Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Тот факт, что предел упругости не зависит от шаровой составляющей тензора напряжений, является обобщением экспериментальных данных, сформулированных ранее в (Х.1.5) для частного случая, когда тело подвергается равномерному сжатию; если приложить к упругому телу, находящемуся в равновесиц, нормальное растяжение или всестороннее равномерное давление, то к тензору напряжений в каждой точке тела добавится одна и та же шаровая составляющая, однако полозсение етого тензора относительно предела упругости не изменится. Отсюда следует, что упругая область, описываемая в пространстве напряжений неравенством (52) 4Г(Е1, Хп, Е ) (О (где в — скалярная изотропная функция тензора Х, зависящая от первого инварианта тензора Х и два ненулевых инварианта его девиатора 5), не меняется при изменении Х, и фиксированных Зп и Зп!.
Тогда для описания такой области можно выбрать в качестве гг функцию, не зависящую от Ег. Таким образом, обоснован ранее принятый выбор определяющей упругую область функции или, что то же, поверхность текучести. В общем случае будем использовать условие текучести Мизеса (ЧШ,109): 2 Ы Ы (53) где д — характериотика среды. Если й — предел упругости при Фистом растяжении, то с учетом того, что в этом случае главные 2Ь А Ь значения девиатора напряжений равны —, — -й-, — -ь, получаем 1 ИГ4 1 11 И 2 У ы 2 15+9+2) 3' (54) В некоторых случаях удобнее использовать критерий Треска, в частности, когда легко определяются главные значения о„а„о, тензора напряжений! этот критерий выражается соотношением Впр1о! — о ( я.
(55) Если изобразить оба критерия на плоскости с помощью трех осей, пересекающихся под углом 120' (см. 1!1.4 и Ъ'111.8.5), то упругая область ограничится в первом случае кругом Мизеса (54), а во втором шестиугольником Треска (55). Обратим внимание на то, что различие этих двух критериев максимально для тензора простого сдвига.
Опыт показывает, что граница упругой области для обычных металлов лежит между двумя границами, соответствующими критериям Треска и Мизеса, причем экспериментальные данные лучше удовлетворяют критерию Мизеса. В режиме пластического течения при использовании условия текучести Мизеса определяющие уравнения совпадают с получен- 233 ными в (Ч111.110): (бб) где Х вЂ” некоторый неотрицательный скаляр.
Прн Х 0 эти уравнения пригодны и для упругой области (как при нагружении, так и при разгрузке). Вернемся к некоторым задачам, рассмотренным в теории упругости, считая, что внешние увилия возрастают от нуля (материал был вначале в естественном состоянии). Нужно определить, при каком значении частица (по крайней мере одна) достигает предела упругости. Как правило, будем помечать звездочкой те значения глобальных усилий, при которых достигается предел упругости материала. Если усилия продолжают расти, то внутри тела образуется пластическая зона; остальные области остаются упругими, Благодаря такому упругому «ядру» материал сохраняет некоторую жесткость, и вся конструкция в целом продолжает выдерживать усилия, растущие до предельной нагрузки; когда эта последняя достигнута, тело целиком переходит в режим пластического течения.
Значения глобальных усилий, при превышении которых тело начинает пластически разрушаться, будем помечать внизу индексом 1. Будет показано, что в действительности при сохранении постоянства предельной нагрузки деформации могут быть сколь угодно большими. Определение предельной нагрузки,. которую может выдерживать конструкция, является одной из основных задач теории пластичности. Заметим далее, что если в рассмотренных выше регулярных задачах в упругой области имеется единственное решение, то при переходе за предел упругости ситуация, вообще говоря, меняется. В общем случае в пластической области нельзя определить деформации однозначно. Будем считать, что полученные результаты соответствуют действительности, если существует по меньшей мере одно поле перемещений, соответствующее найденному полю тензоров напряжения, я такое, что все уравнения задачи и все граничные условия будут удовлетворены.
Такой недостаток или аномалия изучаемой теории есть следствие схематичности и особенностей поведения рассматриваемого 'упруго-идеально-пластического материала. Интерес же к такой схеме вызван кроме ее простоты тем, что оиа дает качественное описание явлений пластичности, из которого можно извлечь важную информацию о предельных для данной конструкции нагрузках. Х.2.2. Чистое растяжение цилиндрического стержня. Рассмотрим снова случай, изученный в Х.1.4.
Поля напряжений и перемещений задаются в упругом режиме формулами (12) и (14). Предел упругости достигается при г =й. В этом случае стержень целиком находится в режиме пластического течения. Так как А-площадь сечения, ет — растягивающее усилие, получим, что ае г'д= вй. (57) Если поддерживать на торцах неизменными поверхностные растягивающие усилия й и -й, то поле напряжений не меняется во времени. Из определяющих 'уравнений (56) следует тогда, что л О лы л л О л з л е,— з Рис. 1О. А — предел упругости;  — точка разгрузки; С вЂ остаточн деформация (ах=а~ при напряжении, равном нулю); 11 — остаточное напряжение (о =сдлк при нулевой деформации) 1 — а)дз 4 з ° Здесь )д — произвольная неотрицательная величина. Этим условиям удовлетворяет бесконечное множество полей перемещений.
Пусть нагрузка Я возрастает от нуля достаточно медленно, чтобы оставаться в рамках квззисгатнческого приближения. В момент 1 гз, когда достигается предел упругости во всем материале, поле перемещений определяется по формуле (14), в которой г" нужно заменить на й. Если предположить, например, что ь зависит только ог времени 1 и обозначить через 5(1) некоторую невозрвстающую произвольную функцию, равную нулю при Г > гз, для которой 35 2зй, то поле перемещений запишется в виде: Хз= [у+%(1)~ х,, Хд — ~ — + — 1 х„, Хз~ — ~-~+ — ~ х,.
Отзктим, что функция $(1) на самом деле может принимать сколь угодно большие значения. Однако данное поле перемещений не является единственным совместямым с условиями задачи полем. Йспользуя уравнения совместности, можно показав, что ь валяется в общем случае полнномом первой степени относительно хь хз и хз, коэффициенты которого зависят от й из етого выражения для ь нежно установить наиболее общую форму поля перемещений (задача т'.16). Заключение.
Как только растягивающее усилие достигает величины, определяемой формулой (67), стержень начинает пластически разрушаться. Естественно, что если в некоторый момент, соответствующий состоянию пластического течения (состояние В) Р, усилие начинает уменьшаться (рис. 10), то наблюдается явление унруеой разгрузки, описываемое уравнениями (56) при )ь О. Деформация, соответствующая А В зна'гению Р 0 (состояние С), называется остаточной. Если продолжать уменьшать усилие до тех пор, пока дефор- Р мация не станет равной нулю, то получим так называемое остаточное напря- О с! жение (состояние О).
Таким образом, в рассмотренном процессе при уменьшении до нуля усилий или деформаций тело ие В~ возвращается в естественное состояние. г ~ев~ г1 1 Х.2.3. Чистый изгиб цилиндрической балки. Вернемся к задаче, рассмотренной в Х.1.6, ограничиваясь для простоты случаем прямоугольного поперечного сечения вр: — й (хд <)д, — ам~ ха(а.
Тогда ""Ъ а ! ! $х, ения г(хг Рис. И. Изгиб балки прямоугольного сечения а напряжения (22) (с учетом того, что )х,~~(Ь) в любой точке не будут превосходить предела упругости, еслй М <Ма Ме= з Ьай', (58) М=2йпйа(1 — -( — „) ~. (61) Когда $ убывает от Ь до О, М растет от Ми до М„где М, = 2Ьайз, При М=М, вся балка (за исключением нейтральной плоскости х,=О) находится в пластической области.
Момент М, называ- 256 где Ь вЂ” предел упругости при чистом растяжении. При предельном значении М, изгибающего момента частицы на поверхностях хт Ь и х,= — Ь вступают в пластическую область. Зададимся вопросом, как описать состояние материала при зна- чениях М, несколько превышающих предельное значение М,. Ин- туиция подсказывает, что близкие к поверхностям частицы балки будут находиться в пластической области, а условия (20) на Х, можно заменить следующими (рис. 11): — Ье„если $ ~ ~х, (Ь, )о -Сх,ез, если -$~х;~~$, (59) Ье„если — Ь ( х, ( — 3, где $-расстояние, определяемое равенством С$=Ь, (60) а распределение поверхностных усилий на торце Ее противопо- ложно по знаку распределению на т,.
По определению, поверхности ~х~) =$ представляют собой упру- гопластическ границу. Усилия (50) создают, очевидно, торсор, зквивалентный паре с моментом Мв;, где М определяется формулой М= — ) Р,х,до= 4а (~,Сх,'Йх,+~ Ьх,бл1~, или а учетом (60) ется пргдельнам изгибающим моментом. р) Таким образом, балка не может выдерживать момента, равного или большего "4) — — — — — — —— Мг В этом случае материал находится в М состоянии пластического разрушения.
При значениях М, < М < М, величина $ определяется однозначно уравнением (61) и получаемое решение †по напряжений, представляющее собой поле Я одноосных тензоров, когда все п,у равны рис. 12. Зависимость между нулю, кроме ааа, нечетной относительно х,: изгибающим моментом и кри- визной: Ма = 2йпаа, М, оаа — Схт пРи О ~(ха ~ в», (4/3) йода оаа — й при $(ха а )а. В самом деле, для такого поля уравнения равновесия и граничные условия выполняются. Остается найти теперь поле перемещений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
