Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 76
Текст из файла (страница 76)
(14) Заменяя а по формуле (12) и дифференцируя (11), видим, что выражение д +й)ат ар является дифференциалом функция з(т, р). Это возможно только в том случае, когда отношение т7(т зависит только от р, т. е. т=тг(р). Тогда рр (р) рт 7(т) т Т Так как р и Т вЂ” независимые переменные (в противном случае система зависела бы не от двух, а от одной переменной), то эти величины равны некоторой постоянной г, называемой газовой постоянной (идеальных газов). Это сразу дает соотношение рт= гт. (16) Далее, дифференциал обратимого притока теплоты таз=(й+г) ат — тар=й ат+ра .
Очевидно, можно сказать, что величина д'=С, равна удельной теплоемкости при постоянном объеме, а л'+ г = Ср — удельной теплоемкости прн постоянном давлении. Эти величины являются функциямн переменной Т и связаны соотношением Ср — С,=г, (16) их можно получить опытным путем. Если ввести функцию а(Т), определяемую с точностью до адаптивной постоянной по формуле С.=тт, (17) 12~ то можно написать, что (18) (19) в= г(опт+о(Т); е= ~Т вЂ” бТ. оо ет Если С, не зависит от Т, то С и С,— постоянные, и их отно- шение у=с, (20) называемое показателем адиабаты, также постоянная величина.
Следовательно, можно (после соответствующего выбора постоянных интегрирования) написать, что е=С,Т, з = С, 1он (ртт), (21) или, так как з определяется только с точностью до аддитивной постоянной, ПШ.6. ПОТЕНЦИАЛЫ Определение 8. Потенциал или термодинамический потенциал системы, зависящей от (и+1) переменной т,„у,„..., у,„,— это скалярная функция, зная которую, можно найтй основные термостатические функнии Е, В, Т.
Если, например, среда (система) — газ (и+1 =2), масса которого равна единице, то функция е(з, т) — потенциал, так как Т (з, т) = = —,(з, т) в силу формулы (14); однако давление р(в, т) не являетде ся потенциалом, ибо при — = — р нельзя полностью определить е де из этого соотношения. Пусть Е(ул, у,, ..., )(„) — потенциал; тогда посредством преобразования Лежайдра можно определить другие потенциалы, называемые ассоциированными потенциалу Я. Для этого положим (р — целое з=С,)оа(Ттт ').
Итак, для идеального газа с постоянными удельными теплоемкоспиши изовнтропийные поверхности определяются одним из следующих уравнений: р и,рт, ртт=й, Ттт '=я, Ттр' т=й„ (22) в которых й„й„ /г,— константы. Этот элементарный пример показывает, каким образом опытные данные и принципы термостатики позволяют получить фундаментальные формулы, характеризующие данную термостатическую систему. число, меньшее а): рт= — з 1=01 1» 1 Р~ ЗХ За 1 бхр+ 4 в Р ах Ф=Я-„'~.р1Х1=х — ~, Хг— ~е ~е Имеем Р Р Р бФ=бх —.'э~ (х;бр;+ргбх1) = — Х х1бр1+ э~ тубх,+р г=о 1=6 / г Таким образом, если взять функцию (и+1) переменной Ф (Роз Ртю ' ' ' ° Рю Хг+ы ' 'е Хв)ю то будем иметь дФ х,= — %,1=0, 1, ..., р, дФ т =~ — -, 1=1, ..., и — р=д, Хр+1 Р Р б=Ф+ л.' р1Х,=Ф вЂ” ~~~ р1а дФ ~е ~=е Вот несколько примеров.
Примем за переменную Х энтропию 3 системы и предположим, что элементарная обратимая работа внешних сил есть дифференциальная форма относительно переменных Х„ Ха1 ° ° ° ~ Х»: 6Е=Т 65+го, ш='~, 'Агбх; 1 1 (24) (говорят, что 3, Х,, ..., Х„представляют собой нормальную параметризацию; любой случай можно свести к этому с помощью соответствующего выбора параметров Х,— 1=1, 2, ..., п, который сле- Функции Е(х„..., Х„) и Ф в формулах (23).поставлены друг другу в соответствие прямым и обратным преобразованием Лежандра по (р+1) первым переменным.
По выписанным формулам каждую из этих функций можно определить на основании другой. Если 2 — потенциал, то и Ф вЂ” также потенциал. По определению, переменные ЄЄ..., Рр сопРЯжены пеРеменным Х„Хы ..., Хр. На самом деле преобразование Лежандра многоаначно, так как уравнения дх рн = — не имеют, как правило, единственного решения, выражающего перемен- ЗХ! вые Хе Хь ° Хр черен ре рт рр.
Отметим, однако, что в рассматривае. мых адесь случаях втнх трудностей йет. Потенциалы, о которых идет речь, обладают свойствами выпуклости (П111.7), № в этих условиях преобрааованне Лежандра одновначно (ПП.З.З и ПП.З.5). дует связать с выбором Б).
Тогда дн 7 = д8 (Б» ХО ° » Х~)» (25) функция Е(Б, Х,, ..., Х„) является, таким образом, потенциалом. Ей мон1но поставить в соответствие другой потенциал, называемый свободной внергией системы»Р(Т, ХО ..., Х„) ° полагая »*в= Š— ТБ. (26) К тому же через функцию ф легко выразить энтропию: Б= — ~~ (Т, Х„, Х.) (27) Кроме того, предположим теперь, что объем системы (среды) У выбран в качестве параметра Х,; сопряженная переменная с обратным знаком равна давлению р в системе. Тогда для внутренней энергии Е(Б, У, Х;, ..., Х„) можно написать »» бЕ=Т йБ — рбУ+Х А йХг !=в Кроме уже введенной свободной энергии можно определить два других потенциала: внтальлию Н(Б, р, Х„..., Х„) по формулам Н=Е+РУ, Т= дч, У дН дН (28) и свободную внтальлию б(Т, р, Х;, ..., Х„) по формулам О Е-ТБ+РУ=ф+РУ» Б= — у ° " дО дО (29) др ' П!!!.З. ХАРАКТЕРИСТИКА ЕСТЕСТВЕННЫХ ПРОЦЕССОВ П!!!.6.1.
Адиабатные процессы. Формулировка второго начала, данная в П1П.З для случая простых систем и распространенная в ПП!.4.2 на случай термически простых систем, была применена только к обратимым адиабатным процессам. Рассмотрим теперь второй закон применительно к необратимым процессам. Исследуем произвольный адиабатный процесс. Предполагаем, что среда содержится в адиабатном сосуде; начальное состояние среды обозначим через 8,. Если состояние 8, принадлежит )Уф,), иными словами, если е., может быть достигнуто з адиабатном процессе с начальным состоянием ег„то всякое состояние»в', расположенное на изоэнтропийной гиперповерхности у, содержащей точку е'„также принадлежит множеству А»'(ег,), так как от состояния м', к О можно Очевидно, если Е(Б, у„..., Х„) — внутренняя энергия, выраженная через нормальные переменные, то обратная (частично) функция Б(Е, у„..., Х„) также является потенциалом, на основании которого с помощью преобразования Лежандра можно получить новые потенциалы.
(30) справедливым как уже известно, только для обратимых адиабатных процессов. Обратим внимание на то, что первоначальная формулировка второго закона в сочетании с нулевым законом термодинамики, относящимся к понятию термического равновесия, позволяет в конечном итоге, отправляясь от обратимых адиабатных процессов, ввести универсальные понятия абсолютной гламаератуды и энтропии и затем описать с помощью простого неравенства множество всех адиабатных процессов. Изоэнтропийное многообразие, проходящее через 4'„отделяет в %э множество У(4),) состояний (5~5,), которые могут быть достигнуты в естественном адиабатном процессе от состояния 8„и множество,Г (8,) состояний (5 ( 5,), которых нельзя достигйуть в таком процессе. При этом четко проявляется предельный характер обратимых процессов.
Многообразие у(8,) есть общая граница множеств У(8,) и а! (8,). П ! ! !.6.2. Изотермические процессы. Йа основании полученных выше результатов можно сравнить, по крайней мере в некоторых случаях, естественный процесс (иеобязательно адиабатный) с обратимым процессом и найти соответствующее неравенство. Ограничимся для начала изотермическими'процессами. По определению, в течение такого процесса температура Т остается постоянной. Если речь идет об обратимом изотермическом процессе, то движение среды описывается последовательностью равновесных состояний, изображаемой дугой 8,8 иа изотермическом подмиогообразии 4Г многообразия Ф~. Пусть Яр количество теплоты, подведенное к среде во время данного обратимого процесса, тогда 3( ) ~(~) Ь (31) Вообразим теперь некоторый необратимый изотермический процесс, переводящий среду от состояния 8, к состоянию 8.
Движение среды не может быть описано путем изменения переменных, однако, по предположению, в данном процессе температура Т остается постоянной. Пусть Я вЂ” полученное в процессе количество теплоты. Очевидно, можно предположить, что равенство (31), справедливое в случае обратимого процесса, следует заменить некоторым неравенством, а именно ~ Й!) ~(4о) у ~~()е 0 (32) д43 , перейти в обратимом адиабатном процессе. Таким образом, состояния ~У, принадлежащие Уф,), могут быть охарактеризованы некоторым соотношением между энтропией Бсостояния 8 и энтропией Я, состояния 8,. Выдвинув некоторые дополнительные гипотезы, можно показать, что для любой среды состояния из У(8,), т.
е. те, которые могут быть достигнуты в адиабатном процессе из начального состояния 8, характеризуются неравенством 3~ ~3о которое означает, что при заданном количестве теплоты Я конечная энтропия больше энтропии, которая наблюдалась бы в результате обратимого нзотермического процесса; сравнивая равенство (3!) с неравенством (32) для перехода от 8, к 8, видим, что количество теплоты, полученной при обратимом йроцессе, больше полученной в результате необратимого процесса. Количество подведенной к среде теплоты, теряемое таким образом в необратимом процессе, называется потерей теплоты, обусловленной внутренней необратимостью в системе. Не будем приводить здесь строгих обоснований неравенства (32) и ограничимся лишь теми соображениями, о которых речь шла выше.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
