' ° Л(г) представляет собой положительно однородную функцию первой степени, если для любого положительного Л Л(3Х)=»Л(у).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
