Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Функцию, обратную функции Б=т(й), будем обозначать й=к(5), 220 Следует заметить, что в изучаемых вискозиметрических течениях тензор скоростей деформаций локально есть тензор простого сдвига. Вследствие этого видим, что фактически при исследовании вискозиметрических течений потребуются не функции двух переменных К, и К„фигурирующие в соотношении (49), а лишь две более простые функции одной переменной — вискозиметрические функции жидкости. 1Х.4.1.
Внскозиметрнческие функции. Вернемся к течению типа простого сдвига, рассмотренному в гл. Ч! и 1Х.2.2, а также на рис. Ч1.1, когда а сложную функцию Ф() (Я))— )Ч (5) = М (), (5)). (52) Таким образом, й является неизвестной функцией переменной х„ и, следовательно, все тм — функции только одной переменной хти пол енные при замене в формулах (51) й выражением й(х,). ак как ускорение отсутствует, а внешние массовые силы предполагаем равными нулю, то уравнения движения, сводящиеся к виду а, т — — О, дают др дтм др дтм др — — — — — =О.
дх, до ' дх, дх, ' дхз (55) Таким образом, давление р зависит только от х, и х, [согласно (55,Ц; оно является аффинной функцией х, [согласно (55,Ц, ибо коэффициент при х1 не зависит от х„как зто следует из (55,). Функция р имеет, таким образом, вид р = Рх, + у (х,), где Р— перепад давлений вдоль х,. Но тогда из (55,) следует, что т„= — Р (х,— а), где а — некоторая постоянная. С учетом законов поведения имеем З=т(й)= — Р(х,— а) или Л= — Х(Р(х,— а)). (56) Это решение в принципе позволяет определить и(х,) в соответ- ствии с (54), а остающаяся неизвестной функция у(х,) находится Очевидно, Х(3) — нечетная функция 5, )т'(5) — четная функция 5.
Сравнивая решение (51) с решением, найденным в Ч1.2.2, замечаем, что сдвиговое напряжение тга уже больше не является линейным относительно Й и что в найравленнях х1 и х, к давлению добавляются нормальные напряжения )Ч(й). В некоторой точке М для направления е, оси х; вектор напряжения будет: Т (М, е,) = ( — р + И (л)) е, + т (й) е,. Ньютонова жидкость представляет собой предельный случай рассматриваемых здесь более общих сред, когда при небольших значениях скорости сдвига в вискозиметрических функциях сохраняются только величины порядка й. !Х.4.2. Течение между двумя параллельными плоскостями.
Пусть (как и в 1Х.2.2) даны две плоскости П и П' с уравнениями х,=й и х,= — й, а исследуемое течение, удовлетворяющее условию несжимаемостн, имеет вид Ц,= (х,), и,=и,=О. (53) В любой точке все компоненты Ю,~ равны нулю, кроме 0 =В 1 ди а 2 дхв 2' (54) из уравнения (55,): у (х,) = твв+ ро = У (Р (хэ — а)) + роо (57) изация решения нешиих воздейстсь плоскость По П движется пою У параллельн ти; и-аффинная (58) где р, — константа.
Дальнейшая конкрет определяется заданием в г вий и краевых условий. Течение Кузтта. Зде Рис. !2 фиксирована, а плоскость ступательно со скорость о оси Ох;. Перепад давлений отсутствует: Р=О. Следовательно, сдвиг й постоянен во всей облас функция х„определяемая условиями прилипанияс г,в~+ а 2Ь о„= — Р„о,—,=т( — ), о с=о«в= — (Р, +)Ч (72)~, остальные компоненты асг равны нулю. Неньютоновый характер жидкости проявляется, в частности, в «зффекте нормального давления», который приводит к тому, что о„не равно уже ни ом, ни а,, Обе плоскости неподвижны и задан перепад давлений.
Учитывая то, что Л(В) — нечетная возрастающая функция Я, видим, что функция я(хв), определяемая из формулы (56,), имеет график, показанный на рис. 12. Так как функция и является первообразной для сг, то площадь заштрихованной части должна (алгебраически) равняться нулю. Отсюда необходимо следует, что а=О. Следовательно, распределение скоростей дается формуламис и= — ~ ' Л(РВ)сЦ=~ Л(Р$)с($=~ Л(Р$)с)3= — ~ Л(5)с(3.
(59) Ненулевые компоненты теизора напряжений имеют значения: авв = Рхг — ро. осв = овс Рхв' он= сгэв Рхс- (р, + 1с) (Рх,)). (60) Представляется интересным рассчитать среднюю скорость течения (или дебит на единицу длины) вдоль направления х,. После интегрирования по частям получаем Я =Ми ] и(х,) с(х,=)х,и(х,)]+в„-] х; —,с(хи Таким образом, распределение скоростей не зависит от закона поведения. Давление р равно произвольной постоянной р„и можно написать, что Так как и (+Ь) = и ( — Ь) =О, то из формул (56,) имеем Я ~ Х(Рха)хабха= — а~ Х(5)565 р ~ Х(5)565.
(61) При фиксированном Ь величина Я для данной жидкости зависит только от Р и имеем др (Р% (Р)) = 2РЬаХ(РЬ). (62) Итак, изменяя Р и измеряя расход 1~(Р), можно найти по формуле (62) функцию Х(5), обратную вискозиметрической функции т(Ь), равную скорости сдвига в течении типа простого сдвига. Видно, что такое течение позволяет (по крайней мере теоретически) определить в рамках поставленных гипотез некоторые свойства поведения жидкости.
1Х.4.3. Течение в круглой трубе. Рассмотрим вновь течение Пуазейля. Используя цилиндрические координаты х, г, 6(х,=х„ х,=гсозй, х, гз1пй), построим установившееся течение в виде У, и(г), У, У, О, О~г<1т.. (63) Для удобства используем в каждой точке естественный.ортонормированный репер М, соответствующий цилиндрическим координатам '. Обозначим через С„„, С„° Ср„, С„е Се„... компоненты в 32 некоторого симметричного тейзора второго ранга С. Очевидно, что выражения (63) определяют локально некоторый тензор скоростей деформаций простого сдвига; более точно, в репере Я все компоненты Й> равны нулю, кроме одного: 1 дп 1 Р 0 =- — -Ь. т» ае 2 дг Таким образом, Ь является функцией переменной г. Согласно соотношениям (5!) ненулевые компоненты тензора вязких напряжений даются в Я формулами т„тег ° 1Ч(Ь), т, =т„, т(Ь) (64) и зависят, таким образом, от одной переменной г.
Что же касается уравнений движения, то при отсутствии ускорений они запишутся в таком виде: дт 1 др дт~, 1 др ! дв (65) Рассуждения и выкладки будем проводить таким же образом, как и выше. Сначала покажем, что р — Рх+ у (г), (66) где Р— постоянный перепад давления, необходимый для поддержа- ° Некоторые нз приведенных здесь формул даются в П1Ч. 223 ння стационарного течения. Уравнение (66,) тогда дает, Рг г!и г'Ргт ° = — — -т(й)=5 й= — - — Л( — ). 2 аг ~2) Имеем далее "/РгЪ т.г.г тгг (67) (68) производная у(г) определяется из уравнения (66,)".
ат ! о ( )т(Рг)1 (69) Скорость находится интегрированием уравнения (67) с учетом условий прнлнпания к трубе, которую считаем неподвижной: и (г) = ~ Л ( — ) д$ = — ~ Л (5) 65. (70) Обратим особое внимание на выражение для расхода! Я=2п~ и(г)гбг=2и([и 2~ ) й. 2 Й) С учетом условия прнлнпания и(Р) 0 н формулы (67) имеем Я= ) Л( — 2)г'б =Р.') Л(5)5'65 (71) Л( — ) —., — !Р~О,(Р)]. (72) Решение для ньютоновой жидкости отсюда вытекает как частный случай; в самом деле, если в выражении (71) положить т(А)=1Й, Л(5)= —, 5 Р то вновь приходим к решению (26). Так же можно было бы рассмотреть течение между двумя вращающимися цилиндрами (задача 30) и показать, что пара сил с моментом М, необходимым для вращения цилиндров, связана с разностью скоростей вращения уравнением В а 3а (2ага) г ' Эта формула обобщает полученный выше результат (31). (73) Если при неподвижной трубе изменять перепад давления Р, то после дифференцирования по Й получаем уравнение, которое позволяет определить вискозиметрическую функцию Л(5) на основании измерения расхода: !х з.
внскознметрнчнскнн тнчнния жидкости нинглмл Полученные выше результаты легко распространить на более широкие по сравнению с рассмотренными в разделе 1Х.4 классы жидкостей, например на материально простые среды, обладающие непрерывной памятью. Здесь мы рассмотрим вязкопластические жидкости и, в частности, несжимаемую жестко-вязко-пластическую среду, назьваемую жидкостью Бингама.
Известно, что закон пове- дения такой жидкости записывается в таком виде (Ч111.116): .о„ о,~ —— — рб~~+тоь тн — — л —,, + 2р()ы (0~, > 0), (74) о~~и где и — предел текучести на сдвиг (по напряжениям); р — козффи- циент вязкости. Кроме того, если 0,~ — — О, то величины ты не оп- ределены, но они удовлетворяют условию (Ч111.120): (-. ) ~на з т~Рм~ ~» й'. 1Х.6.1. Течение между двумя параллельйыми неподвижными плоскостямн. Не производя заново расчетов и используя предыду- щие выкладки и результаты, полученные в 1Х.4.2, видим, что для течения (53) все вязкие напряжения ты равны нулю, за исключе- нием компонента тво и что т,;=т(й)=рй+д(з!6пй), й~О, (75) т,;=т(0), — д~т(0)(й, Й=О, / где з!йпл равен либо + 1, либо — 1 з зависимости от того, поло- жительно или отрицательйо й.
Таким образом, для изучения течения жидкости Бингама до- статочно приравнять Ф(л)=0 и взять в качестве т(й) разрывную функцию, определяемую соотношениями (75). Заметим, что обратная функция ь(5) непрерывна; (р '(5 — я) при 5 ~п, Х(5)= ~ 0 при -й(5~6, (76) р '(5+я) при 5< — я. Если, например, плоскости неподвижны и перепад давлений Р задан, то формула (59) позволяет сразу же получить распределение скоростей. Действительно при 5> д первообразная функции ь(5) равна (2р) ~(5 — д)', так что мы имеем~ ( и (Й х~) (Р з д! если р <ха< ! г (ь+кв! т я и= — ~л — — ~, если 0<х,< Р. Расход дается формулой (6!).' (78) з и ы73 О, если Рп<п, — (! — Д) (2+Ра), если Рп> д. Рис. 13. Вискозиметрическая функция т(А) и об- ратная функция )) (3): - ° — ° - — вьаяовова жядкость (11); — — жадность Нянгама (1); ---- — собственно жядкость (Ш) Рнс, РК Профиль скоростей н дебит: -.— ° — — вьютоноаа жядкость (П) жядкссть вякгама (1); - — - - — собспмпно жядкость (Ш).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
