Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Из сказанного прежде всего вытекает, что решение рассматриваемой задачи не единственное. Рассмотренное выше ламинарное течение, являющееся к тому же самым простым, существует всегда для каждой данной точки из дважды заштрихованной области, но наблюдаемое на практике течение оказывается не таким, так как *Точный фи»нивский смысл числа Рейнольдса и покатив подобия течений будут даны в рамках механики жидхостей. ламинарное течение неустойчиво. Точно так же течение с тороидальными вихрями теряет свою устойчивость, если Кег достигает достаточно больших значений при фиксированном Ие,.
Итак, если теоретически найдено некоторое теченйе, удовлетворяющее всем уравнениям и условиям задачи, то для того, чтобы убедиться, что данное течение соответствует действительности, следует изучить вопросы устойчивости. Это ведет к довольно сложным математическим задачам, важность решения которых видна из скаванного выше. В качестве примера скажем, что изменение одного из геометрических или механических параметров может привести к превращению ламинарного течения в турбулентное. Возникновение турбулентности было и остается одним из основных вопросов механики жидкости и можно сказать, что сегодня, несмотря на самые тонкие исследования, многое остается неясным. Из этой главы, где на простых примерах показаны особенности поведения жидкостей, видно то исключительное разнообразие фундаментальных проблем, которые стоят перед наукой о течениях. ГЛАВА Х ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЗАДАЧИ, ИЛЛЮСТРИРУЮЩИЕ ПОВЕДЕНИЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ Назначение и содержание настоящей главы были определены уже в начале предыдущей главы, и теперь остается указать структуру и содержание ее разделов.
Уточним сразу же, что для простоты рассмотрим только вопросы равновесия или, в крайнем случае, квазиравновесия, когда полностью отбрасываются все инерционные эффекты. Поэтому используемыездесь основные уравнения будут уравнениями статики. Далее, все примеры будут рассматриваться в рамках гипотезы о малых возмущениях, т. е. деформированные конфигурации системы будут близки к исходной. Иными словами, всегда можно воспользоваться упрощениями, о которых шла речь в Ч.4.5.
И наконец, будем предполагать деформации изотермическими, а исходную конфигурацию— естественным состоянием среды. Все эти предположения вполне допустимы, если только иметь в виду такие важные задачи, как задачи равновесия конструкций. Классическая теория упругости является основополагающей дисциплиной механики твердых теле. Все другие дисциплины (которые, ь Напомним, что понятие «твердого телаь здесь дано в общенрвнятом смысле (т. е. разрешены некоторые деформации), а не в смысле аабсолвтио твердою тела», принятого в общей меканвке, где зто понятие обозначает недеформируемуаг жесткую систему.
231 как правило, рассматривают вторичные эффекты) являются как бы надстройкой над зданием теории упругости. В связи с этим представляется уместным рассмотреть, прежде всего, несколько традиционных аадач теории упругости. Не углубляясь дзлеко в задачи эластостатики, которые будут изучены во второй части настоящего курса, рассмотрим несколько простых (но имеющих важное значение) примеров, которые подводят к таким важным понятиям, как жесткость на кручение или изгиб.
Во втором н третьем разделах вновь вернемся к рассмотрению тех же проблем, когда материал будет упруго-идеально-пластической или вязкоупругой средой. На этих простых примерах можно будет легко оценить влияние новых эффектов, учитываемых данными законами поведения. К.1. КЛАССИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ Х.1.1. Основные уравнения.
Напомним, что классическая теория упругости является линейной теорией; йевозмущенное состояние системы есть естественное состояние материала, предполагаемого покоящимся. Это состояние принимается за исходное. Как было сказано в Ч.4.5, в любой момент времени область, в которой нужно записывать основные уравнения,-это область, занятая системой 5 в исходной конфигурации (частица М фиксируется координатами к, в ортонормированном базисе этой конфигурации), граничные условия также должны быть выписаны для поверхности д5 исходной области. В такой линеаризованной теории переменные х~ играют одновременно роль лагранжевых и эйлеровых переменных. Исследуем равновесие системы 3 при действии на нее внешних сил, представляющих собой объемные силыГ" (М), заданные внутри 3, и поверхностные силы с плотностью Р(Р), определенные в любой точке Р граничной поверхности дЗ. Под действием этих сил любая точка системы смещается относительно своего исходного естественного состояния х„на величину перемещения Х(х„), компоненты которого Х,(х„), Прежде всего выпишем уравнения, которые следуют из законов сохранения.
С учетом предположений нужно записать только те из уравнений, которые отражают закон сохранения количества движения — в данном случае уравнения равновесия (П1.6): о, +);=О. (1) Эти уравнения должны выполняться в любой точке 3; соответствующие граничные условия (111,15) здесь таковы: о~~ну Р~ (2) и они должны выполняться для всех точек поверхности д5. Заметим далее, что поскольку изучается состояние равновесия, то сразу можно сказать, что торсор сил, определяемый полями,Г" и Р, должен быть необходимо равен нулю; это условие запишется 232 закон поведения можно записать, используя коэффициенты Ламе, в форме о, )зыб, +2рз~ или, используя модуль Юнга и коэффициент Пуассона: 1+т еы — — л оы — л оц,бц.
(6) Не будем снова выписывать соотношения, связывающие эти коэффициенты, и заниматься их интерпретацией — это было сделано в Ч1.3.3. Напомним лишь соотношения совместности, установленные в Ч.4.4: еы ы+зм,~ — ем 7,— ет, м О, (7) которые отражают тот факт, что поле деформаций е,~ в действительности соответствует некоторому полю перемещений Хь Х.1.2. Понятие о регулярных задачах.
В задаче эластостатики, как и в любой математической задаче, имеются заданные и неизвестные величины. В данном случае неизвестными всегда являются поле перемещений Х,(хь) и поле тензоров напряжений оы(х„) в области 3. Как заданные, так и неизвестные величины должны удовлетворять всем уравнениям задачи [и уравнениям (1), (4) и (6)~ и дополнительным или граничным условиям, которые должны выполняться на граничной поверхности дЗ (так как изучаются только задачи равновесия, то можно не учитывать начальные условия). Любая задача должна быть прежде всего корректно поставлена; это означает, в частности, что решение должно существовать и что оно должно быть единственным; кроме того, оно должно быть непрерывной функцией заданных величин.
Найдем условия, которым в задаче эластостатики должны удовлетворять заданные величины, с тем чтобы проблема была корректно поставленной. Для начала получим один простой результат, который будет полезен при поиске и формулировке этих условий. Будем исходить из равенства, отражающего в общем виде принцип возможных мощностей.
Пусть 0; (х„) — непрерывно дифференцируемое поле возможных скоростей, а Ьы(хэ) — соответствующее поле ззз в уже использованных ранее обозначениях: [~,+щ„-о. (3) К этим уравнениям следует добавить уравнения, отражающие законы поведения. Если ограничиться случаем однородных изотропных сред, то можно воспользоваться соотношениями, сформулированными в явном виде в Ч1.3.3. Здесь приведены только две из возможных форм этих законов. Обозначив через з,~ компоненты тензора деформаций (при малых возмущениях): зу — — з (Хьх+Хг,), 1 (4) тензоров скоростей возможных деформацяй, то в силу (1Ч,9) имеем ~э~, О, до+ ~„Р, О,бо= ~зоЩ, бо, возможная мощность ускорений равна нулю, так как речь идет о задаче равновесия. Если выбрать в качестве поля О,— поле действительных перемещений Хо то тогда О, =з, и предыдущее равенство запишется в этом частном случае в такой форме: ~ ~,Х,до+~ Р,Х,бо ~ о, е, бо.
(8) Подыитегральное выражение в правой части совпадает, очевидно, с удвоенной плотностью энергии деформации (ЧП1,36). В переменных е~~ эта энергия представляет собой положительно определенную квадратичную форму в(е,~). По определению, интеграл от ю по области 3 называется энергией деформации системы 5 в рассматриваемом состоянии равновесия. Левая часть равенства отражает работу внешних сил на поле перемещений Хо Итак, можно сформулировать следующую теорему.
Теорема (о работе). Работа внешних сил, приложенных к упругой системе, в состоянии равновесия на перемещениях от гстественного состояния частиц системы равна удвоенной энергии деформации системы. Если заданные величины таковы, что левая часть уравнения (8), т. е. работа внешних сил, равна нулю, то энергия деформаций также равна нулю. В силу того что в — неотрицательная и непрерывная функция от х„в 3, величина го необходимо равна нулю в любой точке в 3. Кроме того, так как в положительно определенная квадратичная форма переменных е;, то все е, тождественно равны нулю в любой точке 3.
В силу соотношений (5) компоненты о, также равны нулю. Поле напряжений н поле деформаций тождественно равны нулю, поле перемещений, как это было показано в Ч.4.4, является полем моментов некоторого торсора, т. е. полем бесконечно малых перемещений абсолютно твердого тела. Такое решение называется триеиаевным, так как внутренние силы и деформации равны нулю. Итак, можно сформулировать следующую лемму.
Лемма. Если данные некоторой задачи таковы, что )~Х,=О в любой точке в 8, Р,Х,=О в любой точке на д5, (9) то единственным является тривиальное решение задачи. Так, в частности, обстоит делов случае регулярных однородных задач. Определение 1.
Задача называется однородной, если заданные величины тождественно равны нулю. Кроме того, она называется локально регулярной, если данные задачи таковы, что в любой точке М из области З,Р(М)=О и, с другой стороны, в любой точке Р гра- 234 пичной поверхности д8 величины зи(Р) и Х(Р) принадлежет двум ортогональным е векторным пространствам (в трехмерном евклидовом пространстве, в котором они определены). Имея эти предварительные результаты, вернемся к рассмотрению поставленной проблемы. В любой задаче эластостатики будем всегда предполагать, что массовые силы у(М) заданы.
Остальные данные относятся к поверхностным силам Р(Р) и к перемещениям Х(Р) на граничной поверхности дЯ; по непрерывности решение должно, разумеется, удовлетворять поставленным на поверхности дЯ граничным условиям. Вот несколько примеров граничных условий. з) Заданы (кроме усилий у в области 5) значения Хг(1 1, 2, 3) перемещений во всех точках дЗ. Граничное условие, которому необходимо удовлетворить, заключается в тоы, что разыскиваемые перемещения Хг должны при приблнженнн к граничной поверхности д5 принимать заданные значения Х~ на дЗ: Хг Хг (1 1, 2, 3). (10) Такие аадачи называются задачамн типа 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
