Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Теорема 4. Замкнутая выпуклая функция ((л) идентична поточечной верхней грани ее аффинных минорант; т. е. таких аффиниых функций й(л), что й(л)()(х) при любом л. Обратно, поточечная верхняя грань некоторого семейства аффинных функций — замкнутая выпуклая функция.
Это означает, что при любом л верхний предел функции й(х) точно равен Г (х). Данная теорема может быть выведена из предыдущей, если рассмотреть надграфик Ь(1) (замкнутый по предположению), учитывая в то же время, что можно исключить «вертикальные прямые», не меняя сущности формулировки теоремы. В самом деле, если М находится внутри дополнения к Л(Г) и если его проекция на ось л лежит вне дош((), то очевидно, что через точку М можно провести иевертикальную прямую, которая не пересечет Ь()) (рис.
6). Теорема доказана. 316 1' (х') зпр [ххв — 1 (х)]„ л (3) которая является поточечной верхней гранью аффинных функций переменной хв ххв — 1 (х) при любом фиксированном х. Эта функция является, таким образом, замкнутой выпуклой функцией сопряженной переменной х', называемой функцией, сопряженной выпуклой замкнутой функции ) (х).
С другой стороны, по определению, ) (х) — поточечная верхняя грань аффинных функций Ь (х) = хх' — у, когда (х', у') Е гв, и, в частности, аффинных функций ххв — )м(хв), и можно, таким образом, написать )' (х) = зпр [хх' — ( (х')]. (4) Итак, 7 (х) сопряжена замкнутой выпуклой функции 1* (х').
Можно утверждать следующее. з(7 Заметим, впрочем, что при любом зиа- У чении х, лежащем внутри дош()), существует точная аффинная,миноранта. Точно так же обстоит дело для любой точки области ((ош(г), за исключением тех, где вертикальными являются одни лишь опор- )' т"О() ные относительно (а (Д прямые. Пусть л(р' (( р — верхняя граница дош Д) и ((), ) (р))- соответствующая точка (ь ()).
Через такую точку можно провести прямую, наклон которой будет достаточен для того, чтобы Рис. 6. Еслп абсцисса точпрямая пересекала график ( в точке (х', ки М преимжает р, то праут) для к(порой ) ((1) (и (хв) все( да будет маи МР Расположена паже Ь У); [() — «(Р) < «(М), меньше любого наперед заданного числа ' Р(Р) < (п(((„)1 З, И ЧТО В Хв ВСЕГда будЕТ СущЕСТВОВИТЬ воли в точно (З, ((Зп квсвтвль- ПО МЕНЬШЕЙ МЕРЕ ОдНа тОЧНая аффИНиая ива ввртиквльвв,товвтойточкв ячт точной взфннноа минорвятм. МИНОРЗНТа )( (Х) С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМ НИКЛО- оаивно взенвнвя мяяорвнтв а(л) ном.
Тогда ( (()) — ((((1) < з. Здесь следует рван"'~)~(Р("фа'(Рф() отметить, что предположение о замкну- мала тости ) (х) является существенным. В приведенном ранее примере е) значение )(1)=2 не является верхней границей функций Ь(х) (последняя равна 1). Обратное утверждение очевидно. П11.2.3. Пары сопряженных функций. Преобразование Лежандра. Пусть Г (х) — замкнутая выпуклая функция. Рассмотрим аффинные функции )((х) =хх'-у', ограничивающие снизу ) (х). Поставим в соответствие такой функции точку с координатами х', у' в некоторой плоскости 8;.
Очевидно, зти точки образуют выпуклое множество гв, и если (х', у') Е г', то точки (х', у") также образуют выпуклое множество при уов) у'.г'. Иными словами, гв можно рассматривать как надграфик некоторой выпуклой функции 1'(хв), определяемой соотношением Теорема 5, Всякой выпуклой замкнутой функции 1(х) можно поставить в соответствие по формуле (3) замкнутую выпуклую функцию )' (х'), называемую сопряженной функцией 1 (х) или обобщенным преобразованием Лежандра функции 1(х). Функцией, сопряженной 1'(х'), будет сама функция 1(х). Замечание. Если 1(х) — невыпуклая, то 1'(х') будет выпуклой> однако 1" (х), сопряженная )'(х'), не равна 1(х).
Приведем несколько примеров. а) 1(х) =ах — Ь. Здесь 1'(х') + ас, за исключением случая, когда х'=а и 1'(а) Ь. Область бош(~') сводится к одной точке. Очевидно, этот случай вырожденный. б) 1(х)= — «1 — хф1', если «х«~(1, и 1(х)=со, если «х) > 1.
Тогда 1 (х )- зпр (~и -«-«1 — х*) ~*). -~<~4~ При фиксированном х' величина под знаком зпр достигает максимума при х х'=, ыь или х=,+ и, следовательно, ~е (ха) «1 1 хев)ыэ Сопряженная функция совпадает с функцией из примера г). Область боя Д') здесь представлена всей прямой х'.
в) 1(х)=а«х«. Здесь 1'(х') будет равна наибольшему из чисел зпр [х (х' — аЯ, зир [х (х'+ а)1. «ьО к<0 При «х'«>а ['(х') +со; при «х'«~а 1" (х')=О. Говорят, что 1'(х') является индикатрисой замкнутого множества — а(х'(+а, на котором она определена (на этом множестве ее значения равны О, вне множества функция 1'(х')=+со), Замечание.
Если х' — субградиент 1(х) в точке х, то 1' (х') равна начальной ординате, взятой с обратным знаком, опорной прямой, наклон которой в точке (х, 1(х)) графика 1(х) равен х', и можно написать, что хх'=1(х)+1'(х ). (б) Это дает возможность определять функцию 1'(х') геометрическим путем (можно применить, вчаотности, к примеру д),.рассмотренному ранее). При любых х и х' имеет место неравенство 1 (х) +1' (х') ~ )хх', (е) называемое неравенством Фенхеля. Если для некоторой пары (х, х') имеет место равенство," то тогда х — субградиент функции 1'(х') в точке х', а х'-субградиент )'(х) в точке х (рис. 7).
3!8 ПП.ЕА. Дифференцируемые выпук- у лые функции. Если функция 1(х) диф- йм ференцируема в любой точке внутри бош(1), то производная 1'(х) являет- е ся неубывающей функцией х в этой области. В любой точке существует единственный субградиент хе =1' (х); Х сопряженная функция дается равенством (5) представлякнцем собой класснче- л' скос преобразование Лежандра функции одной переменной. Обратно, если функция 1(х), определенная и днфферен- Рне Т ЗначениЯФТнннанl'(и'1, имеет в точке х неубывающую йроизводную 1'(х), то функция ~(х)-выПукпая На ЭТОМ НИТЕрвалсе ТаК КаК а" имеем Н=иие -1е (ие 1 функция Ч (х.)+ Ф (х) — 1 Рх.+Их) (Х и р два неотрицательных числа, в сумме равные 1) зависит от переменной х, а ее производная р[('(х) — 1'(Хх,+Их)1 неотрицательна при х>хе и неположительна при х(х„т. е.
функция Х1 (хе) + Ф (х) — 1 (Ххе+ рх) достигает своего минимума (равного нулю) при х=х,; иными словами, она либо положительная, либо равна нулю при любом х. Отсюда следует классический результат. Теорема 6. Дважды дифференцируемая на некотором интервале функция является выпуклой функцией на этом интервале в том и только в том случае, если ее вторая производная неотрицательная. Эта теорема является критерием выпуклости для широко распространенных функций. ПН.З. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ДЕПСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ Полученные выше результаты можно распространить и на более широкий случай выпуклых функций нескольких действительных переменных. Для этого нужно доказать два установленных выше основных результата, первый из которых касается понятия непрерывности выпуклой функции, второй — теоремы отделимости.
ПП.З.!. Непрерывность Пусть 1(Х) — выпуклая функция, определенная на Е„(или ет„). Предполагаем, что бош()) — и-мерная область, т. е, она включает по меньшей мере (и+ 1) точек (А"', ..., А"еп), не принадлежащих одной и той же гиперплоскости. Функция 1(Х), очевидно, ограничена сверху в выпуклой замкнутой оболочке ае(а+1) точек; очевидно, в этой оболочке она ограничена и снизу. В самом деле, пусть последовательность Х'"...Хон сходится к точке х' внутри Р, и функция 1(Хчн') при- 319 нимает значения, меньшие любого наперед заданного числа. Так как Г ~Л,А~о+ Л,А"'+ + Л +,А' +"+ рХ'е'1 < Л 7 (Ам~)+ ...+Л„„У(А +»+р((Х >), где Л„и р — положительные числа, для которых Л, + Л;+... ...
+Л„+,+р=1, то при р оо 1(Х) принимает значения, мень- шие' любого фиксированного отрицательного числа внутри Р, и, следовательно, зто множество, вопреки предположению, не принад- лежит бот ф. Итак, )'(Х) равномерно ограничена на любом выпуклом замкну- том множестве Е, содержащемся внутри Йот(г). При данном Х можно найти такое достаточно малое положи- тельное число в, что замкнутое выпуклое множество точек Х+вЯ, где ХЕХ и ~У~<1, все еще будет находиться внутри дош(1). Функция 1(Х) равномерно ограничена на множестве Х,; граничные значения функции обозначим т и М.
Имея зтот результат, рассмотрим точки Х и Х' из Е; точка У=Х'+ ~„„' „,~ (Х' — Х) принадлежит множеству Е,. Таким образом, имеем х-с — Чх-~1г, г а-~~=;~' . Так как 1 — выпуклая функция, то ((Х ) < (1 — Л)1(Х)+Ц (У), или 1(Х')-1(Х) <ЛД(е')-)'(Х)1. Учитывая, что Х и $' принадлежат Е„имеем 11(е)-1(Х)1 < <М вЂ” т и, следовательно, 1 (Х') — 1 (л) М -ю ~Л" — Х~ в < —. Так как Х и Х' можно поменять местами, то У (Х') — 1 (Х)! < К ! Х' — Х ~, К (7) Итак, 1(Х) удовлетворяет в л условию Липшица.
Полученные результаты могут быть сформулированы в виде теоремы, аналогичной теореме 1. Теорема 7. Любая выпуклая функция равномерно ограничена, равномерно непрерывна и равномерно удовлетворяет условию Липшица в любом замкнутом выпуклом множестве, содержащемся внутри бот (1). Таким образом, как уже отмечалось ранее, регулярность может нарушаться только в граничных точках выпуклого множества дош (~). Определение (6) замкнутой выпуклой функции приходится три- 320 виально расширить. «Замыкание» выпуклой функции означает ее регуляризацию (если таковая требуется) на границе бош (1). П1!.3.2. Теоремы отделимости. Сформулируем теорему, которая является обобщением теоремы 2.
Теорема 8. Пусть С вЂ выпукл открытоемножество в простран« стве 8„; М вЂ точ из этого пространства, не принадлежащая С; А — р-мерное аффииное многообразие (()~(р<п — 2), проходящее через точку М и не имеющее общей точки с С. Тогда существует (и — 1)-мериая гиперплоскость Н, которая содержит А и не имеет общей точки с С. Теорема 2 относится к случаю, когда и= 2. Применим метод индукции по и. Не уменьшая общности, предположим, что точкаМ совпадает с началом координат (т. е. с точкой О) пространства 4'„ (во всяком случае, всегда возможен параллельный перенос).
Тогда А †векторн подпространство. Всегда можно предположить, что р по меньшей мере равно единице. В самом деле, в плоскости (являющейся двухмерным подпространством, проходящим через О), пересечение которой с множеством С-некоторое открытое выпуклое множество у, можно (в соответствии с теоремой 2) провести прямую, проходящую через 0 и не пересекающую у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
