Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 79
Текст из файла (страница 79)
— ) . Если переводить последовательно каждый индекс из й в 1, дТх да)л г то йолучится последовательность положительных невозрастающих значений. Таким образом, последовательность, составленная из удельных теплоемкостей С,гг, полученных последовательными переводами ин. дексов из г в 1, является невозрастающей. В простом случае двухпараметрнческого гана получаем неравенство О(С ~С, (31) где С„н Ср — удельные теплоемкостн прн постоянных объеме н давления. К тому же результату можно прийти н в теории упругости: удельная тепло- емкость прн постоянных деформапнях меньше, чем удельная теплоемкость прн постоянных напряжениях, (задача Н!11,13).
в) Частный случай — газ. Для данного простого примера из внутренней энергии в явном виде потенциалы получены еще в П)П.5. Выпишем их для единичной массы, обозначая через т удельный объем (т=р '): гр=е' — Тз, )г е+рт, д=е — Тз+рт; (52) гр — свободная энергия, й — энтальпия, д — свободная энтальпия. Кроме того, имеем: йе=Тйз — рйт, йгр= — зйТ вЂ” рйт, йЬ=Тйз+тйр, йд= — айТ+тйр. (53) Выше были получены неравенства О<(да) ~(де) . Точно так же с учетом (49) можно найти, что Физическую интерпретацию этих неравенств можно получить, если ввести в рассмотрение скорости звука с н ск по формулам =(д ), ем=(д ) (54) 333 Величины с и свг имеют, очевидно, размерность скорости н являются, таким образом, характеристиками жидкости в ее состоянии равновесия, определяемом параметрами р и з или р и Т.
Величину с называют скоростью мука в жидкости или (иногда) лапласовой скоростью. Величину с,~, менее важную в термодинамике, называют ньюпюновой скоростью. Имеют место соотношения ( — ").="( — ""). ($).="( — "")' из которых и из неравенств термодинамической устойчивости следует, что обе скорости — положительные величины, что оправдывает законность определения (54) и, кроме того, 0 ( си<с. (55) БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ КОММЕНТАРИЙ Термостатика — раздел физики, излагаемый во многих курсах и монографиях. Не может быть и речи о том, чтобы дать полный список рекомендуемых книг. Каждый читатель, желающий углубить свои знания в термодинамике, должен обратиться к тому учебнику, который ему более всего известен или который служил ему в студенческие годы.
Он найдет там другие точки зрения, которые дополнят и проиллюстрируют приведенные результаты. Отказавшись от' мысли рекомендовать какую-либо работу на французском языке, ограничимся тем, что укажем три произведения на английском, которые представляют определенный интерес. Вот эти работы: Са!!еп Н. В. Тйегшодупаш1сз, 3.
ЖПеу апб 8опз, 1966. Опддепйе(ш Е. А. ТЪепподупаш1сз, Мог(п Нойапб, 1949. Кез11п 1. А Сопгзе ш Тйегшооупаш(сз, В1а(зоеП, 1966. ПРИЛОЖЕНИЕ !7 ФОРМУЛЪ| В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ И СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ Для упрощения выкладок в настоящем курсе использованы только декартовы координаты. Ниже дан вывод всех общих уравнений механики сплошных сред в криволинейных координатах для часто встречающихся в приложениях случаев. Однако перед этим полезно привести общие формулы, позволяющие переписать основные уравнения, фигурирующие в приложениях, в наиболее часто применяемых цилиндрических и сферических координатах.
д! ! д/ дг дг' г дд' да Лапласиан Полная (субстанииональная) производная — = — +и — + — — +и д! дУ д| Уе д| д/ д! = д! ° дг г да да Поле скоростей У. Тензор скоростей деформаций (симметричная часть градиенл!а) дУ,. ! дУе У, дУ вЂ” сгее = — — + — ' дг ' г де г ' ™ да ' ! 1 /дУв Уе 1 дУ,'! ал в= — — — + — — ~ 2~дг г г да )' Рис. !.
Цилиилрические ко. ордииаты П!Ч.1. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ г, 9, в (РИС. 1) Во всех точках М с цилиндрическими координатами г, 8, г введем ортонормированный базис с векторами е„, ее, е,. В этом базисе компоненты некоторого вектора А обозначим через А„Ав, А„тензора Т вЂ чер Т,„, Т„, Т„, Ткь так что А = Аге, + А,ев+ А.е,; Т=Т„е,зе,+Тве„®ее+Те евзе,+Тееее®ев ... Ниже приведены необходимые скалярные, векторные и тензорные величины, выраженные через независимые переменные г, О, г, г. Элемент дуги <Ьа=йга+гадйа+два. Скорость У„1/е, ~l,. Скалярное поле г.
Градиент Скорость объемного расширения (б(т(») ! д ! аив аи, — — (»О )+- — + — *. » а» ' » дЕ дг »' ! Вектор угловой скорости ~- го! 0) ~2 Ланласиан 2 дие и, 2 ди ив ди —,— — — д(!в+ ду . », да,э" > »е дЕ»г > Ускорение у ди, ие Вие и,ив Ви, 7,= — ' — —, уе= — г+ —; 7 = — ' » В! » ° д! » > г д! Поле тензоров напряжений г.
Уравнения равновесия (массовые силы Я де„! дв>в до„о„— оее — "+ — — + — '+ +! =О д» » дз дг » » > де»е ! деве аое> в»н — + — + — *+2 — '+),=О, д» » дз дг » де»> ! е> двг» в»г де — + — — + — + — +! =О. д» » дЕ дг Приведенные формулы позволяют записать все основные уравнения механики сплошных сред.
Если заменить поле скоростей 0 векторным полем А, то получим компоненты симметричной части тензора нгаб А, дивергенции б)в А, ротора го! А и лапласиана ДА. Точно так же левые части уравнений равновесия (если ) =О) дают К компоненты дивергенции поля симметричных теизоров. Уравнения движения можно получить, если заменить в уравнениях равновесия 1 на ) — ру. П!т.з.
СВНРИЧНСКНН КООРДННЛГЫ г, Е, ф (РИС. 2! В любой точке»Н со сферическими ксюрдинатами», Е, ф вводится ортоиормироваиный базис с векторами „„ . В той системе компоненты некоторого вектора А обозначаются через А„ Ае и А , а компоненты тензора Т вЂ чер Т„. Тве, Твг> Т,е! Т Т В»®В»+Т»еВ~ЗВе+Те»аезв»+ +Твввезвв+ ° ° ° Ниже приведены необходимые скалярные, векторные и тензорные величины, выраженные через независимые переменные г, О, ~р, /.
Элемент дуги без=без+гзбйз+г'з!п*йбгрз. С р с (/„(/„(/,. Скалярное поле /. Градиент д/ 1 д/ 1 д/ аг ° аз ° тз ао ' Лап ласиан //алкая (субстанциональная) производная д/ д/ д/ Ун д/ Ун д/ — = — +и — + — — + — —. Ф д1 г дг г дО гв1п8 дп' Поле скоростей (/. Тендер скоростей деформаций (симметричная часть градиента) диг 1 дин иг 0 — Рз = — — + —" д ' " д8 аи, и, и, 0 =* — — + — с(а + — ' гМ Оат г 1 /! дин 1 дин с!28 /)н — ( — — + — — — и ) 2 ~г дз +ге!па де г н/' 1/ ! ди, аи, ин~ 2 ~гв1па аз дг г 1 /1 диг дУн из~ о - — ( — — '+ — — ).
2~г да дг г/' Объемное расширение (б!ч Г/) — вд-(гЧ/г)+,8 у((/на!пО)+ —,. О -~ —. 1 д 1 д 1 дин Векгпор угловой скоросгпи ~ — го1 0) /1 (,2 ФР("" -%1 Лапласа ан 2 д(Унв1п О! 2 диз гзвзг:8 дз г'в1п 8 де 2 ди Ун 2совз дин а(/з+ — — -в —— дО г в1п'О гзвпз'8 д! 2 ди 2созз ди, Л(/в+ —, — + гвз1п 8 ав -в1п'О ап ггз1пви' Ускорение у ди, и3+ йв див и,ив й ЫК В тв= д + — '.— — ° » ' в! Г Г ».= —.» — ' —.» — — ~-.
див и,и, ив иве! В Ж г Поле тензоров напряжений Х. Уравнения равновесия (объемные силы Я вЂ” + — ~ + — в — + — (2о»» овв оввс(я 8) + 1» = 0» дв„1 да,в 1 до»в 1 — „+ —, а + — „„, -~~+ —,(Зо,в+(овв — овв)стйй)+6=0, дв,в 1 довв 1 дев 1 Приведенные выше формулы дают воэможность записать все основные уравнения механики сплошных сред. Очевидно, что если заменить поле скоростей вУ векторным полем А, то получим компоненты симметричной части теизора йгай А, дивергенции й(т А, ротора го! А и лапласиана ЛА.
Точно так же левые части уравнений равновесия (при Г=О) дают компоненты дивергенция поля симметричных теизоров. Уравнения движения можно получить, если заменить в уравнениях равновесия ~ на Д вЂ” ру). ЗАДАЧИ ГЛАВА 1 1. Стационарное обтекание неподвижного цилиндра. Обосновать результат, полученный в примере, приведенном в конце 1.1.2. Поле скоростей описывается формулами: 1 оз и»-Уз)(1 — юру из — У» — зцс 2ф, и»=О. »з Показать, что линии тока — плоские кривые. Убедиться в справедливости уравнения (Сз бх» — (Сг д«з Уз бхз+У»С(»з б ( — з ~.»+з /' Вывести нз него уравнение линий тока в цилиндрических координатах, приведен- ное в 1.1.2 (установвть, что радикал положителен).
Убедиться в правильности графического изображения линий тока, приведенного ка рис. 1,2. 2. Обтекание цилиндра, находящегося в поступательном движении (продол- жение примера, приведенного в 1.1.2). Показать, что в фиксированный момент времени С липин тока †окружнос х» +ха †2«з О, где « †некотор пара- метр. Здесь прежде всего следует убедиться в том, что поле скоростей в системе отсчета Я задается формуламн (рнс.
1): У»Л (С вЂ” з соз 2»р, У»СС' (/» — з згп»р, (Сз О. » Найти в системе отсчета Я уравнения траекторий, приведенные в 1Н.2. Обратить внимание на то, что если выбрать ~р за параметр, то «» (»р) будет иметь тот же вид, что н хз(ф) нз предыдущей задачи. Проверить равенства бхз 6«з СС» / М»» '» - »С» — — — 1+ — згп» ф соа 2ф згп 2»Г Ь ~ Ьз н исследовать форму траекторий с целью обосновать поведение кривых, приве- денных на рис. 1,4.
3. Пусть поле скоростей сплошной среды в ортонорнироваиной декартовой системе коордннат задается формуламн: (С» — хзш (г), Оз х»е (г), (Сз (Р (г), где г' х»+хз( е(г) н (р (г) — некоторые заданные функции. Найтв функцию к б. (к' С', С), определяющую отображение 3' на ог НЗ группы П(С, С).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
