Жермен П. Курс механики сплошных сред (1983) (1246619), страница 82
Текст из файла (страница 82)
(ощ) ', (одд) д. 9. Найти главные направления и главные нормальные напряжения тенэорв напряжений, все компоненты которого равны. 16. В П!.4.4 было показано, что собственные значениа гц 1„ гз симметРичного тенэора Т вЂ стационарн значения квадратичной формы Тдухдхй где х;— компоненты единичного вектора (хдхд 1). Получить тот же результат, примейяя метод лагранжевых множителей.(Приравнять нулю производные от (ТΠ†"воду)х Х хдхд по хд.) 11. Доказать симметричносп тензора напряжений (что проделанЬ другим методом в Ш.1.3), оперируя непосредственно с уравнениями движения.
12. Развить и обосяовать метод построения вектора напряжений Т(О, и) по известным квццрнкам напряжений (О) в точке О (ряс. Ш, 6), обозначая через Р точку пересеченияд луча направления м с (ду) и через Н вЂ” проекцию О иа касательную плоскость к (Я) в точке Рц показать, что вектор Т перпендикулярен этой плоскости и его модуль равен обратной величине ОР ОН.
13. Выражение, из которого определяются собственные значение девиатора некоторого тенэора напряженяй, вмеет вид хд —.ах+Ь=О. Дать физическую интерпретацшо коэффициентов а я Ь и показать, что коэффициент а положителен. Положим х*=йсозоь Показать, что всегда можно выбрать такой коэффициент Ф, что уравнение, нз которого находится и, будет иметь вид Эсд=К. Найти й и К как фунйцнн элементарных инварнантов Здд и Зддд девнатора. Докаватдь что К < 1. Йа этом основании найти меюд расчета собственных зна. чений тенаора напряжений с произвольными компонентами одР Оямедпм.
2=2 3 дО ( — Юц)дд', К =2 'ЗдОБддд( — Юдд) 366 14. Покааать, что в случае, когда Ягг — второй элементарный инвариант тензора напряжений со знаком минус, имеет место равенство 631 ! = Зог7пгу — ппоую Показать, что 63!!/дощ=згю 16. Пусть система отсчета хг совпадает с главными осями тенаорз напряжений Е. Найти главное нормальное напряжение н модуль касательного наиряження дая направления ха=из кз как функцию элементарных инвариантов тензера Е. Эти величины часто называют октаздрическимн нормальным и касательным напряжениям. 16. Определить главные нормальные напряжения тенэора плоских напряже.
ний, зная нормальные напряжения для трех направлений плоскости напряжений, составляющих между собой углы в 120'. !Улмеш. Пусть даны три нормальных напряжения гы !з, Гз и 31= !э+!э+Гз та=1! — 1, тм =тг+тз+таю тогда ад+от=21, )ог — оз) 2з)э.3 Ызтгг(гз. 17. Рассмотреть поле сферически симметричных тензоров напряжений с цент. ром в точке 63 квадрика напряжений в некоторой точке М есть поверхность вращения относительно ОМ, а главные нормальные напряжения зависят только от р=ОМ. Определить общие выражения компонентов огю Онн зависят ог двух произвольных функций Х(р) и р(р), которые следует интерпретировать (см.
задачу о!. Зто поле определено в области, заключенной между двумя сферами р=г и р=Я(г < Л). Определить массовые силы у(М) и поверхностные воздей- ствия Р(Р) на этих сферах в фуикпии от з(р) и р(р). 16. Тело ограничено двумя коаксиальнымн круговымн цилиндрами с осью Охз н радиусами гд и гз(г, < гз) и двумя плоскостями, перпендикулярными образующим. Положим гз=х~~+лев.
Тензор напряжений в каждой точке М задан выражеянями (А н  †постоянн): хьяз аы=2 —, ощ=п,з=б, ге / ! 2хзг~ оы А — В~ — — '~, (' / ! 2хэ~ и =А — В~ — =~, о„=А. яз з е/' Определить главные нормальные напряжения и главные направления. Изучить круги Мора я выяснить их положение в зависимости от А я В, гг и гз. В каких точках достигается максимальное касательное напряжение) Определить элементы приведения торсоров воздействий, приложенных к каждому из оснований боковым поверхностям. 19.
Показать, что векторы йг и йь вводимые формулой (45), связаны соот- ношениями вида Вт Фз Фэ йд=2 — — — —. 3 3 3' Чему равен модуль векторов й;7 Показать, что, есин, например, тг есть проекция точки ж плоскости П на ось ()пь то Отг 3/2згйм Опираясь на эта, подучить результат, приведенный в Ш.4. 26. Доказать справедливость следующих формул, удобных дла интерпретации условия Мизеса: 1 1 з з з 1. 2 э~узы~ 2 (аз+ аз+ за) = — (зтзз+зззз+зззг) 6 ! (о~ оз) +(оэ — оз)з+ + (оз — оз)з). 21. Найти на плоскости П (см. 111.4) сектор, в котором от > о, > оз, н такие же секторы, где ог > оз > аз, оз > аэ > пм и т.
п. 22. Что представляет собой множество на плоскости П (см. 1П.4) тензоров, для которых ог+оз — 2оз < а, о,+оз — 2о, < а, оз+о,— 2о, < а. Найти для этих тензоров максимальные значения тензоров простого растяжения, простого сжатия, простого сдвига. 23. Некоторый цилиндр ограничен с одной стороны цилиндрической поверх. костью, образующие которой параллельны осн х„ прямое сечение †, а с другой стороны, двумя основаниями, лежащими в плоскостях ха=О и ха=1.
Массовые силы равны нулю. а поле напряжений являегся полем плоских напряжений, определяемым формулами (48) на основании функции Эри ь(хм хэ). Найти с помощью функций ф,(з) н ~рэ (э), дающих значення Хл и )(,а на С, поверхностные силы Р на боковой поверхности цилиндра (з — криволйнейная абсцисса вдоль С). Убедиться. что силы г определяют нулевой торсор. 24. Показать, что в случае, когда объемные силы 7Р=О, можно, используя поле симметричных тенэоров 2 и равенство оы е1р,э14,2„, рз, (1) образовать поле теиаоров напраженнй Е, удовлетворяющее уравнениям равновесия, которое символически запишется в виде равенства Е=С()().
С втой целью необходимо прежде всего показать, что величины о1А даваемые равенством (1), являются компоневтамн некоторого симметричного тензора. Исследовать следующие два частных случаю а) все компоненты )(гэ, за исключением )(эз, котоРый зависит только от хт и хэ, равны нулю; б) все компоненты дгз, за исключением Ею=Ею, являющегося функцией лишь х, и хз, равны нулю. Получить таким путем результаты, приведенные в П1.6. 26. Примем беэ докааательства следующее классическое утверкщение.
Если б(чА=О, то существует вектор В, для которого А го(В. Опираясь на это утверждение, показать, что: а) если А1 1†- О, то существует антисимметричный тенэор С, такой, что Сщ а=А;; б) если дивергенция тензора второго ранга огу Равна нулю (огж1=0), то существует теизор третьего ранга с компонентамн Ф11а, антисимметричный по двум ПОСЛЕДИИМ ИЦДЕКСаы, ДЛЯ КОТОРОГО О11 Фпв а, в) если, кроме того, тензор а11 — симметрйчйый, то соотношения фгуа Ф 1а— — ФВа могУт быть ааписаны в виде равенств ф11а ()Паг г. Уточнить свойства симметрии найденного таким образом тензора четвертого ранга (7~1ан Показать, что этот тензор можно выразить через тензор второго ранга в виде ()1)аз еггуеэагагю Показать, что если массовые силы равны нулю, то любое поле напряжений, удовлетворяющее условиям равновеавя, может быть записано в виде О11 Эггаэг,г)(гз, ам (1) где у — некоторый симметричный гентор.
Это утверждение, очевидно, обратно утверждению предыдущей задачи. 26. Рассмотрим находящееся в равновесии тело Б, граничными поверхностями которого являются две параллельные плоскости Е н Ет, перпендикулярные осн хз и отстоящие друг от друга на расстоянии 1. Внешние силы, действующие на тело 8, представлены только поверхностными силами, приложенными к Ез и Е„ причем силы, действующие на Ем параллельны оси хз, нх равнодействующая равна Р. Показать, что необходимо имеют место следующие равенства: ошно=( озз Аз=О, 1 аззби Р1. 27. Условия задачи такие же, что я в предыдущей, с той лишь разницей, что 368 на торце Ег имеем Рз=Схт (С вЂ” константа).
Найти торсор, образованный зтими усилиями и рассчитать ~ х!азвба. Дать интерпретацию результата. 22. Останутся ли справедливыми результзты, полученные в аадачах 26 н 27, если тело 8 будет иметь полость, на которую не будут действовать никакие по. верхностные силы? Как изменятся вти результаты, если наполнить полость газом при постоянном давлении р? 29. Взвод общих уравнений количества движения нри наличии действующих на расстоянии внутреннич сил. Введем следующую гипотезу. Если,4 и Я вЂ” две внутренние части тела 8, замыкания которых не пересекаются, то существует некоторая функция й(М, Р), определенная в 8„ такая, что воздействие,вз на Я определяется плотностью усилий й (Р), задаваемой в любой точке Р из Я формулой й(Р)-~ й(М, Р) Ь-~ й(М, Р) Ь,„, где М вЂ” текущая точка из,4.
Предположим, что иод внутренними усилиями в 8 понимаются не только контактные усилия с поверхностной плотностью Т(М, и), но и усилия, действую- щие на расстоянии; применив теоремы действия и протйводейсгвня (см. 1А.!) и предположения главы 1П, показать, что имеют место следующие равенства: й (М, Р)+ й (Р, М) О, МР Л й (М, Р) О, и интерпретировать полученный результат.
Каким образом должен быть переписан в зтих новых условиях закон сохра- нения количества движения для произвольной области Ю? Показать, что остаются справедливыми общие заключения, которые приведены в главе П1, если только заменить плотность 1! на )с по формуле )с(М)=),(М)+~ й,(Щ, М)бом, где ( — текущая точка из 8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
