Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Определение 4. Надера«риком Функции у называют мноясество Ь(у) из 8„,м определяемое неравенством х„,>1(х„х„..., х„). Свойство 6. Если 1(Х), определенная на ег„, выпукла, то ее иадграфик Ьф — выпуклое множество нз 8„+, и обратно. Рассмотрим опорную гиперплоскость надграфика А (1) в пространстве 8„+, Возможны два случая: гиперплоскость — вертикальная, ее уравнение имеет вид р Х,+... +р Մ— у=*О.
Тогда ее след на 8 является опорной плоскостью в пространстве 8„для выпуклого множества богп(г); гиперплоскость — не вертикальная, и ее уравнение запишется в форме Х„„— И (Х„Х„..., Х„) =Х„„— р Х,— р Х,—... — р Х„+а=О. Тогда п(Х)-аффинная функция, мйнорирующая функцию у(Х) на всем пространстве 8„(1 (Х) ~ )й (Х)), для которой не существует аффииной функции й(Х)+в (и — любое положительное число), кото- ' В отечественных работах по выпуклому анализу через боы(/) обоэначается аффективное множество.— Прим.
ред. рая обладала бы этим свойством. Так, в У частности, обстоит дело, если Ь (Х) — аффинная миноранта функции )(Х), точная в Х', т. е. такая, что г(Х') =Ь(Х'), и можно написать равенство Я! Э ь(х) — 1(х) = р,(к,— к!)+... + р„(Х„-Х„). Определение 6. Вектор р(р1, ..., р„) из пространства Е„', определяемый аффинной минарантой, равной точному зкачению в Х', Ряс.1, Нндгрнфнкн функ. называется суберадиентам функции ) (Х) в Х'. ннн 7 (к) нрн к =1 (д, =х, Таким образом, субградиент в Х' равен ~1 е) вкн нрни'рон в) наклону аффиниой миноранты, точной в Хн в р н в).
Тогда согласно свойствУ 3 сРазУ же можно н арнепндннадлежат давнаутверждать следующее. Свойство 7. В каждой данной точке множество субградиентов выпуклой функции 7 (Х), определенной на Е„, есть выпуклое множество из Е„". Это множество называют субдифференциалом функции 1 (Х) в данной точке. Примеры выпуклых функций. а) Аффинная функция Ь(Х) на ń— функция выпуклая; А(Ь)— полупространство из 8„+„определяемое неравенством Х„+, ЪЬ(Х).
б) Если положить ~Х)'= К,'+; .. +Х„, то получим выпуклую в 8„функцию ) (Х) — (1 — ~ Х )')1м, ) Х) < 1. Множество бош()) представляет собой открытый шар ~К)*<1. Множество А®-часть кругового цилиндра с осью ОК„+„рас* положенная в 8„+, выше открытой полусферы радиуса 1 с центром в начале коордйнат, принадлежащая полупространству Х„+, <О. Как указано, при )Х~ 1 принимаем 7(Х)=+ оо (рис. 1). в) Функция ) (Х)= — (1-)ХЯ'и, 1Х!(1 — также выпуклая; она идентична предыдущей при )Х~ < 1, но отличается от нее при ! Х~ 1; в этом случае она принимает нулевое значение, тогда как в предыдущем примере полагали функцию равной + ос.
г) Функция 1 (Х) = (1+ ~ Х !')1н — выпуклая; бош (1) совпадает со всем пространством 8„(рис. 2). д) Функция 1(Х)=а!Х~, где а-положительное действительное число,— выпуклая; бош ()) — все пространство 8„; б (1) -внутренняя часть кругового конуса с осью ОХ„+,, расположенная в 8„+,.
Заметим, что )(Х) — положительно однородная функция первой степени однородности [Г (ХХ) = к)'(Х), если Ь- положительное число!. е) Функция ) (Х) = ! Х ( при 1 Х ~ < 1 и ) (Х) = 2, если ! Х ! = 1, для которой бош Д) — шар ~ Х ~ ( (1 в пространстве ~(Р„, также является выпуклой. Если !Х!) 1, то следует полагать 7(Х)=+ со (рис. 3). Предоставим читателю самому возможность проверить высказанные выше утверждения. Впрочем, приводимые ниже свойства, о кото. рых выше шла речь, позволяют легко провести все доказательства.
313 +( х Рис. 3. Надграфик функции ( (х) для случая, описанного и примере е) (М 1) Ниже займемся исследованием «регулярности» выпуклой функции и, в частности, ее непрерывности. Будут рассмотрены гакжесоотношения, связывающие выпуклую функцию с ее аффинными минорантами и, в более общем случае, соотношения между выпуклым множеством и его опорной гипернлоскостью. Начнем с простого случая, когда пространство Е„-одномерное. Х Рис.
2. Надграфик функпнн ((х) для случая, описанноюапримерег) (л=() ПН.2. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ одной действительной переменной (ням Н где х, и х,— два различных значения из области бош (у), является неубывающей функцией по каждой из переменных х, или х,. В любой точке а открытого интервала внутри бош()) фуикцйя у имеет производные справа и слева и является, следовательно, непрерывной в а. Далее, если а(Ь, то га'(а)~Д(а) ..
ь и ~~а(Ь)~Д(Ь); здесь уа' н уа — соответственно производные слева и справа. Первое неравенство означает, что дуга кривой ((х) в 8» расположена ниже стягивающей ее хорды; второе — что р (х, а) не убывает в окрестности а (рис. 4). Можно сразу же сформулировать следствие. В любой внутренней точке области бош (() субдифференциал— непустое множество, которое сводится к единственному влементу 314 Н! 1.2.1.
Непрерывность и дифференцируемость. Действительную переменную обозначаем через х, координаты в пространстве 8„+, ег„в котором расположен надграфик, обозначим через (х, у). Предположим, что бош(1) содержит по меньшей мере две разные точки х и х, и, следовательно, в этом случае содержит весь интервал х„х,. иногда'боп1(() — интервал из 8, (ограниченный или нет). Теорема 1. Если у(х) — выпуклая, то функция р(х х) ха — х, в гном (и тальков том) случае, когда фун- т кция ~ (х) диффгргнциругма в алой точке. Субградигнт совладает тогда с производной от ) (х) в этой точке. Разрыв функции ) (х) может, таким образом, иметь место только на концах а или р(а (р) области йош Д), если таковые существуют.
Предполоним, что а — конечно. Очевидно, что в х а множество значений а Х 1(х) при х > а не может иметь больше одного элемента *. Иными словами, когда х стремится к а сверху, то ~(х) или бесконечно возрастает (случай 1 — а не принадлежит бош()Ц, или стремится к конечному значению. В последнем случае возможны два варианта: а принадлежит бош ()) и функция ( (х)-непрерывна справа в х= а (случай 11); и наконец, ((а) > 1пп (х) (случай П1 — а может быть как внутри Йнп(1), так и вне), функция не является непрерывной в точке х= а.
В рассмотренных ранее примерах (н=1) ) (х) — непрерывная на конце х — 1 области бош()) (пример в)), случай 11. Функция 1(х) — разрывная в примере б); здесь (( — 1) +со, 1!ш((х)*=0; и в примере е) )'( — 1) 2, 1пп ((х) 1 (случай 1П). з~ 1 Определение 6. Вьтуклая функция ( называется замкнутой, если гг надграфик Ь(() замкнут. В соответствии о высказанным выше случай 111, очевидно, не может тогда иметь места и можно сформулировать следующее свойство. Свойство 8. Замкнутая выпуклая функция обладает следующими свойствами: 1.
Либо область бош()) — вся прямая а',. 2. Либо йош()) имеет по меньшей мере один конец. Если, например, а-левый конец, то функция 1(х) — непрерывна справа, иначе ((х) бесконечно возрастает, когда х стремится к а сверху. Так, например, в примерах а), в), г), д) функция ((х) — замкнутая, а в примерах б), е) — незамкнутая. Всякой выпуклой функции у(х) можно поставить в соответствие замкнутую выпуклую фикцию ((х) с помощью операций замыкания надграфика; Ь(1)=Ь(й), где а'(й) означает указанную операцию. Замыкание выпуклой функции эквивалентно ее регуляризации на границе области ее определения (если она нерегулярна). П11.2.2.
Теоремы отделимости. Эти теоремы являются весьма важными для характеристики выпуклых замкнутых множеств и выпуклых замкнутых функций н для рассматриваемых случаев почти очевидны. Пусть задано открытое выпуклое множество С на плоско-- ° Если а — точка конденсвцин, то кривая /(х) в интервале (а, ле) изводятся выше сегменте,'стягиввющего (а, а) н (хе, ) (хе)); таким образом, точка 1гонденсвцин не может располагаться выше. Следовательно, 1(к) не может иметь здесь двух точек коиденсецни.
-315 У Стн Отв. ИЗ ТЕОРЕМЫ 1 НЕМЕДЛЕННО СЛЕДУЕТ, что в любой точке М границы С существует по меньшей мере одна опорная прямая Н (очевидно, что любой отрезок дуги, включающий точку М, можно рассматривать как принадлежащий графику выпуклой функции с,в действительной переменной (рис. 5)1. ОпорА~ ная прямая Н содержит М и не имеет обшей точки с С. Если М лежит вне С, сегмент АМ (А находится внутри С) имеет об- Х щую точку М' с границей С: прямая, прорнс. з.
пусть м — точка ходящая через М и параллельная опорной траннаи облпстн с, Р— для С прямой в М', не имеет общей точки точ«п ппутрн с ось " с С. Можно, таким образом, утверждать слепараллельна отрезку лГР н так же направлена. дуЮщее. з. тр - площ,„, Теорема 2. Если С-открытое множество " бр' "" ' ""'" плоскости 8 то через любую точку М не И плоскости, такое, что на а~ прямой, параилельной оси р и прннаьйлежащую С, можно провести по крайпрокодящеп через дт, существует точка С. ордияата кото. НЕЙ МЕРЕ ОДНУ ПРЯмуЮ, КотоРан НЕ ПЕРЕСЕ- рой не больше ордикаты Л. Эта область являетси надера~иком выпуклой фупкпии Теорема 3.
ЗаМКНутОЕ ВЫПуилОЕ Множс- '"~' ',~й'а,,'„'„'т„'~„"""'"" ство плоскости ате идентично пересечению всех полуплоскостей, которые содержат зто множество. Напомним, что полуплоскость есть замкнутое выпуклое множество. Пересечение всех полуплоскостей, содержащих С, является, стало быть, замкнутым выпуклым множеством Г, содержащим С. Требуется доказать, что нет такой точки М внутри Г, которая не принадлежала бы С. Но если бы таковая существовала, то через нее (через точку М) можно было бы провести полупрямую, не пересекающую С, и построить полуплоскость из семейства полуплоскостей, о которых говорится в формулировке теоремы, причем граница полу- плоскости проходила бы через точку М. Последнее невозможно, если М находится внутри Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
