Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Можно сказать также, что, будучи представленной в некотором базисе как функция компонентов Т,, зта функция не должна менять своего значения при замене Т, компонентами Т,"; тензора в другом базисе. Выше отмечалось, что след тензора Т является инвариантом (40). Точно так же след 1г (Т ) (л — целое положительное нли отрицательное число) является иивариантом тензора Т. След тензора второго ранга также является следом матрицы, представляющей тензор в ортонормнрованном базисе. Отметим, в частности, три инварианта: т, =(г (Т) Тц, Тц — — 1г(Т') ТОТ „ (58) Тц, =1г(Тд, -7,,7,„7,н Выше [см.
определение (55)1 отмечено также, что определитель бе(Т является инвариантом тензора Т. При любом фиксированном значении Л бе1 (Т вЂ” Л!) также является инвариантом тензора Т. Таким образом, у многочлена Р (Л) = бе! (Т вЂ” Л1) = д(е! (Т,~ — Лба), (59) называемого характеристическим полиномом тензора Т, все коэф- фициенты — инварианты тензора Т (их называют элементарными инвариантамн). Запишем этот полинам в виде Р (Л) = Тц, — ЛТц + ЛдТ, — Лд. (60) Раскрывая определитель (59) [можно, например, использовать (44) и соотношения (41)1, найдем: Т, 6;7, Т,, ! ! ! Тц~ з бцрдТ,рТ/д-- р (б~рбгд — Вддбур) 7геТгд — — з (ТиТ// — ТцТм)з (61) ! Тц, — бц„р„Т, Тт Т„, бе1 (Т).
Инварианты (61) могут быть выражены как функции инвариантов (58). Для этой цели воспользуемся для Тц, разложением определителя бц„ „, который находится по известным правилам вычисления определителей третьего ранга: бндгдг бдрбудблг+ бгрбкдбы+ блАА~ бобгдбаг 6!ДвЯг бди!дЦг' И теперь нужные соотношения получаются автоматически: Т, ~„Тц — (7',— Тц), Тш--ч (Т; — 37,7ц+27ш). (62) П1.4.4. Собственные векторы и значения симметричного тенвора второго ранга.
а) Общее определение. Ненулевой вектор а называют правым собственным вектором тензора Т, если вектор Т а коллинеарен а. Ненулевой вектор Ь называют левым собственным вектором тенэора Т, если вектор Ь.Т коллинеарен Ь. Всякий вектор, пропорциональный собственному вектору, также является собственным, а направление собственного вектора — главным направлением тензора Т (правым или левым). По определению, векторы а и Ь должны удовлетворять уравнениям (Т вЂ” р1) а=О, Ь (Т вЂ” М) О.
Каждое из уравнений, записанных в базисе еь дает линейную однородную систему, которая должна выполняться прн подстановке компонентов векторов а и Ь. Так как векторы а и Ь отличны от нуля, то р и и будут корнями характеристического полинома Р(л). Эти корни называют собственными значениями темпера Т и обозначают (ю 1„(э. б) Случай симметричного теиэора. Далее ограничимся рассмотрением только симметричных тенэоров.
В этом случае любой правый собственный вектор будет одновременно и левым собственным вектором и наоборот. Кроме того, можно доказать следующий результат. Теорема. Собственные значения симметричного тензора-всегда действительны. Кроме того, существует по меньшей мере один ортонормированный базис еь ростоящий из трех взаимно ортогональных собственных единичных векторов, для которого Т=(эе,®е,+(эеэ® ез+(зеээее. (63) Иными словами, матрица Т, представляющая тензор Т в этом базисе — диагональная, а ее диагональные элементы как раз являются собственными значениями тенэора.
Напомним в общих чертах доказательство етого классического утверждения. Рассмотрим общий случай векторного евклидова пространства л измерений;доказательство проведем методом индукции по размерности пространства. В одномерном пространстве результат очевиден, так как здесь любой тензор имеет вид ге ®в, где е †единичн вектор етого пространства.
Допустим, что формула(63) справедлива для пространстве и†1 измерений, и докажем, что оиа также верна для л нзмерений. Пусть Х вЂ вект пространства Е", л — единичный вектор, направленный вдоль Х, Т(Х, У) — билинейная симметричная форма, соответствующая рассматркваемому тенэору Т. Положим Т(», ») ТН»,»у (64) Х» 6„»»у Множество единичных векторов л из Ев компактно, следовательно, функция Ч (л) имеет нэ этом множестве по меиьщей мере один максимум, кото. рый обозначим (ь и пусть ет — одно нз значений л, при котором этот максимум доеегается. Пусть Ег' ' векторное евклидово пространство с размерностью л — 1, орте.
тональное е; Н вЂ” вектор из Е~г ~, ортогональный яь Положим Х ег+ьИ и вычислим значение выражения (64) на жом векторе. Получаем Т(е,+ьИ, е+ьН) й+кьТ(еь Н)+"ьзТ(И, Н) г7биь ~.;ге и Вто выражение, если его рассматривать как функцию )ч достигает максимума, очевидно, при )г О и любом Н из Ет ". Сяедовательно, Т(е„Н) О при любом Н из Е( В таком случае тенэор Т вЂ” (эвг Э вг в базисе Е", образованном из вг н ортонормивоваиного, но произвольного бааиса в (р 1, 2... „ в в 1) пространства Ег , выражается однозначно в виде лниеййой комбинации тензорных произведений двух векторов е„ и, следовательно, его можно рассматривать кэк симметричный тенэор иэ Ег '.
По предположению, теорема справедлива для л — 1 измерения, следовательно, можно найти ортонор- мнрованный репер ез...е„в Е", в котором — гентор Т запишется в таком виде: Гзез ® ез+ гзез ® ез+... + г„е„® е„. Заметим теперь, что в системе осей ег тензор прелставлеи диагональной матрипей и, следовательно, величины гг — собственные значения тензора Т, в связи с чем можно отождествить гг и гг, Теорема, таким образом, яолностью доказана.
Заметим, что, если й~гз~ 1з~...~ г„, то собственное значение 1, определяется равенством Гр — — зпр О (х), где х пробегает компактное множество: х х=1, х е,=х е,=...х ер г=о. Если в выражении (63) собственные значения 1;, 1зь бз различаются, то всякий собственный вектор коллинеарен одному из векторов е,. В самом деле, уравнения, из которых определяются компоненты а, некоторого собственного вектора а, в собственном ортонормированном базисе в; запишутся в таком виде: (гз — (з) а, = О, ((, — р) а, = О, (1з — (з) аз О, (65) и если )з зы то а, = а, = О.
Если два (и только два) из собственных значений равны, например, гз гз Ф(„то собственному значению р= гз соответствуют собственные векторы, коллинеарные е,. Собственному (дважды повторяющемуся) значению гз г, соответствует любой вектор, ортогональный е„так как из формулы (65) следует, что а,=О. В этом случае данный тензор — это гпензор враи(ения с осью аз.
Любая пара единичных векторов, ортогональных в„составляет вместе с вектором ез собственный базис тензора Т. При (з=гз=(, имеется одно лишь (трехкратное) собственное значение. В этом случае тенэор шаровой, в) Следствия. В данном главном базисе е„ е„ ез тензор Т полностью определяется собственными значениями г„ 1„ г„ следовательно, любой инвариант теизора Т вЂ функц г„ 1„ гз. Кроме того, как это видно из преобразований базиса типа перестановки векторов в„ е„ е„ любой инвариант также симметричная функция этих переменнйх.
Элементарные инварианты, в частности, очень просто выражаются через собственные значения: 7 1= ззз+ за+ (з~ Тп = зз(з+ (ззз+ ззззю Тп1 =рззззззз (66) Так как эти инварианты полностью определяют (с точностью до порядка) собственные значения з„ 1„ рю то любой инвариант— функция Т„ Тп, Тпг Таким образом, доказано, что изотропиая функция матрицы Т, удовлетворяющая тождеству (57), необходимо имеет вид (= р(Т„Тп, Тн,). (67) Одна из известных алгебраических теорем позволяет это утверж- дение уточнить: если в некотором базисе инвариант — полипом от переменных Т»н то функция гр необходимо является полиномом от переменных Т„Ти, Тш Это замечание позволяет установить теорему Кэпи — Гамильтона: симметричный тензор* Т пшждественно удовлетворяет уравнению Т' — Т,Т'+ ТпТ вЂ” Тш! = О.
(68) Доказывается это несложно. Главные оси тензора Т являются одновременно и главными осями тензора Т", собственные значения которого (,", Щ, газ. Левая часть уравнения (68) представляет собой теизор, у которого в главных осях все компоненты равны нулю.
Отсюда легко сделать следующий вывод. Любое полиномиальное выражение с числовыми коэффициентами от тензора Т может быть записано в виде Р(Т)=М+цьТ+ц,Т', (69) где ~р„~ро ~рз — полиномы от переменных Т„Ти, Ти, (т. е. элемен- тарных инвариантов тензора Т). Пусть, например, Р=а,!+а,Т+... +а„Т", где и — некоторые действительные числа. Последовательно приме- няя формулу (68), можно выразить степени Т" через 1, Т, Т', на. пример: Т'=ТТ' — Т Т' — Т Т Т'= Т,Т вЂ” Тпт'+Тп,т .
Отсюда сразу получается формула (69). Обратим внимание на то, что главные направления тензора Р совпадают с главными направлениями тензора Т. Пз.4.5. Функции симметричного тензора, аначения которых— симметричные тензоры. Рассмотрим отображения векторного пространства симметричных тензоров на это же векторное пространство; операцию запишем символически в виде Т вЂ” У. (70) В ортонормированном базисе данная функция в матричном обозначении запишется следующим образом: 'т'=г (Т), (71) н так как эта функция не зависит от выбора базиса, то она должна удовлетворять тождеству рр(т) рт=р(ртрт), (72) еИввестио, что эта теорема сстаегся справедливой для любого теизора второго ранга, ио это утверждеияе здесь использоваться ие будет.
где Р— любая ортогональная матрица. Такая функция Р(Т) называется изотролной. Выражение (69) — пример отображения типа (70). Докажем теорему, которая обобщает формулу (69). Теорема. Отображение (70) может быть записано в виде ) = эа (ть тп, Тп,) 7+ Р,(т„ти, тн,) Т+аза(ть тн, тп,) Т', (73) где ф„ф„ф,— инварианты тензора Т. Прежде всего докажем, что У имеет те же главные направления, что н Т, это вытекает из соотношения (73). Допустим, что (7))— запись функции в главном базисе тензора Т. Любое преобразование базиса, когда два вектора базиса остаются неизменными, а третий заменяется на противоположный (симметрия относительно одной из главных плоскостей), оставляет матрицу Т без изменения, так как эта матрица диагональна; кроме того, согласно (72) при таком преобразовании остается неизменным тензор У.
Матрица У должна, таким образом, быть диагональной (так как любой ее компонент с несовпадающими индексами при таком преобразовании меняет знак). Пусть 1„ 1;> 1, и у„ у„ у, собственные значения тензоров Т и У соответственно в главном базисе е, (как для Т, так и для У). Тогда рассматриваемое отображение отражает тот факт, что каждый у,— функция инвариантов 1„ 1„ 1,. Замена базиса, при которой е, со. храняется, а е; и еа меняются местами, не меняет у, и 1, и меняет местами 1, и 1,.
Таким образом, у, †функц переменной 1, и переменных 1, + 1„1,' 1,. Так как 1,+1а =Та — 1„1а(»=7'и — 1»(та — 1,), то можно написать, что У,=д(1„ть тп). (74) Но из инвариантности Р относительно любого ортогонального преобразования и, в частности, относительно такого, при котором два вектора базиса е, только меняются местами, следует, что при а =1, 2, 3 имеет место также равенство (функция у — та же, что и в соотношении (74)]: у;=д(1ь ть тп), 1=1, 2, 3. (75) Ограничим теперь область изменения переменной Т только теми тензорами, у которых собственные значения различаются, и рассмотрим многочлен второй степени по» (коэффициенты — функция от 11, 1а, 1а): (» — (а) (» — (а) (» — (а) (» — (а) Ы(») й(1о 7ь 7н) у (а)(1 1)+Ю(1а 7м 7п) у 1)(1 1)+ (» — (а) (» — (а) +К ((а Тп Ты) (( 1) (( 301 Этот многочлен может быть, очевидно, представлен в таком виде: Ч(х)=Фз(Ть Тп, Тш)+Фа(Ть Тп, Т1п)х+Фз(Ть Тп, Тш)хз, (76) так как его коэффициенты — симметричные функции от (и („(з; в силу (75) д((Д уг Равенство (73), которое требуется доказать, становится теперь очевидным, так как обе части являются тензорами, для которых е,— главные оси, а их компоненты в этих осях равны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
