Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Примем ва отправную точку следующее проатое утверждение. Если формально предположить, что коэффициенты А,~лз в формуле (93) равны нулю (модули упругости в этом случае — бесконечно большие величины), тогда упругие деформации а'„, определяемые по формуле (94), также равны нулю, и деформации сводятся к пластическим. Отсюда следует, что внутри поверхности текучести среда ведет себя как абсолютно твердое тело (абсолютно жесткая среда) и, в частности, 0,у — — О.
На поверхности текучести Р(о, ) =О поведение тела определяетоя соотношениями (99): рц, ), дт, ),>О. (115) дам ' Таким образом, для такой среды деформации полностью описываются тензором скоростей деформаций, как и для жидкости, и закон поведения полностью определяется выбором поверхности текучести. Более того, очевидно, что понятие термодинамического по тенциала теряет здесь свой смысл, а закон поведения сводится к дополнительному закону, введенному на основе предельной диссипативной функции, характеризующей явление идеальной пластичности.
Из этого следует, что рассматриваемая предельная схема не вписывается в рамки гипотез о малых возмущениях, которые принимались за основу при построении законов поведения упруго- идеально-пластических сред. Физический смысл этой дополнительной гипотезы можно понять нз следую. щнх зэмечзннй. Если внешнне воздействия недостзточно еяелякяь н не могут вызвать внугрн среды внутренние нэпряження, опнсывэемые тензором нзпряженнй нэ поверхности текучеатв, т.
е. 4г (оы) < О, то среда остэется в рэвновеснн (еслн онз была в равновесии в начальный момент). Если, напротив, поверхность текучести достигается н такое состояние поддержввэегая, по меньшей мере, в некоторых честях системы, то нмеет место плэстнческое течение, несколько похожее нэ течение жндкастн, н деформзцяя в собственном знзченнн этого понятия могут атзть относительно большнмн. 197 Такая предельная схема оказывается весьма полезной либо при изучении поведения металлов при обработке давлением, прокатке, прессовании, волочении, ковке, штамповке, либо для определения условий разрушения металлических конструкций (теория предельного равновесия). Очевидно, что в обоих случаях упругие деформации малы в сравнении с пластическими деформациями и ими можно пренебречь.
чш.в. Вязкоплдстические сРеды В заключение настоящей главы приведем пример, когда дисси- пативный механизм представляет собой сумму двух нормальных диссипативных механизмов (ЧП.3.5). Последнее обстоятельство пред- ставляется естественным, ибо уже в предыдущих разделах выявлено существование двух различных механизмов диссипации — диссипация вязкая и диссипация пластическая. И в самом деле существуют среды (битумы, смазки, тяжелые масла), в которых обнаруживается присутствие обоих упомянутых эффектов. Ограничимся для простоты случаем жестко-вязко-пластической несжимаемой среды, причем процессы, происходящие в среде, будем считать изотермическими.
Понятие термодинамического потенциала (как и в Ч111.8.6) в данном случае теряет смысл; деформация пол- ностью описывается тензором скоростей деформаций 0,~', диссипа- ция сводится к величине Ф=пыРЫ. Для простоты будем полагать, что диссипативный механизм представляет собой сумму двух нормальных диссипативных меха- низмов, один из которых †пластическ, определяемый диссипатив- ной функцией (113): Ю,(0„) =2~му(0„0„)~!~, другой — механизм вязкости, описываемый функцией Ю,(0, )=2ИР, 0 где а и р-две постоянные величины. Учитывая, что среда несжимаема, и принимая во внимание общий результат (ЧИ,46), можем написать, что Ры и, — Рб, +т,, т, =Я вЂ”,„, +2РРЕИ (116) 1! где О;,— второй инвариант тензора скоростей деформаций (со зна- ком ч — э), Рп = 2 000~/ ! (! 17) а давление р — произвольная величина.
Если течение на самом деле имеет место, то закон поведения (116) остается справедливым; к тому же в этих условиях — т,РИ вЂ”вЂ” — 000,~( ~, +2Р (д-)-2РРпм) =З(ь (118) в / так как тензор т,/ является, очевидно, девиатором напряжений (Р,„=О) и, следовательно, при наличии течения напряжение З(~ превосходит константу л.
Закон (116) в этомслучае, очевидно, должен быть дополнен; полагая, что если 31~ <лй, то О/ =0 (119) и материал ведет себя как жесткое тело. Среда, определяемая соотношениями (116) и (119), называется жидактью Би/йг/ша. Заметим, что в предельном случае, когда р=О, имеем жестко- пластическую среду, удовлетворяющую критерию Мизеса. Другой предельный случай (у=О) соответствует несжимаемой жидкости.
В соответствии с уравнениями (118) закон поведения может быть записан в «обратномй виде: если З3' — // <О, то 1/// — — 0; '1/й з'1/й если же 33/' — й> О, то 2р0// — — ты ",„, . (120) и ГЛАВА 1Х ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТЕЙ СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ Последующие главы этого курса будут посвящены рассмотрению задач, связанных с равновесием и движением сплошных сред с заданными законами поведения. В нашем распоряжении имеются общие уравнения законов сохранения и уравнения, описывающие механическое или термическое поведение материала. С учетом граничных условий (которые, возможно, придется уточнить или дополнить) задача о движении среды, свойства которой заданы, решается чисто математическим путем. На практике из-за огромного множества состояний и ситуаций, которые могут представиться даже в том случае, если свойства среды полностью определены, и большого разнообразия задач, возникающих в физических и технических приложениях, в каждом разделе механики сплошных сред возникает большое количество задач, которые приходится решать либо аналитически, либо числовыми методами.
Каждый из этих разделов имеет обширные области приложения (теория упругости, механика жидкостей, теория пластичности, вязкоупругости и т. п.), им посвящены последующие главы данного курса. Однако прежде чем приступить к изложению этих разделов, представляется необходимым подвести итог рассмотрению фунда'ментальных понятий механики сплошных сред, построив решения некоторых элементарных и хорошо известных задач.
Из этих решений сразу же будет видно различие в поведении сплошных сред, о которых речь шла выше. Не затрагивая общих методов каждой из этих теорий, опишем несколько простых случаев, когда возможно сравнение с экспериментом и определение (хотя бы в принципе) значений констант, фигурирующих в формулировках законов поведения. Настоящая глава посвящена механике жидкостей. Сначала рассматриваются задачи о равновесии и затем изучается различие между сжимаемыми и несжимаемыми жидкостями. В двух первых параграфах рассмотрены простые течения (стационарные и нестационарные), что позволяет ощутить различие между вязкими жидкостями и идеальными — как предельный случай вязких.
В последнем параграфе эти же течения изучаются в предположении, что жидкостив неиьютоновские. 1ХЛ. СТАТИКА ЖИДКОСТЕЙ Р' Рнс. 1. Равновесие жни кости в сосуде !Х.1.1. Общие уравнения. Рассмотрим жидкость, находящуюся в покое относительно системы отсчета Я; на жидкость действуют заданные объемные силы (. Очевидно, что если Л не являются галилеевой системой отсчета, то в 1 следует включить переносные силы инерции.
Даламберовы силы инерции равны нулю, так как, по предположению, частицы покоятся относительно системы М. По определению (Ч1.2.1), тензор напряжений шаровой и в любой точке (которую обозначим М) можно положить Е= — р', где скалярная величина р задает давление жидкости в данной точке. Для внутренних точек жидкости уравнения запишутся в такой форме: 1»=р» или у=дгадр. (1) Из этих уравнений уже можно извлечь некоторые результаты.
Жидкость может быть в равновесии только в том случае, когда объемные силы потенциальны, т. е. 1= — йгаб Я (М). (2) Давление р — Я(М) (с точностью до аддитивной постоянной), причем поверхности равного давления — изобары — являются поверхностями уровня поля уе(М). Если объемными силами можно пренебречь, то давление в жидкости постоянно. Жидкость обычно занимает некоторый объем 5, граница которого дЯ образована либо стенками сосуда, либо поверхностью раздела с другой жидкостью. Типичный случай †жидкос в сосуде (рис.
1), граница д5 здесь состоит из смоченной поверхности Е» сосуда и поверхности Х» раздела между атмосферой и жидкостью. На поверхности Х~ не нужно ставить никаких граничных условий, однако следует отметить, л» что, зная давление на Е», мы можем рассчитать действие жидкости на сосуд. В самом деле, внешние поверхностные силы Р'(Р) в каждой точке Е» равны-р»в и воздействие жидкости на сосуд определяется поверхностными усилиями с плотностью рп. Поверхность раздела Хз является контактной поверхностью (11.4.2), и давление при переходе через нее остается непрерывным (см.
П1.1.4). Иными словами, давление жидкости в каждой точке поверхности Ез равно атмосферному давлению р,. Эти общие выводы о равновесии жидкостей будут использованы ниже при исследовании несжимаемых и сжимаемых жидкостей. 1Х.!.2. Статика несжимаемых жидкостей (гидростатика). Так как жидкость несжимаема, то плотность р остается постоянной (И.4.4); никакой информации о давлении р из закона поведения получить нельзя. Вот несколько простых типичных примеров.
а) Если заданные силы †э силы тяжести (ось х, направлена вертикально вверх, а ускорение д считаем постоянным), то имеем ),=О, 1,= — рд; (3) следовательно, для всего объема жидкости р ря (Ь вЂ” х„), (4) где Ь вЂ констан. Видно, что изобарнческие поверхности представлены горизонтальными плоскостями. б) Пусть в равновесии находятся две тяжелые несжимаемые жидкости, разделенные поверхностью Е, заданные объемные силы— это силы тяжести. Обозначая через р„р, и р„р, соответственно плотности и давления в обеих жидкостях, имеем Рз=рзй'(Ьз хз)~ Рт=ргй(йт — хз) (5) где Ьт и Ь,— постоянные. Так как В является поверхностью контакта, то р,=р„т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
