Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Обратим внимание на два предельных случая, рассмотрение которых предоставляем читателю. Если »=0, жидкость заполняет весь цилиндр Га, л =О, (»(г)=йь; т. е. опять жидкость вращается как абсолютно твердое тело. Если жидкость занимает все пространство вне цилиндра Г, а скорость в бесконечности равна нулю, то этот случай можно рассматривать как предельный, когда йь=в а Ь стремится к бесконечности. Тогда У=апраэй», (» (г) =пей»; скорость вращения Й (г) обратно пропорциональна ге, а циркуляция вектора скорости вдоль линии тока постоянна и равна Г=2паэЯ . Говорят, что вне цилиндра Г» течение жидкости совпадает с вихревым течением вокруг оси Ох» интенсивности Г.
!Х.2.8. Некоторые замечания о рассмотренных стационарных течениях. Рассмотренные элемента(эные примеры дают возможность сделать первый важный вывод. Чтобы вязкая жидкость продолжала оставаться в стационарном режиме, необходим подвод определенной внешней энергии, компенсирующей энергию, затрачиваемую на необратимые внутренние процессы. Итак, рассмотрены два вида внешних воздействий. Первый заключается в затрате энергии на поддержание постоянного вращения стенки сосуда, которое тормозится контактирующей с ней вязкой жидкостью (течение Куэтта, течение между двумя цилиндрами).
Второй †п неподвижных стенках (течение в трубе) необходимо создавать перепад давления по всей трубе (например, с помощью насосов). Без подвода энергии вязкая диссипация ведет, очевидно, к уменьшению скоростей и, в конечном счете, к остановке течения. Идеальная жидкость в этом отношении ведет себя совершенно иначе. Если вернуться к примеру течения в трубе (1Х.2.3), то легко видеть, что течение, задаваемое уравнением (23), удовлетворяет всем уравнениям движения, какова бы ни была функция и (х„х,), при условии постоинства давления.
Более того, относительное скольжение стенок сосуда не оказывает никакого влияния на течение. Это является следствием и новым доказательством того, что отдельные струи не оказывают друг на друга никакого влияния. Однажды начавшись, течение будет продолжаться бесконечно беэ внешнего вмешательства.
То же можно сказать и о течении внутри двух цилиндров (1Х.2.4). Скорость вращения ь)(г) может быть вы'брана произвольно, и давление определяется тогда первым уравнением (28). Это различие между течениями вязкой и идеальной жидкости (или газами) необходимо хорошо усвоить. 2! $ В дальнейшем сравним между собой выводы теоретических исследований и результаты экспериментов. При хорошем согласовании н получаем простой метод определения коэффициента вязкости. Формула Пуазейля сводит измерение коэффициента вязкости к измерению расхода, а формула (31) — к измерению мощности, развиваемой двигателем, который вращает цилиндры. Именно поэтому данные течения названы вискозиметрическими.
В табл. 1 приведены значения 14 и т=)ь(р (кинематический коэффициент вязкости) *' для некоторых жидкостей. Обратим внимание на то, что все приводимые величины зависят от температуры '*е. Выше предполагалось, что изменения температуры в изучаемых течениях были весьма незначительны (для жидкостей это хорошо подтверждается опытом), и, следовательно, коэффициенты р и ч можно считать постоянными. Таблица 1 Плотность н коэффнцненты вязкостн некоторых жидкостей н воздуха Кннемвтнчеснна Ковффнянент внв- новффнннентвн - Платность носта М г/!см'с> в/ ж г/сма ностн е, ем*/с Темнература /.
'С вещество Вода Бензол Сянрт Ртуть Глнцернн Смазочное масло (средней вязкостн) Воздух (прн давлении ! атм) ( 0 10 15 20 60 Замечание. В системе СИ единицей вязкости является пуазейль 1 кг/(м.с)); один пуазейль равен 10 пуазам (1 П=! г/(см с)]. диницей кинематической вязкости является мириастокс ее** (1 мв/с), равный 1О' стоксам (1 Ст=! смв(с). Таким образом, приводимая таблица дает возможность легко получить значения р, т и р в системе СИ вЂ” для этого достаточно умножить приводимую величину на 10 ', 10-' и 1О' соответственно. е Прн ламннарных режимах.
См. 1Х.6.1. а* Целесообразность введения этого коэффициента будет выявлена ниже (1Х.З). вее Прн определенных экспернментальных условиях онн могут эавнсеть также н от давления. ееее В оригинале гпуг!аз!окса. В отечественной литературе этот термин (еднница кннематнческой вязкости вснстеме СИ) почти не используется.— Прим. ред. 5 10 !5 20 50 15 15 15 15 20 1,514.10 1,304.10 е 1,!37 Ю 1,002 Ю 0,548 10 0,70 !О в 1,34 !О в 1,58 10 23 10 в (: 275 10 в 350 10-' 1,71 АЙ !0 4 1,76 1О 1,78 10-4 1,81 ° 10 2.ю-а 1,514 10 в 1 304 10 1,138 1О 1,004 10 в 0,554 1О 0,80.10 в 1,70.10-в 0,116.10 18 10 в 300.10 380 10 в 0,132 О,!41 0,145 0,150 0,188 1,00 1,00 0,999 0.998 0,998 0,88 0,80 13.6 1,26 ( О,9О 0,95 1,293 !О 1,247 10 1,225.10 1,205 10 1,О6О Ю в 1х.з.
нвкоторыв примвры наустлновившихся тачвний Чтобы подкрепить примерами сделанные выше замечания, рассмотрим неустановившиеся течения, в которых проявляются вязкая диссипация и вязкие диффузионные эффекты. Ограничимся течениями с параллельными траекториями при постоянном давлении. !Х.З.1, Предварительные замечания об уравнении теплопроаодности. Рассмотрим течение, задаваемое полем скоростей: (7,=и(х„Г), (7,=0, (7,=0.
(32) Уравнение неразрывности (17), очевидно, выполнено. Так как давление постоянно, то нетождественным будет лишь первое из уравнений (18), которое дает — =т— ди Уи (ЗЗ) дквп где ч — коэффициент, называемый кинематическим коэффициентом вязкости, равный (34) Р Название кинематический связано о тем, что размерность коэффициента РТ ' равна квадрату единицы длины, деленному на время, и не содержит единицы массы. Для реализации таких течений достаточно знать решения уравнения (33) (уравнения теплопроводности, описывающего теплопередачу плоскопараллельными слоями). Отсюда следует, что процесс диффузии вязких эффектов аналогичен процессу распространения теплоты.
Найдем решения (33) для 1> О, удовлетворяющие некоторым заданным частным начальным условиям прн Г О. Уравнение (33) инвариантно относительно группы аффинных преобразований: Полагая а=1-ы', видим, что функция и должна зависеть лишь от одной переменной х,(-»' (можно сказать также, что и — однородная функция нулевой степени относительно х, и (м'). Итак, примем и=7(8), 8= 'г' 4М (37) Определяемая соотношениями (37) функция и будет решением 213 х,' ах„1' =а'1, (35) где а — произвольная константа.
Это значит, что если и(х„г) —. решение уравнения (33), то функция и(х„1)=и(ах„а*, 1) также решение этого уравнения, что очевидно. Найдем среди решений уравнения (33) инвариантные относительно приведенной выше аффинной группы, т. е. иными словами, такие решения, в которых при любых а, х„1 (1 >0) имеем тождество и (х„1) = и (ах„а Ч).
(36) (33), если — + 28 — =*0 б'1 б1 бв ОВ откуда после интегрирования имеем е и 1(8) А+В$о ехр( — з ) дз, (38) Замечание. Очевидно, что если и(хз, Π— бесконечно днфференцируемое решение уравнения (33), то так же обстоит дело и с производнымн атой функции по ее аргументам хз и Д что без труда следует из того факта, что (33) — линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Дифференцируя решение (33) по хз, приходим к выводу, что в полуплоскости Г > О функция В / хз '1 о(хз 0 — ехр~ — — ! )г-,;,) ~ з г/ будет решением уравнения (33). Если Г стремнтся к нулю со стороны положительных значений, то п(хз, 0 равномерно стремится к нулю в любом замкнутом интервале оси Охз, который не сЪдержит начало координат (зкспонента стремится к нулю быстрее, нежели Гыз).
С другой стороны, для любого г > О м(Г) ~ о(хз, Г) дхз В Р'й. Очевидно, что функция м(г) в действительности константа, может быть по непрерывности продолжена в точку Г О. Отсюда следует, что функция 1 / хег е(хз, Г) — ехр ~ — — ~ )г 4юи1 — решение уравнения теплопроводности, непрерывно дифференцируемое прн г >О, которое в пределе при г О отождествляется с мерой Дирвка, сосредоточенной в начале координат оси хз. функция е, кроме того, равномерно ограничена при Г > Ге > О.
Можно доказать, что решение е(хз, О, называемое элементарным решением уравнения (33), единственное, удовлетворяющее указанным выше требованиям. !Х.3.2. Течение жидкости, возбуждаемое скачком скорости плоской стенки, Пусть жидкость занимает полуплоскость х, > О. В момент 1 0 жидкость покоится и контактирует с плоской стенкой х, О. Прн 1>О стенка х,=О приходит в движение и движется с постоянной скоростью У вдоль оси х,. Легко проверить, что соответствующим подбором постоянных А и В можно найти решение уравнения (38), при котором выполнялись бы все условия данной задачи. Заметим прежде всего, что при фиксированном х, величина 8 стремится к бесконечности, если 1 где А и  — две константы.
Применение найденного решения может быть различным, но, очевидно, это будут только частные случаи. Из решения (38) следует, что А и В имеют размерность скорости, и, таким образом, можно использовать решение (38) только в задачах, где задаются одни лишь скорости. В частности, стенки сосудов и труб не могут иметь никаких характерных длин, именно поэтому решение (38) будет применено лишь в задачах, где граничными поверхностями будут плоскости, параллельные плоскости х, О. стремится к нулю-со стороны положительных значений.
Так как имеет место равенство 2 ~~ е ' бз=Уп, то функция, определяемая формулой (38), стремится к (А -1- 1)2ВУ и). Кроме того, при фиксированном 1 и х,— О 0- О, а и- А. Усло- вия прилипания и начальные условия выполняются, если принять А=У, В)/и= — 2У, т. е. и=У(1 — =~ е-*'бз). (39) 6 О, У 4ч(. (40) Такой слой называется пограничным, его толщина 6, как видим, пропорциональна Уч(. Этот результат уточняет сделанные выше Из этого результата следуют важные выводы, 1'. В фиксированный момент( > О и — убывающая функция переменной х„на бесконечности стремящаяся к нулю. Для любых сколь угодно малых значений ( скорость любой частицы жидкости отличается от нуля, т.
е. благодаря наличию вязкости движение стенки мгновенно передается всей жидкости. 2'. При фиксированном значении х, н при бесконечном увеличении 1 скорость стремится к У. В течение некоторого промежутка времени большего, чем больше лм скорость жидкости в х, становится практически равной У. 3'. Пусть х, и ( имеют некоторые фиксированные значения, отличные от нуля. Рассмотрим течения, определяемые формулой (39) при убывающих до нуля значениях э. Значения 0 тогда бесконечно растут, вследствие чего и стремится к нулю. При таком предельном переходе в любой фиксированной точке с координатной х, ФО течение приближается к течению идеальной жидкости, когда т=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
