Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Формулы (88), (89) и рис. 1 и 2 отражают общее поведение вязкоупругой среды при сдвиге. Трехпараметрическая модель представляет собой частный случай общей теории„когда модули релаксации и функция запаздывания определяются соответственно уравнениями (86) и (87).
Модель Кельвина— Фойхта и модель Максвелла являются еще более специальными случаями, вырожденными по сравнению с общим случаем (бесконечный мгновенный модуль и равенство нулю времени релаксации для модели Кельвина-Фойхта, равенство нулю длительного модуля и бесконечное время запаздывания для модели Максвелла). Можно было бы построить и более сложные модели, нежели модель с тремя параметрами, введя другие скрытые параметры. Например, можно обобщить (79), полагая л ф= -з- (е')'+р або!+Х р (зп — В)7) (з8 — з17), (90) а=! где р„, р„м„..., р„— постоянные; величины $ф представляют собой шесть скрытых параметров (ф=ф), удовлетворяющих д уравнениям Щ= О.
Выражение вида (90) хорошо описывает изотропные среды; более того, обобщение на случай анизотропных сред не представляет затруднений. Возможна также экстраполяция моделей на неизотермические процессы. Ниже описывается метод, который позволяет, отбросив предпо. ложение о линеаризации, построить более общие модели нелинейных вязкоупругих сред. Ч1И.З. УПРУГО-ИДЕАЛЬИО-ПЛАСТИЧЕСКИЕ СРЕДЫ Ниже покажем, каким образом может быть использован метод локального состояния с целью введения законов пластичности в наиболее простых случаях. Будем рассматривать для простоты только малые возмущения, считая при этом, что остаются справедливыми предположения метода линеаризации. Кроме того, будем рассматривать только изотермические процессы. Ч!!1.8.1.
Качественный подход к построению моделей. В любой теории пластичности предполагается, что существует предел напряжений (предел текучести) и поведение среды различается в зависимости от того, находятся ли напряжения ниже предела текучести или же на этом пределе. Ниже предела текучести среда считается Рнс. 4. Нагрузка н разгрузка прн чистом растяжении Рнс. 3. Схематическое нзоораженне напряженного состояния! дз-поверяпость тепутестя; е-упругея оапасть упругой, на пределе текучести движение среды происходит по новым законам, которые и предстоит сформулировать.
Ограничимся случаем идеально пластических сред. Для таких сред предел текучести остается неизменным, определенным раз и навсегда заданием среды, иными словами, для каждой частицы этот предел не зависит от предыстории. Если же (что будет всегда пред-' полагаться) среда однородна, предел текучести будет одинаковым для всех частиц рассматриваемой системы. Для рассуждений удобно использовать вспомогательное ортонормированное пространство девяти измерений, называемое пространством напряжений. Точка Х такого пространства изображает тензор напряжений Е, координаты ее равны компонентам оп.
Обозначим через ду множество точек Х, изображающих напряжейные состояния на пределе текучести. Будем считать, что ду — замкнутая поверхность, ограничивающая открытую связную область у, внутри которой находится начало координат. Множество точек Х из о представляет собой совокупность состояний ниже предела текучести.
Рассмотрим частицу М системы, в которой тензор напряжений Х непрерывно меняется во времени. Изображение напряженного состояния в этой частице в пространстве напряжений представляет собой дугу непрерывной кривой Г, причем положение частицы на кривой определяется временем 1. Предполагаем также, что каковы бы ни были воздействия на частицу М, дуга Г всегда принадлежит замкнутой области у (именно в этом основной смысл понятия предела текучести). Другими словами, ни в одной из своих точек система не может иметь тензора напряжений, изображение которого лежало бы вне данной замкнутой области. Пусть А,А,А,А,А,АеА, †ду кривой, ориентированная в сторону возрастающих г (рис.
3). Во всех точках полуоткрытой дуги [А,А,[ (т. е. кроме А,) или полуоткрытой дуги )АеА,1 (т. е. кроме А,) частица находится- в упругом режиме. Во всех точках открытой дуги )АаАе[ (иными словами, кроме точек А, и А,) частица находится в пластическом режиме, и локальный процесс в частице является процессом нейтрального нагружения. В точке А, локальный процесс есть процесс нагружения (А,— точка нагружения). В точке А, локальный процесс представляет собой разгрузку (А, — точна разгрузки). Закончим качественную характеристику описанием поведения деформаций в одном частном случае.
Предположим, что с течением времени тензор напряжений в рассматриваемой частице остается одноосиым тензором простого растяжения и лишь один из компонентов о„отличен от нуля. Будем научать поведение компонента е„ тензора деформаций '(рис. 4). Обозначим через й н — й' значения йомпоиеита о„, в которых достигается предел текучести (л и л' положительные величины): л — предел упругости (текучести) среды при простом растяжении, л' — предел упругости при простом сжатии.
Предположим, что в начальный момент и напряжения и деформации л, анны нулю. Если в течение процесса ом остается в интервале — й', +й[, то материал ведет себя как упругая среда и в каждый момент имеет место равенство пц = Евц, где постоянный коэффициент Е является модулем Юнга. Предположим теперь, что в некоторый данный момент времени (, компонент оц достигает значения Й и сохраняет это значение в течение интервала времени (),, (~). (Напомним, что, по предположению, ом не может быть больше й.) В течение этой фазы (Г,, 1,) частица остается в пластическом режиме.
Опыт показывает, что в этом режиме в изучаемых средах, модель которых необходимо построить, деформация ец растет. В плоскости (зм, оц) точка В, изображает состояние в момент (;. Предположим затем, что точка В; является точкой разгрузки, иными словами, в течение времени (з < г < г, компонент оц принимает значения, лежащие между — й' и й. Начиная с точки Вт среда находится в упругом режиме, или, точнее, производные пм и етг от ом и зм удовлетворяют уравнению пг1 — — Ез,ь (91) где Š— все тот же модуль Юнга.
В точке типа В, деформация представляет собой сумму: зц = з11+ е(„оп= ЕВ„ (92) где, по определению, е'„— пластическая (постоянная) деформация; а,',— упругая деформация. В течение времени (г„г,) пластическая деформация остается постоянной. В точке В, в момент времени ~, компонент оц равен нулю (деформация зп отлична от нуля). В точке В„ соответствующей моменту („ деформация равна нулю, а компонент 0,1 (отличный от нуля) определяет остаточное напряжение в этой точке. В точке В, в момент (, достигается предел текучести при сжатии. Если ом остается постоянной и равной — Ф' на отрезке (1„ 1,.), то соответствующая фаза будет пластической.
Здесь компонент зм уменьшается. На этом простом примере видно, что в упругих режимах приращения напряжений и деформаций связаны упругими соотноше- 190 1 ф(а,,)= 9 Ауу»»е1уа»», (93) где А,у,», как и в (39), компоненты тензора модулей податливости среды, удовлетворяющие обычным соотношениям симметрии: А1у»»- Ау1»» = Аы»» = А»»ы. Если положить, как это сделано в уравнении (61), а,у — — —,, е;у — — еуу+ а~с, е эф е (94) 1У то получим тензор упругих деформаций зц и тензор пластических деформаций зУу — зависимости, вполне аналогичные (92).
Рассчитав внутреннюю диссипацию, получаем (см. в Ч1П.6.2) Ф,=о1 О11, где, как и в лииеаризованной теории, Оц= эу — — зп, О!у= ~~ — — еь О1у=О~у+Осу=е1у. (95) (96) Здесь Иу — тензор скоростей упругих деформаций; О11 — тензор скоростей пластических деформаций; О, — тензор скоростей деформаций. Сформулируем теперь дополнительные ааконы. Предполагая механизм диссипации нормальным, нужно выбрать диссипативную функцию, как в ЧП1.6.2.
В соответствии с данными выше пояснениями 191 пнями и что в пластических режимах деформации не остаются постоянными и растут даже тогда, когда напряжения фиксированы. В этом случае говорят, что материал находится в состоянии пластического течения. Сразу же сделаем оговорку, что никакой реальный материал не ведет себя столь схематически. В главе Х определим пределы и оценим справедливость принятой схемы.
Но даже с учетом критических замечаний по поводу формулируемой здесь теории следует признать, что именно эта теория является первой теоретической схемой явлений пластичности, играющих очень важную роль в механике твердых тел. Ч!!1.8.2. Законы поведения. В этом разделе стоит задача сформулировать законы поведения сред, обладающих указанными выше свойствами. Рассмотрение этих свойств приводит к мысли принять компоненты оу в качестве термодинамических переменных (напомним, что движения предполагаются изотермическими).
Обозначим через ф (пу ), как и в (60), термодинамический потенциал среды, который будет, таким образом, аналогичен термодинамическому потенциалу для упругой среды (ЧП1.3.2) нли также, подобно тому, как принято в (Ч111.6.2), потенциалу для вязкоупругой среды Максвелла. Таким образом, в общем случае можно написать, что будем считать, что ниже предела текучести диссипация равна нулю и, следовательно, дополнительные законы могут быть записаны в такой форме: 1)»у=О, что в силу уравнений (94), (93) и (96) дает формулу джар~ з,у 3у (3--) = А,уэ„одм уу! (97) причем функция «г (о,у) отрицательна внутри выпуклой области р с границей ду. Говорят, что йр(о, ) — поверхность текучести среды, Дополнительные законы, определяемые данной конструкцией, выра- жают тот факт, что 01»у в некоторой точке Х поверхности др — век- тор, коллинеарный вектору нормали к опорной плоскости к поверх- ности ду в точке Е.
Предполагая, что Х вЂ” точка поверхности ду, в окрестности кото- рой существует непрерывно вращающаяся касательная плоскость, можно написать зависимость И,=л ~, р ддр до~у' (99) дХ в которой Х вЂ” неотрицательный коэффициент, так как о, — имеет до1у тот же знак, что и производная от У вдоль радиуса-вектора (в дан- ном случае «+»), а диссипация Ф,=Хо,у (100) до(у является неотрицательной величиной. Поверхность ду определяет предел текучести среды, и для пластического режима закон поведения в силу уравнений (99), (96), (94) и (93) запишется в таком виде: ауу=А1у»»о»»+Х вЂ”, ХЪО.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
