Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 41
Текст из файла (страница 41)
В самом деле, рю оцР», так как внутренняя диссипация равна нулю и ф О. Принимаем, )т! как обычно, г=О, так что уравнение (Ч11.15), эквивалентное энергетическому уравнению, в нашем случае †„ =О. де Итак, энтропия частицы, прослеживаемой в ее движении, остается постоянной.
Если допустить, что энтропия исходной конфигурации остается постоянной, то отсюда будет следовать, что энтропия всей системы также остается постоянной при движении, называемом изоэнтропнйным, и равной, например, е,. В этом случае приходится также вводить энергию деформации (на единицу объема исходной конфигурации) 1а, (1.) = р,е (з„Ь), которая позволяет полностью описать механическое поведение среды.
Разумеется, энергия объемных деформаций одной и той же среды при изотермических процессах и энергия объемных деформаций при изоэнтропийных процессах являются функциями от Ь, вообще говоря, различными. Итак, в адиабатиом случае уравнения движения фактически не связаны с уравнением энергии. Обратим внимание на то, что здесь имеется аналогия с движениями идеальных жидкостей.
Впрочем, идеальнуюжидкость можно рассматривать как особый случай гиперупругой среды (если отказаться от предположения о существовании естественного состояния). Как и в случае идеальной среды, можно показать, что значения удельной энтропии в «тылу» фронта ударной волны больше ее значений перед фронтом ударной волны.' У1И.З. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ Как уже отмечалось в Ч1.3.3, можно построить линеаризованную теорию упругости, справедливую лишь в асимптотическом смысле для малых возмущений, но которая в силу своей простоты будет полезной для многих приложений.
В этом случае в соответствии с общими указаниями, данными в Ч.4.5, можно заменить Ь„з на еы— компоненты теизора деформаций при малых возмущениях, а— д7..з' на 017. Ч!(1.3.1. Законы связи напряжений с деформациямн. Будем считать, что справедливо предположение о существовании естественного состояния. Если ограничиться изотермическими или изоэнтропийными процессами, когда существует удельная энергия деформации, .обозначаемая через щ(е, ), то с учетом предположения о малости возмущений величины дв рв= — О, и рв=о 0О дзм будут эквивалентными, бесконечно малыми. Следовательно, их можно считать равными при любых 0; и равными удельной энергии деформации частицы или, с точностью до знака, удельной мощности 172 внутренних сил.
Итак, имеем соотношение дю О17 = —, д»м ' (32) которое можно установить также путем непосредственной линеаризации одного из точных законов поведения, например (19). Так как речь идет о линейной теории, то правая часть равенства (32) (которая, как известно, равна нулю при е» О) должна быть линейной относительно е,1. Следовательно, в качестве функции в (еу) достаточно выбрать форму, квадратичную по переменным е,, которая в соответствии с известными результатами термостатйки должна быть положительно определенной.
Итак, пусть 1 1с = — ау„„еме„». (33) Постоянные а,1»», называемые упругими постоянными среды, — суть компоненты тензора четвертого ранга — тензора модулей упругости среды. Они удовлетворяют соотношениям симметрии ао»» — — а»„„— — ау»» а»»у. (34) Из этих соотношений следует, что правая часть (33) представляет собой общую квадратичную форму от шести независимых пеРеменных ебь имеющУю, как это легко пРовеРить, 21 Различный коэффициент (квадратичная форма т-го порядка имеет пезаж Па+11 висимых коэффициентов).
Таким образом, согласно (32) закон поведения запишется в виде (35) о17 = оу»»е»» Отметим также тождество ! ~Р (о, ) 1с (е, ) = о, е, — в (еу) = — о, е». Отсюда получаем, что ЙР бо; е, +оубеу — дв=з,Гбобь (37) 173 1 (36) Заключение. В общем случае в линейной теории упругости удельная энергия деформации представляет собой квадратичную положительно определенную форму компонентов е,г (33), поведение среды при этом определяется равенством (32) или (35). Эти законы, определяемые 21 упругим модулем с размерностью напряжений, образуют тензор четвертого ранга, называемый тепзором модулей упругости среды.
ЧП1.3.2. Двойственная формулнрош(а. Уравнение (35) можно разрешить относительно егг и выразить последние как линейные функции а,г (так как квадратичная форма (ЗЗ) положительно определена), определив тем самым некоторую функцию <р(о,1), для ко- торой и тогда ео —— —. дф дом ' (38) функция <р(оы) является преобразованием Лежандра функции !е(е; ). Энергия деформации здесь непосредственно выражена через напряжения. Уравнение (38) — это закон поведения в форме зависимости деформаций от напряжений.
Очевидно, что !р(оо) является квадратичной формой переменных о,: 1 !Р(о!7) = 2 А1~еео,Рам (39) где коэффициенты А,~ье удовлетворяют соотношениям симметрии, аналогичным соотношениям (34). Следовательно, в этом случае урав- нение (38) запишется в такой форме: еы — А! «ео„„, (40) причем коэффициенты Ао„е получаются при решении уравнений (35) относительно еы. Таким образом установлена двойственная форму- лировка изложейной выше теории, когда еы и о, поменялись ролями.
ЧШ.З.З. Изотропные среды. Если теперь сделать дополнитель- ное предположение о том, что среда изотропна, то получим квад- ратичную форму ш(е, ), выраженную лишь через инварианты мат- рицы е и являющуюся фактически (как и в уравнениях (8)1 линейной функцией от е', и еи, которую можно записать так: в = 1/2 (Л (еие~~) + 2ре1~е;~). (41) Вводя шаровые и девиаторные составляющие по формулам о! —— ФЗ; +ооп <ф=О, е; =е'3; +еоь е~ =О, получаем выражение !о = 2 (3 (ЗЛ+ 2р) (е')'+ 2реу!) = — (9К (е')'+ 2ре()еон), (42) аналогичное выражению (11). Необходимым и достаточным условием того, чтобы эта квадра- тичная форма была положительно определенной, является требование ЗЛ+2р=ЗК>О, р>О.
Таким образом, вновь приходим к результатам, полученным ранее в Ч1.3.3 и, в частности, к закону поведения (Ч1,27). Приведен- ные выше неравенства следуют из более жестких ограничений, выте- кающих из данных эксперимента. Энергия деформации, выраженная через напряжения ооь после введения модуля Юнга и коэффициента Пуассона запишется в форме ! 1 1(1+м) т 2 оцео 2 ( Е о'/~О у о!!оп) (43) а закон поведения (38) вновь приобретает форму (Ч1,31). 114 Вводя в (43) шаровые и девиаторные составляющие, имеем также ~=-,16 —,(~)*+ —,о о4.
— !+ч о о) (44) Замечание. Выписывая тождества оц базу= Зоз дз+ооц дзц = Ив, ец боц =Зе' боз+ец боец= бзр и используя выражения (42) и (44), вновь находим законы поведения (Ч1,28) ы (Ч1,32), связывающие между собой шаровые части и девнаторы: оз = ЗКез, ооц 2рзц.
! — 2ч о !+ч о е'= — о', ец = — оуи Е ' Е которые с учетом тождеств (Ч1,33), связывающих К, р и Е, ч, вквявалентны. У!11.4. ТЕРМОУПРУГОСТЬ Обобщим полученные' результаты иа случаи, когда температура может меняться. Соответствующая теория называется классической термоупруюстью. Возьмем за отправную точку следующий экспериментальный вывод. Если нагреть упругое тело, свободное от напряжений, то оно удлиннтся. В рамках линеаризованной теории и в предположении, что среда изогропна, можно допустить, что деформация будет пропорциональна 0 = Т вЂ” Т„ где Т, †температу естественного состояния: е=а01, е, =аббы, где а — не зависящий от температуры коэффициент, который, как в теории малых возмущений состояния с однородной температурой Т„будем предполагать постоянным. Величину а называют коэффи- цйентом линейною расширения, а За — коэффициентом объемного расширения. Из тех же соображений можно предположить, что в общем слу- чае, когда меняются одновременно и напряжения и температура, закон поведения можно получить путем сложения обоих эффектов.
Этот закон будет иметь вид в, = — о, — — (о )б, +а06, 1+ч ч (46) или, если выразить напряжения через деформации и изменение тем- пературы, оц = )ь(ела †б) б, + 2)ь (е! — айбц), т. е. о, =Хеааб, +2ре, — ЗКайбц, (46) з зк-ззз-зз — зз з~ю р з — * . а З"" Р Р Р " " зя~з 178 закон содержит слагаемое, пропорциональное разности температур 6, которая и вызывает тепловые напряжения. Формулы (45) и (46) и закон теплопроводности (закон Фурье) определяют законы поведения в теории термоупругости. Представ- ляют интерес вытекающие иа этих законов выражения для термо- динамических функций.
Для функции свободной энергии имеем рзпф= роз пТ+ог~бе1~ рьзоТ вЂ” ЗКайбе~+ 1 + — б(Хепег+2ре; е,Д, нли б(р,ф — в(е, )1= — р,зйТ вЂ” ЗКаббе„ (47) где через в(е,~) обозначена плотность энергии деформации при постоянной температуре Т„ а через е, †перв инвариант в Величина р,6 †является функцией от Т и инвариантов е„ еи, еп„ и поэтому из (47) следует, что энтропия з= — †„ не зависит от инвариантов еи и еш и з ЗКа д (рв) д (ЗД аз) де, дТ так что р,з ЗКае, + Ь' (Т), (48) где Ь(Т) — функция одной лишь температуры, а Ь'(Т) — ее произ- водная. Так как з определена только с точностью до аддитивной постоянной, то без ограничения общности можно предположить, что Ь (Т,) = Ь' (Т,) = О. Тогда после интегрирования дифференциального уравнения (47) получаем следующее выражение для свободной энергии: р,ф в — ЗКа (Т вЂ” Т,) е, — «(Т).
(49) Отсюда легко выводится выражение для плотности внутренней энергии р,е= р, Я+зТ) = в+ ЗКаТ,е, + ТЬ' (Т) — Ь(Т). (50) Эта формула позволяет дать физическую интерпретацию функции Ь(Т). Величину — (Т, е,г) называют удельной теплоемкоетью при дз постоянных деформациях; она равна количеству теплоты (в обрати- мом процессе); полученной единицей массы при повышении темпе- ратуры на один градус при постоянной деформации. Обозначим эту величину через С, В среде, для которой внутренняя энергия за- дается уравнением (5), С, зависит только от температуры, и поэтому, зная функцию С,(Т), можно принять р,С, =ТЬ" (Т), «' (Т) = р, Г 'т(, ) бТ', ТЬ'(Т) — Ь (Т) = 'ог, =р,~; С,(Т)бт (5! ) и получить в явном виде уравнения (45), (46) и (47).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
