Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Рассмотрим, например, два тензора: Я - Яцее,е еу 8 еа, Т = Тяте, 8 е„ их тензорное произведение Р=Я®Т определим равенством (Яцьвгввузва)8(Трен Зяе)=ЯцаТ ез,®з~®заза Зке. Компоненты Рц„„тензора пятого ранга Р равны: Р =Я;„Т (3Т) т. е. они получаются простым перемножением компонентов тензоровЯи Т. Заметим, что правило (37) умножения компонентов справедливо в любой ортонормированной системе отсчета. Справедливость етого утверждения проверяется применением формул (36) перехода от одного базиса к другому. Такая проверка представляет собой второй путь определения понятия теизорного произведения двух тензоров. Третий путь определения понятия тензорного произведения основав на рас- 287 Смотрении полилииейных форм 3 (Х, Т, Х), Т(0, р), соответствующих тензорам 3 и Т.
Полнлинейная форма 3(Х, Т, Х)т (К Р) определяет тензор пятого ранга, который является произведением тензора 3 на тенэор Т, н вновь приходим к формуле (37), если для представления тензоров 8 и Т выбран ортонормнрованный базис. б) Сэерииса тензоров. Пусть задан тензор четвертого ранга А®В®С®Р. Очевидно, ему можно поставить в соответствие тейзор второго ранга по формуле А(В С)Р=(В С) А®Р, который каждому вектору Г сопоставляет некоторый вектор, колли- неарный вектору А, по формуле Т А(В С)(Р К), компоненты данного тензора: А,ВэСэР,. В силу линейности тензорных и скалярных произведений зту операцию можно распространить и на тепзоры.
Так, тензору четвертого ранга Т=ТП„Е18Е 13Еа®Е, (38) можно поставить в соответствие путем свертки по второму и третьему индексам тензор второго ранга: Тгээ,е, ® ер (39) Для выполнения операции свертки достаточно заменить тензорное произведение двух векторов е ®еэ, подвергаемое свертке, их скалярным произведением буэ, что сводится к вычеркиванию векторов е~ и ва в тензорном произведении (38) и преобразованию индексов 1 и й в повторяющиеся, т.
е. немые. Можно непосредственно проверить что выражение (39) — тензор; для этого следует воспользоваться результатами, приведенными в П1.2.3, касающимися замены базиса. Так как Т вЂ” тензор, то, по предположению, его компоненты в базисах ег и вг удовлетворяют соотношению Тг!ы РгрР/дРэгРгдТрд„д, и, следовательно, в силу ортогональностн матрицы Р е учетом формул (2Ц имеет место равенство Т" маг РгррадрэгргдТ дгд РгрРгдбдгТрдгх РгрРгдТрггз откуда следует, что (39) действительно является тензором второго ранга. Итак, тензору ранга и можно поставить в соответствие со сверткой по двум индексам тензор ранга п-2, Скаляр, полученный сверткой по двум индексам тензора второю ранга Т, называется следом этого гленаора и обозначается (г(Т); если Т, -компоненты тензора Т в ортонормированном базисе, то (г (Т) Т (40) в) Умножение со сверткой.
Возьмем для определенности два тензора 3=8гэе,®е ®еа н Т=Трдерзед. Теиаор, который получается в результате тензорного умножения $ на Т и последующей 288 свертки по последнему индексу тензора 8 и первому индексу тензора Т, есть тензор (третьего ранга), называемый результатом умножения со сверткой тензора 8 на тензор Т и обозначаемый 3 Т-БцаТз е®е,ее,. Определенный выше единичный тенвор (второго ранга) является как раз единицей в операции умножения со сверткой.
В самом деле, 8, „6 =Бцв Если осуществить вторичную свертку по 2-му и 3-му индексам полученного тензора, получаем вектор 8:Т=З, Т ~во Заметим, что линейные отображения 4Г(г) и 5(У), введенные в П1.2.1 и П1.2.2 для определения тензора второго ранга Т и тензора третьего ранга 8, имеют значения тензоров первого (Р) и второго (Ю) рангов, которые определяются умножением со сверткой на векторы У и Я: У= Т У, 1т'= 3 Я. Точно так же скалярное произведение двух векторов А и В есть результат умножения со сверткой векторов А и В. г) Перестановка индексов.
На основе теизора З=Б, е,ве~®е можно построить другой тензор, переставляя второй и третий индексы, т. е. Б' Бц,е,эе„ее,=Бзце,эе,®е,. Тензорам 3 и 8' соответствуют трилинейные формы: 8 (Х, Т, г) и Б' (Х, Т, Я) =Б (А', г, Т). Заметим, что к любому тензору второго ранга операцию перестановки можно применить только один раз.
В заключение сформулируем следующее утверждение, которое обобщает замечание пункта в). Теорема. Линейный оператор, сопоставляющий тензору ранга р тензор ранга д, является теизором ранга (р+д). Примем для конкретности р=2, д=3. Прежде всего видим, что тензор пятого ранга у =йцы е;Вв ее,эе,ее„ реализует линейное отображение Т вЂ” 8, о котором идет речь и которое может быть записано в виде двойного умножения со сверткой тензора х. на тензор, полученный перестановкой индексов из тензора Т: Б Зц„е,эе Яе,=1., ы„е,эе ®е,эе,ве:Тг,е,эе = =1ц„, Т, е,эе,®е,.
Обратно, линейное отображение определяется 3' тензорами третьего ранга, соответствующими базису ерэе„которое можно 10 м ытз 269 записать в такой форме: Ьг/элэЕ,®Е ®Еэ. Легко видеть, что зто линейное отображение можно отождествить с рассмотренным выше тензором пятого ранга. Приложение. Формула (1,52) У=т,Р,+ —,' М„Я„ определяет линейное отображение пары (й, Я) на множество действительных чисел; У вЂ” вектор, а Я вЂ” антисимметричный тензор второго ранга. Сужение данного отображения на множество пар (й, 0), где Й=О, есть линейная скалярная функция вектора 1/.
Таким образом, Т, необходимо являются компонентами вектора. Сужение отображения на множество пар (О, Й), (1/ 0) есть линейная функция от Й со скалярными значениями. Существует, следовательно, тензор Т. с компонентами 1.//, такой, что для этих пар можно написать У = (.//Яг/. Если же 1.,/ — — (Ь,/),+((.//),— разложение на снмметричную и несимметричную составляющие, то получим простое соотношение ~ = У.;/)аЙ(/. Так как величины Я,/ — произвольные, убеждаемся, что в (1,52) Мг/ — — 2(Ь//),. Отсюда следует, что М,/ действительно являются компонентами антисимметричного тензора второго ранга.
Замечание. Подчеркнем, что, осуществляя тензорное умножение со сверткой и используя сокращенные обозначения, следует уточнить избранные правила свертки, причем может случиться, что для получения правильного результата нужно сначала произвести перестановку. Именно так обстояло дело в предыдущем примере. Формула Зг/э=Ц/ы тг, смысл которой в индексной записи совершенно ясен, может быть представлена с помощью принятого правила свертки, т. е.
полагая, что 8 — дважды свернутое произведение тенаора С на транспонированный тенэор Т (полученный перестановкой индексов из Т; не следует забывать эту перестановку). Тензорное обозначение не только удобно, ио и наглядно с физической точки зрения. Тензоры являются математическими объектами, над которыми можно проводить сформулированные выше операпии. Но не следует также забывать, что тенэоры являются операторами, и поэтому необходимо точно знать их действия на векторы илн тензоры.
ПЕЗ. ТЕНЗОР СРИЕНТАЦИИ (БАЗИСА) П!.3.1. Символы е; э. Определение. Если индексы !, /, й могут независимо принимать значения 1, 2, 3, то через в; э будем обозначать альтернирующую функцию индексов 1, 1, й; зто означает, что вмм 1. При перестановке двух индексов в, а принимает противоположное значение, т. е. е,/„—— +1, если (1,1, й)-четная переста- (43) где бе1 (А) — определитель матрицы А. П1.3.2.
Тензорное представленяе. Выше был введен единичный тензор /, который в любом ортонормированном базисе определяется следующим образом: 6((е(® ег Легко видеть, что б, р, и 6(„„„— соответственно компоненты тензоров четвертого и шестого райгов в любом ортонормироваином базисе, называемые иногда те((ворами антисимметризации прост- новка из (1, 2, 3), и равно — 1, если перестановка нечетная; во всех других случаях еыь равно нулю. Введем обозначения: 6(р 6(( ~6, б,~ (р (( ((ьрм мр у( у~ ' (гр( ( 6 бар бь<( бы в которых правые части являются определителями матриц, все эле- менты которых являются символами Кронекера.
Приведем разложения определителей по злемеитам: ' р(=6(рб.— "' 6, „=6„6,+б,бм,+6,6, Теперь легко проверить соотношения бп — — 3, 6(~рг — — 26,р, Ь, р — — б, р, (41) в которых, конечно, по повторяющимся индексам в левых частях следует производить суммирование. Докажем тождество е(г„ер„— — б, „„,. (42) Обе части равенства равны 1 при (=р=1, 1=4=2, й р 3. Они продолжают оставаться равными, если осуществить перестановку любых двух из индексов 1, 1, й или из р, (1, г. Таким образом, обе части равенства равны, когда (, (, й и р, д, р являются произ- вольными перестановками из 1, 2, 3.
В противном случае они, оче- видно, оба равны нулю, что и требовалось доказать. Используя (41), получаем тождества а(уьзрдц 6(рб(д 6(дб(р е( ьер „— — 26,р, е(г е( ь — — б. Видно, что обозначение а, ь удобно для сокращенной записи некоторых формул. Вот один из примеров. Если А — матрица, состав- ленная из злементов Аы, то легко проверить соотношения: е(гьА(рА( А„,= е, де1 (А), бе1 А = е з(уьар,„А(рА„А( = — 6((ь„„А„А„А„„(44) ранспгаа Е, 'которые после выбора базиса 'можно записать в виде: Ьырче,зе ®е,®е„ бг/враге, ( р ер ® е„® ер ® е, ® е„. Действительно, эти тензоры строятся из единичного теизора с помощью операций типа: тензорное умножение на единичный тензор, перестановка, линейная комбинация при постоянных коэффициентах (равных +1 или — 1). Название тензор аитисимметризации объясняется на следующем примере.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
