Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 62
Текст из файла (страница 62)
При этом деформации отстают по фазе от усилий (сдвиг фаз зависит от частоты возбуждения) и наблюдается усиление амплитуды (также зависящее от частоты). Такое явление в упругих средах не наблюдается, так как для них Е, = Е„ = Е, т,= 6=0. Принято говорить, что вязкоупругие волны являются диспергирующими. Рассуждения проведены на примере трехпараметрической модели, однако формулы (118) и (119) и качественные выводы остаются справедливыми и для более общих моделей, для которых модуль релаксации Е(() описывается выражениями (107) и (108).
Опыты с вибрацией легко осуществить и получить тем самым практический метод определения вязкоупругих свойств среды, комплексного модуля Е'(ке) н затем в итоге модуля релаксации Е (О. Напомним, однако, что в связи с тем что использована квазнстатическая гипотеза, приведенные результаты ие будут вернымв лля очень высоких частот. Заметим, наконец, что если представляется возможным проводить измерения в переходном режиме, то можно определить время релаксации т . Х.3.4. Другие задачи теории вязкоупругостн.
Можно вновь рассмотреть задачи, связанные с кручением и изгибом цилиндрического стержня или о раздувании сферического резервуара и решить их приведенным выше методом. Заменяя в решении упругие константы соответствующими операторами, получаем решение (в операторных обозначениях) вязкоупругой задачи. Справедливость полученного решения подтверждается тем, что уравнения равновесия, законы поведения н граничные условия выполняются. Для получения решения в явном виде достаточно применить правила операционного исчисления, установленные в Х.3.1. Этот метод решения называют принципом соотеепгствия.
Нет нужды выписывать все формулы полных решений перечисленных задач. Ограничимся тем, что сделаем несколько замечаний относительно глобальных результатов. 27Я В задаче об изгибе балки операторная запись формулы, связы- вающей изгибающий момент (отиосительно главной оси инерции) с кривизной дуги, в соответствии с решением (26) такова: М(»)=!Е»(0) (,, — ( — — — С'(0)М(1), где 7 — момент инерции поперечного сечения относительно главной оси, коллинеарной приложенному моменту.
В выдаче кручения крутящий момент М (1) и угол закручивания в соответствии с формулой (51) связаны соотношениями: М(1)=бр'(0)а(1), а(1) — У'(О) М(1), где д — константа, определяемая по формуле (51). Если, например, дан момент М(1), то согласно (114) имеем да (1) 22 (0) М (1) + 2 ) — (Х) М (1 — Х) Ю, где 1(1) — функция запаздывания при простом сдвиге.
В с4ерическом резервуаре, у которого внешняя поверхность сво. бодна от нагрузок, а внутренняя испытывает давление р((), поле напряжений снова дается выражениями (37), а операторная запись поля перемещений такова: =,.':(- Б ) « Очевидно, что во всех этих задачах можно рассмотреть частные формы нагрузок, приведенные в предыдущем параграфе. В случае гармонического возбуждения, например, если пренебречь переходным процессом, получаем решение также в гармонической форме, в ко. тором коэффициент усиления и сдвиг по фазе зависят от частоты и определяются соответствующим комплексным модулем Е' (йо), р»(йз), К»(из), или комбинацией этих модулей.
Для случая, описываемого формулой (121), если при ( > 0 р(1)=р,юпв(, гармоническая реакция дается формулой г» (~з~~~(йо)+ 4и» (аэ) р») ехр (~~~))' Х.З.5. Приложения теории вязкоупругости. Среда будет вязкоупругой, если имеют место явление релаксации, т. е. когда при постоянной деформации наложенные нагрузки убывают со временем, и явление ползучести, когда при постоянной нагрузке деформации растут, а скорость деформации зависит кроме других факторов и от приложенной нагрузки. Такие среды чувствительны также к скорости, с которой прикладываются нагрузки. Так, например, если при чистом растяжении заданное значение напряжений о, достигается в момент 1, за время Т, то деформация в момент (» будет тем 12 больше, чем больше промежуток време- ни Т, т. е.чем медленнее растет нагрузка, (.ругал Эти явления — характерные признаки того, что среда является вязкоупругой.
В частности, металлы при высоких температурах, бетон, пластмассы обладают (.арго, именно такими особенностями, т. е. явля- 10 ются вязкоупругими средами, Проведенные выше исследования ве- лись в предположении, что поведение р среды было линейным. С помощью теории вязкоупругости хорошо описывается поведение некоторых пластических материалов, состоящих из макромолекул (например, поликарбютен, полиизобутилен, полнтен, полиуретан и т. п.). Эти материалы используются, в частности, для т-б-Г-4-У-2-1 б 1 2 У 4 (али(: ТВЕРДОГО тОПЛИВа РаКЕтНЫХ ДВИГатЕЛЕй, И га теория линейной вязкоупругости в зиа- 16.
Модули Релансап"" чительной степени обязана своим развиполииаобутилена при расгниреиии (л) и при сггнн е (р) тием необходимости знать механическое оее шинам-логарнфмамескме; поведение шашек твердого топлива при пе ременных нагрузках во время горения и при внешних воздействиях, возникающих во время работы двигателей на марше. Простые испытания, как, например, описанные в Х.З.З, могут помочь в поисках наиболее простой формы выражения закона поведения среды, при которой число неизвестных параметров минимально (например, модель с тремя параметрами или еше более частный случай — тело Максвелла или тело Кельвина — Фойхта).
Более общие формулы, как, например (108), о большим числом параметров также могут быть полезными. На рис. 18 приведены для наглядности некоторые эксперимен- тальные значения модулей релаксации при расширении и при вдвиге для полиизобутилена '. Х.4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ В заключении предлагаем читателю изучить рис. 19, в котором сведены для случая разных сред (упругой, упруго-идеально-пластической, вязкоупругой) графики кривых изменения напряжения о при чистом растяжении под действием деформации, приложенной по определенному закону (относительное удлинение з тождественно равно нулю, кроме интервала (О, 1,), когда а=на).
Прн этом предполагается, что в момент 1=0 напряжение и принимает одно и то же значение о,. Кроме того, предполагается, ' Си. работу Хуана, Ли нрохнгерса аЯап1огб (1п(нега((у Тес(гп1еа! (герогЬ> 1963, п' 140. 276 что для упруго-идеально-пла- б' стической среды напряжение ~ а, достаточно велико и позволяет достичь предела те- вв кучестн; в последующие моменты (1 ) 1е) в материале Ф имеется постоянное по вели- св вв .. чине сжатие.
В случае вязкОупругой среды также на- рис. 19. Сравнение эволюции напряжений блюдается сжатие в моменты для различных иатериалов для олива и тоа 1 ) 1„но оно постепенно па- же предыстории деФормации: дает до нуля. В упругой сре- — — усру ' ср яе -----упру л яс.ялессяеесявя среде: — -. - — еявссуярусея де реакция о всегда пропор- среяв циональна возбуждению в, и в моменты 1 ) хе материал мгновенно, а не в конечное время, как в случае вязкоупругой среды, возвращается в начальное естественное состояние.
Пластические среды в естественное состояние не возвращаются. Рассмотренные в настоящей главе простейшие случаи показывают, с какими сложностями и трудностями сталкиваются при изучении механического поведения сплошных сред, которые обычно называют твердыми телами. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРИЛОжЕИИЕ 1 ВЕКТОРЫ И ТЕНЗОРЫ П1Л.
АФФИННОЕ ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО Пространство, которым обычно оперирует классическая механика,— это трехмерное аффинное евклидово пространство Ф", элементы которого — точки, Паре упорядоченных точек (Р, Я) из Ф- соответствует элемент Х векторного евклидова трехмерного пространства Е (Р, ®- Х=Рче. Это отображение обладает известными свойствами РТ)= — ьеР, Р(е=РМ+М(е. Если точку О из Ф принять за начало координат, то существует биективное отображение, ставящее в соответствие любой точке М из Ф. вектор Г из Е, для которого (О, М) — Г П!.1.1.
Векторы. Линейное пространство Е является векторным евклидовым пространством, если каждой паре векторов Х, У из Е можно поставить в соответствие действительное число, называемое скалярным произведением вектора Х на е' и обозначаемое Х. У. Отображение является билинейным и симметричным, а соответствующая квадратичная форма является положительно определенной. Иными словами, если а и Ь вЂ” два вещественных числа, то (аХ+Ь)') У=а(Х-Х)+Ь(у Х), Х У=)'Х, Х Х)0. Неотрицательный скаляр (Х')»', где Х'=Х Х, называют модулем вектора Х и обозначают (Х!. Модуль равен нулю тогда и только тогда, когда Х вЂ” нулевой вектор из пространства Е. Если модуль вектора равен единице, вектор называют единичным.
Два вектора будут ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю. Утверждение о том, что Š— трехмерное пространство, означает, что существует базис (или бесконечное число базисов): базис образуется из трех векторов е„е„е„для которых всякий вектор Х из Е будет однозначно представим в виде линейной комбинации е„е„е,. Известно, что в пространстве Е может существовать бесконечное число ортонормированных базисов. Базис е„е„е, или е;(1=1, 2, 3) будет ортонормированным тогда и только тогда, когда е, е = бы (1, 1=1, 2, 3), (1) где 6~ — символы Кронекера. Символ Кронекера равен 1, если оба индекса совпадают (6„=6„=6„=1), и равен О, если индексы не равны (1Ф1) (6„=6„=... =6„=0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
