Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Определение 4. Всякому направленному отрезку кривой Ь с крайними точками 8т и 8е на р'е соответствует процесс я«8„8е», принадлежащий «е. », причем множество этих процессов «Я» — вто подмножесгпво «ег'». Существуют две дифференциальные формы го н ~р, не равные тождественно нулю и непропорциональные, определенные на Фо, для которых Заключенна. Такнм образом, термостатнческая система определяетсв заданнем: днфференцнального многообразна "ро (определенне 1); двух дифференциальных форм е н ф, заданных на многообразнн ро; множества Щ процессов, обладающих указанными в П1П.1.2 свойствамн. Два последйнх пункта можно деталнзнроаать: а) на множестве (Я ) задав закон частичной композиции (1); б) существует субъектнвное отображенне Т множества (Ег') на ВвХTз н отображение г множества ф") на (Я~, Щ, оба отображения удовлетворяют условню, сформулированному в определеннн 3, формула (2); в) прообраз Г-' (5 =0) процессов, соответствующих 6 =0 нз множества (у ), представляет собой множество аднабатных процессов; г) прообраз нз множества Щ злемента (~)ь Е)з), принадлежащего многообразню 'рзХ9' — Т '(Ооь а()з), содержит подмножество Я(ЕГь аЯ, которое находится во взаимно однозйачном соответствнн со множеством нзйравленных дуг Ь, начало которых Ючм а конец Юоз', д) подмножество нзДф — объеднненне 1 г (й)г, О'з) н (Е)з, Е)г), содержнт по меньшей мере однн адн атный процесс.
ПП1.2. ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ .ПШ.2.1. Случай простой замкнутой системы. Прежде всего сформулируем первое начало термрдинамики: существует некоторая функг(ия состояния Е(Я, называемая внутренней энергией системы, олределенная с точностью до аддитивной лоалоянной, такая, что для любого вг (8„егд) имеет место соотношение У"в+ Ев Е (юоа) — Е (юот). (5) Чтобы уяснить общность данной формулировки, предположим, что известны значения У в для любого элемента из «вг). Покажем, что в этом случае можно, опираясь на первое начало термодинамики, определить функцию Е(8) и вычислить Вв.
Действительно, в частном случае адиабатных процессов 6й=О. Если взять произвольное состояние 8е и значение Е (егз), то Е(В) для любой точки определится из соотношения (5) в процессе из.« 2), для которого 8, и 8 -крайние состояния, и согласно аксиоме таким образом можно определить Е(В) ' в любой точке вг из У'з. Найдя функцию Е(8) с точностью до аддитивной постоянной Е (ег,), можно с помощью равенства (5) вычислить Вв для любого процесса вг. Итак, можно сказать (считая известным понятие работы), что первое начало термодинамики является фактически определением внутренней энергии и притока теплоты. Более того, очевидно, что все эти величины имеют одну размерность. ' Первое начало может иметь менее жесткую формулнровяуг прп любав ореобравовонпп А(В1ь а()з) ззапчинв 9 з плеещ вполне определенное злаченые, кошевое ммпсиа аолько оа й)г и,йзз.
В случае обратимых процессов из основного утверждения находим равенство дЕ в+ (р, (6) в котором а и ~Р не являются, вообще говоря, дифференциалами (исключая частные случаи), однако в сумме они равны дифферен- циалу внутренней энергии. ПШ.2.2. Обобщение на сложные замкнутые системы.
По опре- делению, сложная система Х вЂ” это объединение конечного числа зам- кнутых простых подсистем Е,(1=1, 2, ...), разделенных непрони- цаемыми перегородками. Кроме того, временно предположим, что в любом процессе У' работа, произведенная внешними и внутренними силами (обмен ра- ботой), и теплообмен равны нулю. Иными словами, если (К'з), обозначает работу, произведенную системой Х, над системой Е~ в про- цессе У, то (еТ з),.~+(йГР)м — — О. Таким образом, работу внешних сил над системой Е можно рас- сматривать как сумму всех работ внешних сил над каждой отдель- ной подсистемой. Точно так же обстоит дело и с притоком теплоты. Если определить внутреннюю энергию системы Х как сумму внут- ренних энергий подсистем, то можно установить равенство (5), и формулировка первого начала термодинамики оказывается справед- ливой и для сложных замкнутых систем, удовлетворяющих упомя- нутому выше ограничительному условию.
Итак, можно сформули- ровать. Первое начало термодинамики (продолжение). Если считать внут- реннюю знергию Е сложной замкнутой системы ровной сумме внут- ренних энергий составляющих ее простых замкнутых систем, то равенство (5) остается справедливым для любого процесса К, кото- рый может протекать в сиспиме. Если снять сформулированное выше ограничительное условие, то приведенная формулировка становится законом. Рассуждая, как и в (1.4.1,в), приходим к выводу: взаимный обмен работой и теп- лообмен всегда в целом равны нулю. Иными словами, (ч! ) + ( е )~, + (В ), + (й) ), О.
П)!ЕЗ. ВТОРОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ (ПРОСТАЯ ЗАМКНУТАЯ СИСТЕМА) Ниже в основном будет использоваться формулировка, предложенная Каратеодори. Второе начало. Если В, †произвольн состояние из многообразия Фз, то о-', не является внутренней точкой множества Ф (Оч,), иными словамй, 8,— граничная точка множества У (8,). Таким образом, формулировка относится к адиаьатным процессам.
Из нее следует, что если дано начальное состояние ю.„то в любой окрестности точки ю-е имеется по меньшей мере одно состояние еуы которое не может бйть конечным состоянием адиабатного процесса, переводящего систему из в7е в ю"-х.
И тем более невозможен процесс, одновременно адиабатный и обратимый, который переводил бы систему из ю".е в 1йх. Из такой на первый взгляд, качественной формулировки можно сделать следующий вывод. Теорема! (Каратеодори). Существуют две функции состояния 0()(„..., )(.) н т)()(„..., )(„), для которых Заметим, что пара 8 и х) не является единственной. Если ф(т)) является непрерывно дифференцируемой функцией, то пара (8) также удовлетворяет соотношению (7). Обратим особое внимание на следствия данной теоремы, уточняющие формулировку второго закона. Состояния, которых можно достичь путем обратимого адиабатного процесса, начиная от ОТе нз Уе, расположены все в а-мерном подмногообразии, проходящем через зг',.
Будем считать, что этн подмногообразия т)=сопи! являются регулярными связными гиперповерхностями у с непрерывно вращающейся касательной плоскостью. Любой аднабатный и обратимый процесс соответствует отрезку 1. на у. доказательство. Так как форма <р не равна тождественно нулю, то можно предположить, что в окрестности У(Е1е) состояния и'е (в котором можно, не ограничивая общности, допустить, что все Х равны нулю (р О, 1...„л)) ра. венство ~р=о может быть записано в форме а ф=бХ вЂ” ~ С бХ О.
1 1 Кривая, определяющая обратимый адиабатный процесс, вдоль которой ~р ф=о, является в окрестности Ю'е интегральной кривой системы — 1=г С1(ха х1 " хе) — 1 бХе ч ., бХ1 Построим интегральные кривые, проходящие через Ю'е(Хе — — с, Х1= ° ° =Хе=о). Пусть 1 — параметр, который можно, не ограничивая общности, предположить равным нулю в О' . Искомые кривые Ь строим, полагая аг1, ..., Х„а„1, где а; — произвольные константы, и выбирая в качестве Хе(1) единствеяное рещение Хе=Р (1, ах, аз .„, а„, с) днфференциального уравнения л — у С! (Ул, аь С, ..., алС) аг, бул б( удовлетворяющее начальному условию Р (О, аь а„..., аьп с) = с. Заметим, что если й — действительная постоян- ная, не равная нулю, то имеем также «! ",(е — — Р(й И, йаь йат, ..., йа„, с)=Р(1, аь ае, Рнс.
2. Обратимые адиаба- ал с) ты — прямые линии ):! (показаны п ы иром) проходя- твк как зта функцыа Удовлетворает Дифференци, и' „альному УРавнению и начальномУ Условию. Из тождества, которому удовлетворяет функ- Чл подпРостРансгву Чь Чз " щщ Р гедуе Испи би суще«твое«ко обретении Хе= Р (1, а! а„1, ..., а„1, с), иди«бете а, ие переллельиек длеко» плоскости, то состоииия что легко установить, если положить й=й В сне, и е, можно алло би соедииить оба«тиков ели«бетон, сто проти- лу непрерывности Р при à — 0 получаем еоретит второму э«коку серио.
Р дои«пикк Идея дальнейших преобразоваыий заключается в упрощенны геометрического представления окрестности Ттп(~те) путем такой замены переыенных, при которой кривые Ь переходят в «горизонтзльные прямые». Инымн словами, заменим переменные )(е Ух "., )(л переменнымиЧ, Чы °" Чл определяемыми равенствами Ч; Хг, ! 1 2,. ° °,и, ул=Р(1 Ч. Ч Ч) дР Так как — (1, О, ..., О, 0)= 1, то такая замена переменных является не- дЧ вырожденной и, в частности, обратимой в окрестности ф«е. Тогда функция ф запишется в такой форме: Р=О дЧ вЂ” Х туг(Ч, Ч, ° ° ., Ч ) бЧп ! ! и, кроме того, в точке фо 0 (О, О, ..., О) - 1, В новых переменных множество кривых Ь преобразуется в множество прямых )9 пространства Ч, Чь ..., Ч„, параллельных Ч=О и проходящих через ось .(( алев, точки !~те и а)«е плоскости Ч=с могут быть соединены кривой, наображающей обратимый адыабатный процесс. Для етого достаточно рассмотреть, например, сегменты из !В), соединяющие буз с !~ь и фос с фь„которые являкпся кривыми множества Ь.
Теорема будет доказана, если покажем, что в окрестности !бте фуыкцни Тг! тождественно равны нулю. Предположим, что найдется точка !Оь! (Чс«1, т)!", ..., трм) из (! (ф«е), в которой, по крайней мере, одна нз функцый с!! отлична от нуля. Зто противоречит второму началу, так как в атом случае можно найти такую окрестность в которой все $ь будут конечным состоянием обратимого аднабатного процесса, имеющего своим началом состояние !бт!. Покажем, что существуег обратимая адиабатная дуга а, проходящая через т, вдоль которой Ч строго возрастает; у < т) < б, у и б таковы, что у < т)ст! < б.
огда, если ~е — точка из окрестности ф«т, образоваыной тачками ыз () (ф.е), для которых т < Ч < б, то $'! и ю'э можно соединить обратнмым аднабатным процес. сом. Достаточно взять дугу Ег»юоз на Ь Щ вЂ” точка на агой дуге, где «1(О-з) = = »1(ву Ц я использовать сформулированное выше замечание, согласно которому егэ и еТ» можно всегда соединить двумя отрезками прямой йг) (рис. 2). Для доказательства справедливости этого предложения положим В!= О! (ВГ!) и найдем интегральную дугу <р= о, даваемую параметрическим представлением: Чг=Ч!го+В!!, 1=1, 2, ..., Ч =У (г), !' (0) Ч!!'. Тогда функция г (О должна удовлетворять уравнению 0(О б =ч;пг(!), )(0)=ча!, бг г=! где 0(!)=0()(Г), Ч!'!+Вь Г, ..., Чп!+В„Г), Ъ! рд пг(1(г), ч!г +в г, ..., чц!+~„г). В силУ того что 0 (!0»е) = 1, можно пРедположить, что в Ч! (О»е) величина 0 (О»)— строго положительна (в крайнем случае пришлось бы лишь сузить окрестность) и, следовательно, 0 (О) также строго положительна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
