Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Компоненты 1 1 — Бы Т = — з„ые„р Тр (45) с точностью до множителя 1/2, равны компонентам тензора, полученного умножением с двойной сверткой первого тензора антисимметризации и,тензора, полученного перестановкой индексов тензора второго ранга Т. Но этот тензор как раз и совпадает с антисимметричной составляющей теизора Т (П1.4,2), что можно проверить, определив по формуле (43) его компоненты. Представляет интерес выяснить, как ведет себя тензор О=вы„е,®еу®е, (46) при замене ортонормированного базиса. В базисе ег' его компоненты по (36) и (44) Р;Р, Р„в;,= ер„, йе1 (Р). Так как матрица Р-ортогональная, то ее определитель равен ~1 и снова получаем ер„„, если бе1(Р) =+1 (в этом случае говорят, что базис е,' имеет ту же ориентацию, что и базис е,); знак минус перед з, означает, что базис ег имеет противоположную ориентацию.
Таким образом, величина в, представляет компоненты тензора во всех ортонормированных базисах, имеющих одинаковую ориентацию — это теизор ориентации этих базисов. Но в базисе обратной ориентации компоненты этого же тензора будут противоположными. Этот же результат можно выразить по-другому через понятие псевдотензорз или аксиального тензора, понимая под ним математический объект, который во всех ортонормированных базисах одной определенной ориентации представлен одинаково, а во всех базисах, ориентация которых не совпадает с зафиксиро.
ванной, имеет противоположные компоненты, таким образом, для любого ортонормированного базиса функция врч, определяет компоненты некоторого псевдотензора. Оперирук с теизорами или псевдотензорами, как в П1.2.4, получим либо тензоры либо псевдотеизоры. Если зафиксировать ориентацию пространства, иными словами, если условиться иметь в виду только такую замену базисов, при которой ориентация остается неизменной, то тогда можно не делать различия между тензорами и псевдотензорами.
Именно так и будет в большинстве случаев. ! ео; = — ву»И» (48) определяет компоненты некоторого псевдовектора или аксиального вектора о». Обратим внимание на то, что пт,= Ием птв= И„, «ов = Им. Умножив обе части равенства (48) яа в„„и воспользовавшись тождествами (43), получим 1 . ! РЧ! ! 2 РЧ! !лм»7 2 Ре! /»!»Г чР или И, = е1,»от . (49) Таким образом, видно, что антисимметричному тензору можно поставить в соответствие аксиальный вектор и, наоборот, аксиальному вектору можно поставить в соответствие антисимметричный тензор. 1 в) Формула — е! Т определяет аксиальный вектор, соответствующий антисимметричиой составляющей тензора второго ранга Т.
В частном случае, когда тензор — это тензорное произведение 2В®А, получаем векторное произведение А Л В, компоненты ко. торого (50) е, АВ. П1.4. ТЕНЗОРЫ ВТОРОГО РАНГА П!.4.1. Предварительные замечания. Если не будет специально оговорено противное, речь пойдет только о тензорах второго ранга, которые по-прежнему будем обозначать жирными прописными буквами А, В.... В ортонормированном базисе е, тензоры представляются матрицами А, В... или компонентами тензоров Ау, Ву. е В атом примере встречается влементарное определение, данное в П1.4.2.
Приведем несколько примеров, в которых применяется данное понятие. П!.3.3. Приложения. а) Пусть заданы три вектора А, В, С. Образуем тензорное произведение С®ВЭА и умножим с тройной сверткой тензор О на полученное произведение. При использовании компонентов А, В и С в базисе е, результат запишем в виде е; А;В С». (47) Получили, таким образом, псевдоскаляр, который совпадает со смешанным произведением трех векторов А, В и С, равным определителю матрицы компонентов этих векторов. Выражение (47) имеет вполне определенное значение во всех базисах с данной ориентацией и противоположное значение в базисах обратной ориентации. б) Пусть дан антисимметричный тензор второго ранга е И (ИΠ— — — И!!).
Формула В другом ортонормнрованном базисе е~ этн же тензоры будут представлены другими матрицами А~, Вв или компонентами тензора А;н В;р .. Если Р†ортогональн матрица перехода от одного базиса к другому, то заданные тензоры связаны соотношениями, полученными в П1.2.3. В частности, А"=РАРт, А=РтАвР (51) Любое соотношение между тензорамн А, В...
в любом ортонормнрованном базисе выражается соотношением между квадратными матрицами, представляющнмн эти тензоры, и соотношение между матрицами имеет один и тот же вид во всех базисах, т. е. если его требуется получить в базисе е;, то в соотношении в базисе е, следует заменить А на А*, а В на В'. Обратно, матрицы А н А* соответствуют одному и тому же тензору в базисах е; и е„если эти матрицы связаны формуламн (51). Если некоторое соотношение, связывающее матрицы А, В..., остается инвариантным относительно замены базиса (51), а ортогональная матрица Р†произволь, то говорят, что данное соотношение является внутренним илн объективным; в этом случае оно может быть интерпретировано непосредственно как соотношение между тензорами А, В..., представленными в базисе е, матрицами А, В ... Из этих общих замечаний (которые будут уточнены в примерах) видно, что изучение тензоров второго ранга в тех элементарных рамках, которыми здесь ограничиваемся, сводится к рассмотрению квадратных матриц н нх объективньи свойств.
П1.4.2. Простейшие определения. Некоторые определения, относящиеся к матрицам, элементарные свойства которых полагают известными, могут быть сразу же отнесены к тензорам второго ранга. Выше было дано определение тензора, полученного перестановкой индексов из тензора, например, А — транспопированного тенвора, который обозначим Ат. В любом ортонормированном базисе этот тензор представлен транспоннрованной матрицей Ат, т. е. матрицей, полученной транспонированием матрицы А, относящейся к тензору А в рассматриваемом базисе (А~т~ = Ам).
Тензор называется симметричным, если он равен своему транснонированному тензору (т. е. не меняется при перестановке индексов). Симметричные тензоры образуют шестимерное векторное подпространство в векторном пространстве девяти измерений тензоров второго ранга. Тензор называется антисимметрииным, если он равен транспонированному с обратным знаком. Четная, или симметричная, составляющая н нечетная, илн антнсимметричная, составляющая тензора А определяются соответственно формулами Ав з (А+А1) Ав= — (А — Ат), (52) так что А — А,+А, Ат — А А, (53) Эти же соотношения верны и для матриц в любом ортонормированном базисе и дают каноническое разложение тензора на анти- симметричную и симметричную составляющие.
Произведением двух тензоров А и В называют произведение о однократной сверткой обоих тензоров-тензор С. В любом базисе е, тензор С представлен матрицей С, равной произведению матрицы А на матрицу В*: С=АВ, С,у — — Аз Взр (54) Тензор, получаемый транспонированием произведения, представляет собой произведение в обратном порядке транспонированных тензоров; это верно каи в отношении тензоров, так и в отношении матриц. Заметим, что произведение двух симметричных тензоров не будет симметричным тензором. Определителем тензора А называется определитель де1(А) де1(А,~). (55) Для обоснования такого определения (которое в отличие от предыдущих дается формулой, относящейся к матрице) проверим, что матрица Ае, представляющая тензор А в другом базисе, имеет тот же определитель.
Это утверждение следует из формулы (51), так как матрица и транспонированная матрица имеют один и тот же определитель, и в силу правила перемножения определителей имеем де1(А*) =де1(А)(де1(Р))' де1(А), поскольку Р— ортогональная матрица и, следовательно, согласно (23) (бе1 (Р))' = 1. Говорят, что тензор невырожденнмд, если еео определитель отличен от нуля; тензор называют вырожденным, если еео опре- делитель равен нулю. Тензоры А и В называются взаимно обратными или взаимными, если тензоры-произведения А В и В А равны каждый единичному тензору.
В базисе е имеем тогда АВ=1, ВА=1, эти равенства являются объективными, что легко проверяется: Ае Ве = РАРтРВРт = РАВРт = РРт = 1. В этом определении тензоры А и В предполагаются невырожденными, так как бе1 (А) де1 (В) = 1, ° Напомним, что произведении двух матриц записыванпси без знака умножении между буквамн. Если А — заданный невырожденный 'тензор, то первого из равенств (56) достаточно для однозначного определения тензора В. Действительно, девять уравнений А, Вгг — — бм при последовательной подстановке 1 1, /=2, 1 3 представляют собой три системы из трех линейных уравнений, в которых неизвестными являются компоненты вектора-столбца матрицы В.
Определитель бе1(А) в каждой системе не равен нулю, так как тензор А — невырожденный. Определенная таким образом матрица удовлетворяет тогда второму из соотношений (56), так как после умножения первого равенства справа на А, имеем АВА=А, А(ВА — 1)=О. В связи с тем что бе1(А)ФО, то, рассуждая как и раньше, находим, что множитель справа (ВА — 1) тождественно равен нулю, что и требовалось доказать.
Тензор, обратный невырожденному тензору А, обозначается через А ' и представляется матрицей А ', обратной матрице А. Объект, обратный произведению А В, обозначается через В 'А '. Такие определения дают возможность построить последовательные степени тензора А; они могут быть представлены как степени матриц А" (и †положительн или отрицательное, А' = 1). Если А †симметричн тензор, то степени от А также симметричные тензоры. П1.4.3. Инварианты тензора второго ранга. Определение. Всякая скалярная функция тгнэора впюрого ранга называется инвариантом глюго тензора.
Иными словами, инвариант определяется отображением векторного пространства тензоров второго ранга на множество действительных чисел. Пусть дана матрица Т, представляющая тензор Т в ортонормированном базисе ви Инвариант 7 является скалярной функцией Т, которая должна принимать одно и то же значение при замене Т на Тг — матрицу, представляющую Т в другом ортонормированном базисе г;. В силу (35) функция 1 удовлетворяет тождеству 1' (РТРт) =1 (Т) (57) при любой ортонормироваиной матрице Р. Матричная функция со скалярными значениями, удовлетворяющая тождеству (57), называется изотроаной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
