Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Тогда Х У «к)(У)=Ь(Х). Положим Х «Ь(Х)=де, Х вЂ” тэдч (за) Любой другой вектор У', ассоциированный тому же вектору Х, должен быть таким, что, положив 1" =ь'У«е, мы имели бы ь'-«Ь(Х')=Хе. С другой стороны, предположим, что д 'Ь(ь) — монотонная возрастающая функция, которая может принимать любое положительное нли нулевое значение. Таким образом, Ь(Ц Ь(ь') и, следовательно, «9(У)=21(У). Отсюда вытекаеттчтоданиыйвекторХ ° Более подробно см.
в П 11. 154 задаст вполне определеныое вначенне днсснпапнн, которое обозначим )а)* (Х) Ьа ()Га), Цьа Ь (Л) = Ьа (Ла). где (39) Далее, нз формулы (34) следует, что (в силу равенств ф(У) ф(У') ° а(л)) фа (Х) — также функция переменной Ла, фч (Х) а' (Ла), определяемая уравненнем а (Л)+па (ла) =Л)са. ба+ба'=ли 6)ь+Л 6)б», (40) Имеем также н поскольку нзвестно, что ба=3 бЬ Л 6 ()ь) =)ьабь, то ба' Ьа (йа) — =л= —. бьа )ьа (41) Следовательно, гл. ° (йа) ~~ Ьа() бб а б рч(Х)-~ Ю*(ГХ) —, 61 (42) Двойственность, которая имеется в виду, теперь полностью установлена ы можно сформулировать следующую теорему. теорема 3. Для любой нормальной днсснпатнвной среды существует сопряженная днсснпатывная функция )л)а(Х), определенная для всех Х, неотрнцательная, выпуклаяч, квазноднородная, с помощью которой могут быть установлены дополнительные законы, свявывающне заданный вектор Х с одним нлн несколькымн векторами в соотвегствнн с аксномой ортогональносты.
тП.З.4. Диссипативная положительно однородная функция бг) (У) первой степени однородности (первого порядка). В предыдущем рассмотрении предполагалось, что функция д гЬ(д) возрастающая. Чтобы показать, к чему может привести простое предположение о том, что эта функция к) б! всего лишь неубывающая, и) рассмотрим случай, когда функция постоянная и равна 1. Тогда функция у , к ф (У) (к) (У) — положи- Х' дй тельно однородная функ- 11 ция первого порядка, а 3 граница дЮ области У дз пространства Е .„— конус (рис.
4) Опорная Рнс. 4 Однородная днсснпатнвная функция первой степени: * СЕЧЕНая .'фа(Х) Ьч — а-схаматкчаскос иасбражанаа надграфика,в, прадстаавыпуклые, так как онн подобны лающего собой конус а просчраистщ йю+ч с вершиной а начала координат, и двух опорных плоскостай, иа сечениям ф~ (Х) ач выпуклой которых переча содержит обрааующую, а нчораи иро. функцнн фа. Функция )ьа бЬаж ходит чарва качало; б-прадстааланна а пространщаг ()ьа) зозрасуающая фун~гцнд амч! конпоа допустимых векторов х. проскпни на и,» контактной обрааующай плоскости Г параллальна иор.
й, так как' она равна Л. мали к ЗВ а чочис Хь В точка Х» Г Е 15$ плоскость области йд в любой точке, кроме начала координат, содержит образующую конуса. Таким образом, всем этим точкам соответствует только один вектор Х. Можно также сказать, что Л' остается всегда равным 1. В сопряженном пространстве Е' (Х„Х„..., Х„) — совокупность таких векторов и определяет замкнутую выпуклую поверхность ду, внутри которой находится начало координат. В каждой точке Х поверхности ду множество векторов У, ассоциированных соответствующему вектору Х, представляет собой множество всех векторов, нормальных к Х и направленных вне у. Любой опорной плоскости к области Ю в начале координат соответствует некоторый вектор Х, образ которого в пространстве ń— точка замкнутой области у+ду с границей ду.
И наконец, нет такого вектора Х, образ которого находился бы вне у. Подводя итог, можно записать: У О=~Хну+ду; (43) У чь О =Ф Х = угад Ю, Х Е ду, что верно, по крайней мере, тогда, когда Ю(У) — непрерывнодифференцируема. Заметим также, что функция ~р'(Х), задаваемая равенством (35), равна О, если Х Еу+ду, и равна бесконечности, если Х лежит вне у. В этом случае функция больше не будет непрерывной, а лишь слабо полунепрерывной снизу.
Субградиент такой функции можно определить по формуле (36) везде, где функция конечна. Субградиент равен нулю, если Х Е у. Если же Х Е ду, то субградиент— вектор У внешняя нормаль к у. Если поверхность ду имеет непрерывно вращающуюся касательную плоскость, а У (Х) — непрерывно диффереицируемая функция Х, равная нулю на границе ду и отрицательная внутри у, то ХЕу- У=О; (44) ХЕду У=рйгадчг, р)О. Установленное таким образом соответствие между Х и У, очевидно, многозначно, тем не менее оно представляет собой предел соответствия в общем случае, когда Л 'Ь (Л) — строго возрастающая функция. Полученные результаты будут использованы далее при изучении пластичности.
ч'П.3.5. Обобщения. Изучен достаточно полно нормальный диссипативный механизм, для которого, исподьзуя две основные аксиомы — выпуклости и ортогональности, можно определить дополнительные законы через диссипативную функцию, которая может быть выражена как через переменные У вЂ” Ю(У ), так и через переменные Մ— Ю'(Х ). Для приложений этот случай наиболее интересен. Тем не менее представляется важным экстраполировать эти результаты на более общие ситуации, например, когда Ю(У) — не обязательно квазиоднородная функция. В частности, это легко делать, если принять в качестве аксиомы утверждения теоремы 1, приведенной в ЧП.3.2. Таким образом, не будем принимать гипотезу существо- ванна диссипативной функции, и отдадим предпочтение гипотезе (правда, более абстрактной) существования квазипотенциальной функции.
Итак, для любого диссипативного механизма существует некоторая непрерывная выпуклая функция у (У), определенная для всех У, равная О при У=О, которую называют пгеадоаогпенциальной диссипативной функцией. Вектор Х будет соответствовать заданному вектору У тогда и только тогда, когда Х вЂ” субградиент функции ~р в точке У. Заметим, что такое определение не затрагивает основных свойств двойственности, в частности остаются в силе утверждения теоремы 2.
Если имеется и диссипативных механизмов с псевдопотенциалами уп'(У), ~р'з1(У), ..., <р'ч'(У), то можно определить новый механизм через потенциал Ч(У) Чп'(~ )+гры (У)+ ° ° ° +Ч'ы(У) (45) или более общей линейной комбинацией функций р'~' с постоянными неотрицательными коэффициентами. Если Х'~' †вект, соответствующий некоторому заданному вектору У через механизм <р'г' (У), то вектор Х Х[1) + Х<з> + + Х(а) (45) ассоциируется с У через <р(У).
Обратим внимание на то, что двойственный псевдопотенциал у'(Х) не равен сумме двойственных псевдопотенциалов ~р'~'"(Х). В общем случае не представляется возможным найти диссипативные функпии 19(У) или Ж)ч(Х), которые зависели бы только от У или только от Х, т. е. были бы независимы от зволвпии среды, вызванной внешними воздействиями или начальными условиями. Таким образом, рассмотренный здесь случай выходит за рамки гипотез, введенных в начале раздела Ч11.3лс В дальнейшем будем иметь дело с такими случаями, когда диссипативный механизм можно рассматривать как сумму двух (или нескольких) нормальных диссипативных механизмов, определяемых диссипативными функциями Ж>п'(У) н Ю"'(У).
Тогда будет существовать диссипативная функция Ю (У): -'В(У) =Юн'(У)+121'"(У). Псевдопотенциал определяется, как и в (25), равенством ,)о ( )1 (47) Очевидно, что формула (46) остается в силе. Рассмотрим подробно еще один частный случай, важность которого видна из следующего определения. Говорят, что два нормальных механизма Я,(У) и ййз(У) не связаны, если Ю, не зависит от переменных Уа, от которых зависит Ю„а 1й1, не зависит от переменных Уа, от которых зависит Ю,. (Заметим, что Ю, и Й>з могут, конечно, зависеть от а+1 термодинамических переменных Т, )(ы ..., д,.) 1бт Легко видеть, что в этом случае ч'(Х) - Р»'(Х)+ч: (Х) и что существует сопряженная диссипатнвная функция Ю'(Х), для которой Ю'(Х) =Ю; (Х)+Ю.," (Х).
Уыен НЕЗАВИСИМОСТЬ ТЕРМИЧЕСКОЙ И ВНУТРЕННЕЙ ДИССИПАЦИИ. ЗАКОН ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Ч11.4.1. Гипотезы независимости. Ограничимся случаями, в которых диссипатнвный механизм можно рассматривать как сумму нормальных механизмов, определяемых через соответствующие диссипативные функции, Между тем было показано, что среди переменных 1»„ У„ ..., 1»„ фигурируют, в частности, трн компонента вектора а, которые обозначим так: 1»»-з=уо 1»»-1=Р» 1»»=ув остальные переменные, как и прежде, будут Уо 1'„..., 1'„где г=и-3.
Кроме того, в формулах (13) было введено разложение диссипации Ф на внугреннюю диссипацию Фе н термическую днсснпяцню Ф,: » Ф=Ф,+Ф„Ф, Х Х~Уь» Фв Х Юву„» (43) ь~1 в! где Х в= Яв» Х, Я!» Х~= Яв» или Ц вЂ” ~ . (49) Будем говорить, что термическая и внутренняя днссипации независимы (в соответствии с данным выше определением), если имеет место равенство Ю(У'ь 1'ь " ° 1'.) =Ю,(~'» 1'ь ", 1',)+Ю,(уь 4,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
