Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Обозначим через ей' (О, О, ей) главный вектор одноосного тор- сора, определяемого поверхностной плотностью Р(Р) на ' Х,; 4— площадь прямого сечения цилиндра. Ось х, будем полагать совпадающей с центрами тяжести прямых сечений (при однородной поверхностной плотности). Тогда линия действия главного вектора ар будет всегда совпадать с осью х„а Ф АР. Согласно принципу Сен-Венана можно допустить, что всякий раз, когда к торцам Хг и Ее приложены усилия, торсоры которых эквивалентны соответственно силам Ф' и -е[Г, а боковая поверхность Ез свободна от нагрузок н массовые силы пренебрежимо малы, то соотношения (12) и (14) определяют поле напряжений и поле перемещений. Разумеется, это решение представляет собой хорошее приближение к искомому решению для тех частей бруса, которые достаточно удалены от торцов Е, и Хч.
Предположим теперь, что торец Хе бруса заделан в жесткий монолит, а остальные условия задачи остаются неизменными ([=.О внутри 5,[Р(Р)1х, [Р), Р(Р)=О на Хз). Строго говоря, это означает, что перемещения Х(Р) на В, тождественно равны нулю на плоскости х,=О. Решение задачи по формулам (12) и (14) не будет строгим, так как перемещения на х, = О не будут везде тождественно равны нулю.
Нов соответствии с результатами, полученными в Х.[.3, можно допустить, что формулы (12) и (14) дадут одно из приближенных решений, так как ось х, является геометрическим местом центров тяжести прямых сечений. В самом деле, и смещение начала координат и вращение в этой точке будут тождественно равными нулю, что приблизительно соответствуют условиям жестко заделанного торца Х, (Х.1.3).
Экспервмеытальыые проверка. Приведенные результатылегко проверить экспериментально. Поскольку невозможно осушествнть строгую реализацию граничных условнй на торцах Хе и Хь будем проводить измерения иа малом участке бруса, достаточно удаленном от торцов, например изучая дзформацню малого прямоуголь. ника длины ь, начерченного до деформации на боковой поверхности бруса (рис. 3).
После приложения нагрузки прямоугольник деформируется. Для обычных матеналов и е особенности для металлов установлено, что прн растяжеынн (Р > 0 илн > 0) длина увеличивается до значения ь+Ьь, а ширина прямоугольника уменьшается. Весь брус, подобно этому прямоугольнику, удлиняется, а его прямое сечение уменьшается.
И обратно, если брус сжимать вдоль осн (Р < 0 или Р < 0), то длина его уменьшается, а прямое сечение увеличивается. Таким образом, отсюда вытекает, как уже отмечалось в (1Ч.З.З), что Е и т положительны. С колнчественыой точки зрення аакон, по которому происходит удлинение (называемый обычно законом Гука) и который записывается в форме Еззз=Р з= — = — =— Ы 1Р о "ь ЕА Е (!5) нлн (где для простоты относительное удлнненве з,з обозначено через з), хорошо выполыяется при условии, когда Р не выходит за пределы отрезка ' [ — Ф, + а)[й, называется пределом пропоряиоиальноапи при расшлхении материила (рыс. З)1. Если Р выходит эа пределы этого интервала, закоы Гука (15) перестает выполняться по двум причинам.
С одной стороны, прн увелнчении растягвваюшего усилия относительное удлинение з уже не будет линейкой функцией от о, а сдругой — материал теряет свойство упругости, так как после снятия нагрузки в точке В состьяыия среды будут соответствовать кривой ВС (соввадмошей практически с прямой линыей), а не кривой ВЛО. для описания таких процессов нужно применыть теорию пластичности (ИП.8.1). Опытные данные, полученные измереыием деформаций на контуре, ыаиесенном на брусе, позволяют определить значения коэффициентов упругости. Ниже приводятся зкаченяя этих коэффициентов для некоторых обиходных материалов с целью дать читателю представлеыие о порядке иеличин. Е, кг/ммт и, кг/мм' Материал Х.1Л. Равномерное сжатие тела произвольной формы.
Тело 3 (рис. 4) подвержено действию равномерного давления. Следовательно, речь идет о регулярной задаче типа 11, данные которой таковы: ,у=О внутри Я и Р= — р/з на д5, где р — скалярная постоянная, которую будем считать положительной. Заметим, что условие (3) выполняется и совершенно очевидно, что однородное поле шаровых тензоров напряжений о„=о„=о„= — р, о„=о„=о;„=0 (16) удовлетворяет уравнениям равновесия (1) и граничным условиям (11).
° Эдесь предполагаем, что пределы упругости при сжатии н растяжении равны по модулю. Практически так оно обычно и бывает, однако в отдельыых случаях они могут различаться. 240 Рис. 2. Проверка справедливости закона Гука ыа примере растяжения балки, верхний конец которой заделан в монолит Сталь обычная Железо обычное Алюминий Бронза обычная 22 000 20 000 7 000 10 000 Рнс. 3. Чистое растяжение. Предел упругости при чистом растямеиии ясстигается е точке А(И=К/ 0,25 0,3 0,34 0,31 Далее, в силу законов поведения р ! — 2т а, е =е = — = — р зк= я Рис.
4 Х(М)= — ~ ОМ= — 0М. зк е (17) з„=,,=а„=о, где ЗК ЗХ+2р; К вЂ” модуль упругости всестороннего расширения — сжатия (Ъ'1.3.3). Поле тензоров деформаций в данном случае соответствует следующему полю перемещений: Формулы (1б) и (17) дают единственное решение задачи, при этом, конечно, на поле перемещений можно наложить перемещение (бесконечно малое) всего тела как жесткого целого. Эксперимент показывает, что для обычных упругих материалов это решение хорошо подтверждается при любом давлении р и что К является, как и следовало ожидать, положительным. В отличие от эксперимента на простое растяжение в случае равномерного сжатия в первом приближении предел упругости равен бесконечности..
Х.1.6. Чистый изгиб цилиндрической балки. Система 5 в данном случае — балка в виде цилиндра с образующими, параллельными оси х,, как н в Х.1.4. Считаем, что оси выбраны так, что триэдр Ох,х,х, совпадает с главными осями инерции прямого поперечного сеченйя Е„. Тогда центры тяжести расположатся на оси х„а направления осей х, и х, будут главными направлениями для любого прямого сечения Ж! балки.
Заметим, что при этом главные моментьз геометрической инерции сечения Ж равны; 7, = ~ ~4ба, 7,= ~,х',йп, (18) и согласно предположению ~д,х,до= ~эх,бо= ~вх,х,бо =О. (19) Все эти предположения общности не ограничивают; сечение Ж>, которое считается связным, может иметь произвольную форму (рнс.
5, б). Поставим задачу найти решение, которое отражало бы состояние изгиба балки под действием сил, приложенных к ее торцам. На рис. б,а видно, что волокна балки, т. е. материальные линии, параллельные оси х„в области, близкой к верхней части (х, ( 0), удлиняются и находятся, таким образом, в состоянии растяжения, а волокна нижней части (х,)О) укорачиваются и находятся в состоянии сжатия. Такого рода соображения приводят к мысли, что речь идет о задаче второго типа, условия которой следующие: 7".=О, боковая поверхность Е, свободна от нагрузок, заданные поверхностные уси- а) .м амтв ! $дв Рнс.
б. Изгиб стержня: а-жтрвхоаоА лмввея оовазаво деформврозаввое волов ение стержвв: б-орамоа сече. вве; з-схематваавва авежввх усвлва, создамщвх «згвбавжве момевтм М в -М лия на торцах Е, и Хе коллинеарны осл х„а их числовая величина в некоторой точке сечения пропорциональна расстоянию х, этой точки от координатной плоскости х,=О.
Запишем эти условия аналитически (С вЂ положительн постоянная): 0 на Хвч у=О, Е= — Сх,е, на Е„ +Сх,е, на Хаз (20) заметив, что при этом соблюдается необходимое условие (3): силы, приложенные к каждому волокну, равны по модулю и противоположны по знаку (рис. б, в) В соответствии с уравнением (19) главный вектор торсора усилий, приложенных к Х„равен нулю; таким образом, этот торсор сводится к паре сил, момент М которой относительно центра тяжести имеет следующие компоненты: — С)эх,хайо, +С) ~х,'до, О. В силу равенств (19) и (18) можно теперь написать М=Ме,=С1,е„М=С1,.
(21) Итак, силы, действующие на Е„образуюоя пару сил, момент копюрой, называемый изгибающим, параллелен славной оси инерции е,. Силы, действующие на части поверхности Х„эквивалентны паре с моментом — М, и снова необходимое условие (3) соблюдено. Кроме того, получена йнтересная интерпретация постоянной С, которая, как оказалось, легко выражается через изгибающие моменты на торцах. Покажем, что поле тензоров напряжений простого растяжения (зависящее от координат) М о„= — Сх, = — — х„о„= оза = о„.
= о„= о„= 0 (22) т удовлетворяет условиям рассматриваемой задачи (для упрощения обозначений момент инерпии 1, будем далее обозначать через 1). и) УХ1 А о —— х 1 Ф 1 1 тхг () — — — — — — ю х, ~а А 1 Рнс. 6. Чистый изгиб заделанной балки: я-естестаенноа сосчоянне балки: О-деформация нейтральной лиани ОА н пряного сечения йга после приложеняя иагибаюшнх усилий Заметим прежде всего, что уравнения равновесия (1) и граничные условия (11) и (20) выполняются. Далее, из определяющих уравнений (5) следует, что все зг являются линейными функциями (иногда равными нулю) перемейной х, и, следовательно, условия совместности (7) выполняются, Остается найти из уравнений (13) ноле перемещений; уравнения (13) запишутся здесь следующим образом: М тМ Ха а= —.х„Х, « =Ха а= —.х„Ха а+Х,,= = Х,,+Х,,=Х, т+Х,,=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
